Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

Die Teilung der Oktave in 53 Tonstufen
Die 53-Mercatorkkala

Hermann von Helmholtz schreibt in seiner Lehre von den Tonempfindungen auf Seite 531 folgendes:
Will man eine Scala in fast genauer natürlicher Stimmung herstellen, welche unbegrenzt fortzumodulieren gestattet, ... so lässt sich dies durch die schon von [Nikolaus] Mercator (1620?-1687) vorgeschlagene Teilung der Octave in 53 gleich große Intervalle erreichen. Eine solche Stimmung hat neuerdings Herr Bosanquet für ein Harmonium mit symmetrisch angeordneter Tastatur benutzt. [An elementary Treatease on Musical Intervals and Temperament by. R.H.M. Bosanquet, Lonon. Macmillan 1875].
Die Annäherungen der Oktave durch Quinten (12 Quinten entspricht ungefähr 7 Oktaven) führte zur gleichstufigen Temperierung durch Teilung der Oktave in 12 gleiche Intervalle. Sie hat den Nachteil sehr rauer Großterzen.
Die nächste Annäherung (41 Quinten entspricht ungefähr 24 Oktaven) ist für eine gleichstufige Unterteilung der Oktave in 41 Teile ungeeignet, da die große Terz zu ungenau und - vor allem - die Verrückungen um ein syntonisches Komma noch hörbare Unreinheiten ergibt.
Die nächste Annäherung der Oktave (53 Quinten entspricht fast genau 31 Oktaven) hat einen überzeugenden Vorteil. Teilt man die Oktave in 53 gleiche Intervalle so entspricht die 31. Stufe (701,887 Cent) sehr genau der reinen Quinte (701,955 Cent) