Joachim Mohr Musiktheorie Mathematik
Die Teilung der Oktave in 53 Tonstufen
Die 53-Mercatorskala
Siehe auch Vergleich Mercatorskala und exakte Centwerte
Stimmungen in der 53-Skala
Die additive Schreibweise von Intervallen
Der Quintenzirkel in der Mercatorskale
Mitteltönige und wohltemperierte Stimmungen in der 53-Skala
Athanasius Kircher (1602-1680)
Kurzfassung
Mit dem Aufkommen der Mehrstimmigkeit lehrte der Musiktheoretiker Zarlino (1517–1590), dass man die große Terz rein intonieren kann und es dadurch Abweichungen von der pythagoreischen Stimmung gibt. Es wurde gelehrt, dass die Tonleiter so zu intonieren ist, dass- der große Ganzton c-d 9 Teile,
- der kleine d-,e 8 Teile und
- der Halbton ,e-f 5 Teile hat.
Hier umfasst die Oktave c d ,e f g ,a ,h c 9+8+5+9+8+9+5 = 53 Teile. Die Oktave wird als Einheit für die Größe von Intervallen verwendet und k = 1/53 Oktave als Untereinheit (k: Mertcatorkomma).
53 k = 1 Oktave (1 k = 1200/53 Cent = 22,6415 Cent)
Zum Vergleich: syntonisches Komma = 21,5063 Cent, pythagoreisches Komma = 23,46001 Cent.
Dann folgt daraus:
Großer Ganzton (c-d) 9 k = 204 Cent (exakt 204 Cent)
Kleiner Ganzton (d-,e) 8 k = 181 Cent (exakt 182 Cent)
Diatonischer Halbton (,e-f) 5 k = 113 Cent (exakt 112 Cent)
großer chromatischer Halbton ('des-d) 4 k = 91 Cent (exakt 92 Cent)
kleiner chromatischer Halbton ('es-,e) 3 k = 68 Cent (exakt 71 Cent)
syntonisches Komma (,e-e) = 1 k = 23 Cent) (exakt 22 Cent)
pythagoreisches Komma (c-his) = 1 k = 23 Cent (exakt 23 Cent)
Schisma (,his-c) = 0 k = 0 Cent (exakt 2 Cent)
Man sieht: Abweichungen zu reinen Stimmung betragen maximal 3 Cent - vom menschlichen Gehör nicht zu erfassen.
Will man eine Scala in fast genauer natürlicher Stimmung herstellen, welche unbegrenzt fortzumodulieren gestattet, ... so lässt sich dies durch die schon von [Nikolaus] Mercator (1620?-1687) vorgeschlagene Teilung der Octave in 53 gleich große Intervalle erreichen. Eine solche Stimmung hat neuerdings Herr Bosanquet für ein Harmonium mit symmetrisch angeordneter Tastatur benutzt. [An elementary Treatease on Musical Intervals and Temperament by. R.H.M. Bosanquet, Lonon. Macmillan 1875].
Die Annäherungen der Oktave durch Quinten (12 Quinten entspricht ungefähr 7 Oktaven) führte zur gleichstufigen Temperierung durch Teilung der Oktave in 12 gleiche Intervalle. Sie hat den Nachteil sehr rauer Großterzen.
Der Unterschied von 41 Quinten und 24 Oktaven ist nur wenig kleiner als das pythagoreische Komma, dagegen hat die
nächste Annäherung der Oktave (53 Quinten entspricht fast genau 31 Oktaven) einen überzeugenden Vorteil. Teilt man die Oktave in 53 gleiche Intervalle so entspricht die 31. Stufe (701,887 Cent) sehr genau der reinen Quinte (701,955 Cent) und - das ist besonders wichtig und so nicht zu erwarten - die 17. Stufe (384,906 Cent) der Großterz (386,314 Cent) und die Verrückung um ein syntonisches Komma (21,506 Cent) um fast genau eine Stufe (22,642 Cent) dieser Temperierung.
Dies wird im folgendem untersucht. Dabei beachte man die schismatische und die (nur für die Theorie bedeutsame) kleismatische Verwechslung.
Schismatische Verwechslung
Jede Tonleiter im Quintenzirkel kann rein gespielt werden kann, wobei Abweichungen in der Größenordnung einen Schismas von 2 Cent, die unser Gehör nicht wahrnehmen kann, toleriert werden.Andreas Werckmeister („Musicalische Temperatur“, Quedlinburg 1691) erkannte nämlich dass man folgende Töne, die sich nur um ein Schisma unterscheiden, gleichsetzten kann: ,his=c und 'des=cis und ,dis=es usw. (siehe Tabelle unten) Man beachte
Ein Stufenschritt des 53-stufigen Stimmung unterscheidet sich vom pythagoreischen und syntonischen Komma nur unmerklich. Genaue Werte:
Stufenschritt der 53-Skala = 22,64 Cent
pythagoreisches Komma = 23,46 Cent
syntonisches Komma =21,51 Cent
Schisma = pythagoreisches Komma - syntonisches Komma = 1,95 Cent.
Das Quint-Terz-System vereinfacht
ergibt rein rechnerisch die Mecatorskala
Wir vereinfachen die Rechnung folgendermaßen: Schisma=0 (statt 2 Cent)
d.h. pythygoreisches Komma = syntonisches Komma, hier Komma genannt.
Dies entspricht dem hörpsychologischen Ansatz. Wir rechnen hier rein additiv ohne zu Hilfenahme der Frequenzverhältnisse.
Sei Ok=Oktavem Q=Quinte, T=große Terz und k=Komma. Dann gilt:
- 12Q-7Ok=k (12 Quinten = 7 Oktaven + pyth. Komma)
- 24Ok-41Q=k (41 Quinten sind um ein Komma kleiner als 24 Oktaven)
(nach Neumaier Sind 41 Quinten etwa um ein Komma kleiner als 24 Oktaven oder - rechnerisch gleichwertig - 53 Quinten gleich 31 Oktaven) - 4Q-2Ok-T=k (pythagoreische Terz - große Terz = synt. Komma)
- Ok=53k
- Q=31k
- T=17k
- k = 1200/53 Cent = 22,64 Cent
- Ok = 53k = 1200 Cent
- Q = 31k = 701,88 Cent (In reiner Stimmung exakt 701,96 Cent)
- T = 17k = 384,91 Cent (In reiner Stimmung exakt 386,31 Cent)
Intervalle der 53-Skala
Im Vergleich zur reinen Stimmung wird hier das Schisma (2 Cent), der Unterschied zwischen pythagoreischem Komma (23,5 Cent) und syntonischem Komma (21,5 Cent) vernachlässigt.Die Grundintervalle der 53-Skala sind: (k = pythagoreisches Komma = syntonisches Komma):
- Ok = 53k (Oktave)
- Q = 31k (Quinte)
- gT = 17k (große Terz)
c=0k his=1k des=4k cis=5k d=9k cisis=10k es=13k dis=14k fes=17k e=18k f=22k eis=23k ges=26k fis=27k g=31k fisis=32k as=35k gis=36k a=40k gisis=41k b=44k ais=45k ces=48k h=49k c=53k
Oder (siehe Tanaka) Tabelle der 53 Stufen (reine Quinten waagrecht große und kleine Terzen schräg:
,,,fis ,,,cis ,,,gis ,,,dis ,,,ais ,,,eis ,,,his ,,,fisis
24 2 33 11 42 20 51 29
/ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
,,d ,,a ,,e ,,h ,,fis ,,cis ,,gis ,,dis ,,ais
7 38 16 47 25 3 34 12 43
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
,f ,c ,g ,d ,a ,e ,h ,fis ,cis
21 52 30 8 39 17 48 26 4
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
as es b f c g d a e
35 13 44 22 0 31 9 40 18
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
'ces 'ges 'des 'as 'es 'b 'f 'c 'g
49 27 5 36 14 45 23 1 32
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
''eses ''bb ''fes ''ces ''ges ''des ''as ''es ''b
10 41 19 50 28 6 37 15 46
Setzt man man die Tabelle über das Parallelogramm fort, erhält man durch schismatische und kleismatische Verwechslung (hier statt 2 Cent bzw. 8 Cent wegen der geringen Temperierung keine Unterschiede) Töne, die bereits vorhanden sind. Zum Beipiel:
- waagrecht: c(0) d(31) d(9) a(40) e(18) h(49) fis(27) ... mit h='ces(49) und fis='ges(27) ...
- Schräg nach rechts oben: c(0) ,e(17) ,,gis(34) ,,,his(51) ,,,,disis(15) ,,,,,fisis(32) ... mit ,,,,disis=''es und ,,,,,fisis='g(32)
- Schräg nach rechts unten: c(0) 'es(14) ''ges(28) '''heses(42) ''''deses(3) usw. mit '''heses=,,,ais und ''''deses=,,cis(3).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
c 'c ,,,cis,,cis,cis 'des ''des,,d ,d d
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
''eses ,,,dis,,dis es 'es ''es ,,e ,e e ''fes
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
,,,eis ,f f 'f,,,fis ,,fis ,fis 'ges''ges,,,fisis
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
,g g 'g ,,,gis ,,gis as 'as ''as ,,a ,a
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
a ''b ,,,ais,,ais b 'b ''b ,,h ,h 'ces
50 51 52
''ces ,,,his ,c
Größe Intervall Name Näherungsbruch (✅=im Quint-Terz-System)
0k ,his nach c Schisma
'''fes nach ,,,eis Kleisma
1k ,cis nach 'des Diaschisma 81/80 ✅ 531441/524288 ✅
,d nach d syntonisches Komma
c nach his pythagoreisches Komma
2k ,,fis nach 'ges kleine Diesis 39/38
3k ,,fis nach ''ges kleiner chromatischer Halbton (große Diesis) 25/24 ✅
'es nach ,e dto.
4k 'des nach d großer chromatischer Halbton (kleines Chroma) 256/243 ✅
,ais nach ces doppelt verminderte Terz
dis nach e Leimma (diatonischer pythagoreischer Halbton)
5k e nach f diatonischer Halbton 16/15 ✅
c nach cis pythagoreische übermäßige Prim
8k d nach ,e kleiner Ganzton 10/9 ✅
9k c nach d großer Ganzton 9/8 ✅
10k ,,gis b verminderte Terz 49/43
12k 'des ,e übermäßige Sekunde (1) 7/6
13k c nach es pythagoreische kleine Terz 32/27 ✅
f nach ,gis übermäßige Sekunde (2)
14k c nach 'es kleine Terz 6/5 ✅
17k c nach ,e große Terz 5/4 ✅
18k c nach e pythagoreische große Terz 81/64 ✅
19k ,d nach 'ges verminderte Quarte 9/7
22k c nach f Quarte 4/3 ✅
f nach ,ais übermäßige Terz
26k f nach ,h Tritonus 45/32 ✅
1/2 Oktave
27k c nach 'ges verminderte Quinte 64/45 ✅
31k c nach g Quinte 3/2 ✅
34k 'des nach ,a übermäßge Quinte 14/9
35k c nach as pythagoreische kleine Sext 11/7
36k c nach 'as kleine Sext 8/5 ✅
39k c nach ,a große Sext 5/3 ✅
40k c nach a pythagoreische große Sext 27/16 ✅
,dis nach c verminderte Septime
44k c nach b kleinere kleine Septime = Oktave - großer Ganzton 16/9 ✅
45k c nach 'b größere kleine Septime = Oktave - kleiner Ganzton 9/5 ✅
48k c nach ,h große Septime 15/8 ✅
53k c nach c Oktave 2/1 ✅
Notiert man den Abstand der Tonleiter von c aus in Klammer und den Abstand zwischen den Tönen tiefer geschrieben, so lautet die C-Dur-Tonleiter:
c(0) 9 d(9) 8 ,e(17) 5 f(22) 9 g(31) 8 ,a(39) 9 ,h(48) 5 c(53)
,e ("Tiefkomma e") bedeutet hier in Abwandlung der Eulerschen Schreibweise",e erklingt 1/53 Oktave tiefer als e" usw.
Die Tonleiter wird also hier in 53 Teile geteilt, wobei
große Terz c,e = 17 Teile Quinte = cg = 31 Teile
Die Tonleitern im Quintenzirkel ergänzt um harmonisch Moll schreiben sich dann folgendermaßen (der Übersicht halber alle von c aus notiert):
C-Dur c(0) d(9) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) ,h(48) c(53) ,a-moll ,d(8) ,,fis(25),,gis(34) ,a G-Dur c(0) d(9) ,e(17) ,fis(26) g(31) a(40) ,h(48) c(53) ,e-moll,,cis(3),,dis(12) ,e ,a(39) D-Dur ,cis(4) d(9) e(18) ,fis(26) g(31) a(40) ,h(48) ,cis(57) ,h-moll ,e(17) ,,gis(34),,ais(43) ,h A-Dur ,cis(4) d(9) e(18) ,fis(26) ,gis(35) a(40) h(49) ,cis(57) ,fis-moll ,,dis(12),,eis(21) ,fis ,h(48) E-Dur ,cis(4) ,dis(13) e(18) fis(27) ,gis(35) a(40) h(49) ,cis(57) ,cis-moll ,fis(26) ,,ais(43),,his(52) ,cis H-Dur cis(5) ,dis(13) e(18) fis(27) ,gis(35) ,ais(44) h(49) cis(58) ,gis-moll,cis(4) ,,eis(21),,fisis(30),gis Fis-Dur cis(5) ,dis(13) ,eis(22) fis(27) gis(36) ,ais(44) h(49) cis(58) ,dis-m,,cisis(8) ,dis ,gis(35) ,,his(52) Cis-Dur cis(5) dis(14) ,eis(22) fis(27) gis(36) ,ais(44) ,his(53) cis(58) ,ais-moll ,dis(13) ,,fisis(30),,gisis(39),ais
C-Dur c(0) d(9) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) ,h(48) c(53) ,a-moll ,d(8) ,,fis(25),,gis(34) ,a F-Dur c(0) ,d(8) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) b(44) c(53) ,d-moll,,cis(3) ,d ,g(30) ,,h(47) B-Dur c(0) ,d(8) es(13) f(22) ,g(30) ,a(39) b(44) c(53) ,g-moll ,c(52) ,,e(16),,fis(25) ,g Es-dur ,c(52) ,d(8) es(13) f(22) ,g(30) as(35) b(44) ,c(52) ,c-moll ,c ,f(21) ,,a(38) ,,h(47) ,c As-dur ,c(52) des(4) es(13) ,f(21) ,g(30) as(35) b(44) ,c(52) ,f-moll ,,d(7) ,,e(16) ,f ,b(43) Des-dur ,c(52) des(4) es(13) ,f(21) ges(26) as(35) ,b(43) ,c(52) ,b-moll ,es(12) ,,g(29) ,,a(38) ,b Ges-dur ces(48) des(4) ,es(12) ,f(21) ges(26) as(35) ,b(43) ces(48) ,es-moll ,,c(51) ,,d(7) ,es ,as(34) Ces-dur ces(48) des(4) ,es(12) fes(17) ges(26) ,as(34) ,b(43) ces(48) ,as-moll ,des(3) ,,f(20) ,,g(29) ,as
Erweitert
C-Dur: c(0) d(9) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) ,h(48) c(53)
c-moll c(0) d(9) 'es(14) f(22) g(31) 'as(36) 'b(45) c(53)
,A-Dur ,,cis(3) ,d(8) ,e(17) ,,fis(25) ,,gis(34) ,a(39) ,h(48) ,,cis(56)
G-Dur: c(0) d(9) ,e(17) ,fis(26) g(31) a(40) ,h(48) c(53)
g-moll c(0) d(9) 'es(14) 'f(23) g(31) a(40) 'b(45) c(53)
,E-dur ,,cis(3) ,,dis(12) ,e(17) ,fis(26) ,,gis(34) ,a(39) ,h(48) ,,cis(56)
D-Dur: ,cis(4) d(9) e(18) ,fis(26) g(31) a(40) ,h(48) ,cis(57)
d-moll 'c(1) d(9) e(18) 'f(23) g(31) a(40) 'b(45) 'c(54)
,H-Dur ,cis(4) ,,dis(12) ,e(17) ,fis(26) ,,gis(34) ,,ais(43) ,h(48) ,cis(57)
A-Dur: ,cis(4) d(9) e(18) ,fis(26) ,gis(35) a(40) h(49) ,cis(57)
a-Moll 'c(1) d(9) e(18) 'f(23) 'g(32) a(40) h(49) 'c(54)
,Fis-Dur,cis(4),,dis(12),,eis(21),fis(26) ,gis(35),,ais(43) ,h(48) ,cis(57)
E-Dur: ,cis(4) ,dis(13) e(18) fis(27) ,gis(35) a(40) h(49) ,cis(57)
e-moll 'c(1) 'd(10) e(18) fis(27) 'g(32) a(40) h(49) 'c(54)
,Cis-Dur,cis(4) ,dis(13),,eis(21) ,fis(26) ,gis(35),,ais(43),,his(52) ,cis(57)
H-Dur cis(5) ,dis(13) e(18) fis(27) ,gis(35) ,ais(44) h(49) cis(58)
h-moll cis(5) 'd(10) e(18) fis(27) 'g(32) 'a(41) h(49) cis(58)
,Gis-Dur ,cis(4),dis(13),,eis(21),,fisis(30),gis(35) ,ais(44),,his(52) ,cia(57)
Fis-Dur cis(5) ,dis(13) ,eis(22) fis(27) gis(36) ,ais(44) h(49) cis(58)
fis-moll cis(5) 'd(10) e'(19) fis(27) gis(36) 'a(41) h(49) cis(58)
,Dis-Dur cis(5) ,dis(13) ,eis(22) fis(27) ,gis(35) ,ais(44) h(49) cis(58)
C-Dur c(0) d(9) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) ,h(48) c(53)
F-Dur c(0) ,d(8) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) b(44) c(53)
f-moll c(0) 'des(5) 'es(14) f(22) g(31) 'as(36) b(44) c(53)
,D-Dur ,,cis(3) ,d(8) ,e(17) ,,fis(25) ,g(30) ,a(39) ,,h(47) ,,cis(56)
B-Dur c(0) ,d(8) es(13) f(22) ,g(30) ,a(39) b(44) c(53)
b-moll c(0) 'des(5) es(13) f(22) 'ges(27) 'as(36) b(44) c(53)
,G-Dur ,c(-1) ,d(8) ,,e(16),,fis(25) ,g(30) ,a(39) ,,h(47) ,c(52)
Es-dur ,c(-1) ,d(8) es(13) f(22) ,g(30) as(35) b(44) ,c(52)
es-moll 'ces(-4) 'des(5) es(13) f(22) 'ges(27) as(35) b(44) 'ces(49)
,C-Dur ,c(-1) ,d(8) ,,e(16) ,f(21) ,g(30) ,,a(38) ,,h(47) ,c(52)
As-dur ,c(52) des(4) es(13) ,f(21) ,g(30) as(35) b(44) ,c(52)
As-moll 'ces(-4) des(4) es(13)'fes(18) 'ges(27) as(35) b(44) 'ces(49)
,F-Dur ,c(-1) ,,d(7) ,,e(16) ,f(21) ,g(30) ,,a(38) ,b(43) ,c(52)
Des-dur ,c(52) des(4) es(13) ,f(21) ges(26) as(35) ,b(43) ,c(52)
Des-moll 'ces(-4) des(4) es(13)'fes(18) ges(26) as(35)'heses(40) 'ces(49)
,B-Dur ,c(-1) ,,d(7) ,es(12) ,f(21) ,,g(29) ,,a(38) ,b(43) ,c(52)
Ges-dur ces(-5) des(4) ,es(12) ,f(21) ges(26) as(35) ,b(43) ces(48)
ges-moll ces(-5) des(4) 'eses(9) 'fes(18) ges(26) as(35)'heses(40) ces(48)
,Es-Dur ,,c(-2) ,,d(7) ,es(12) ,f(21) ,,g(29) ,as(34) ,b(43) ,,c(51)
Diese Werte aufgelistet
C/,A G/,E D/H A/,Fis E/,Cis H/,Gis Fis/,Dis F/,D B/,G Es/,C As/,F Des/,B Ges/,Es
-5 . . . . . . . | . . . . ces
-4 . . . . . . . | . 'ces 'ces 'ces .
-3 . . . . . . . | . . . . .
-2 . . . . . . . | . . . . ,,c
-1 . . . . . . . | ,c ,c ,c ,c .
00 c c . . . . . c c . . . .
01 . . 'c 'c 'c . . | . . . . .
02 . . . . . . . | . . . . .
03 ,,cis ,,cis. . . . . ,,cis . . . . .
04 . . ,cis ,cis ,cis ,cis . | . . des des des
05 . . . . . cis cis 'des 'des 'des . . .
06 . . . . . . . | . . . . .
07 . . . . . . . | . . ,,d ,,d ,,d
08 ,d . . . . . . ,d ,d .d . . .
09 d d d d . . . | . . . . 'eses
10 . . . . 'd 'd 'd | . . . . .
11 . . . . . . . | . . . . .
12 . ,,dis ,,dis ,,dis . . . | . . . ,es ,es
13 . . . . ,dis ,dis ,dis | es es es es .
14 'es 'es . . . . . 'es . . . . .
15 . . . . . . . | . . . . .
16 . . . . . . . | ,,e ,,e ,,e . .
17 ,e ,e ,e . . . . ,e . . . . .
18 . . e e e e . | . . 'fes 'fes 'fes
19 . . . . . . 'e | . . . . .
20 . . . . . . . | . . . . .
21 . . . ,,eis ,,eis ,,eis . | . ,f ,f ,f ,f
22 f . . . . ,eis f f f . . .
23 . 'f 'f 'f . . . | . . . . .
24 . . . . . . . | . . . . .
25 ,,fis . . . . . . ,,fis ,,fis. . . .
26 . ,fis ,fis ,fis ,fis . . | . . . ges ges
27 . . . . fis fis fis | 'ges 'ges 'ges . .
28 . . . . . . . | . . . . .
29 . . . . . . . | . . . . ,,g
30 . . . . . ,,fisis. ,g ,g ,g ,g . .
31 g g g . . . . g . . . . .
32 . . . 'g 'g 'g . | . . . . .
33 . . . . . . . | . . . . .
34 ,,gis ,,gis ,,gis. . . . | . . . . ,as
35 . . . ,gis ,gis ,gis ,gis | . as as as as
36 'as . . . . . gis 'as 'as . . . .
37 . . . . . . . | . . . . .
38 . . . . . . . | . ,,a ,,a ,,a .
39 ,a ,a . . . . . ,a ,a . . . .
40 . a a a a . . | . . . 'heses 'heses
41 . . . . . 'a 'a | . . . . .
42 . . . . . . . | . . . . .
43 . . ,,ais ,,ais ,,ais . . | . . ,b ,b ,b
44 . . . . . ,ais ,ais b b b b . .
45 'b 'b 'b . . . . | . . . . .
46 . . . . . . . | . . . . .
47 . . . . . . . ,,h ,,h ,,h . . .
48 ,h ,h ,h ,h . . . | . . . . ces
49 . . . h h h h | . 'ces 'ces 'ces .
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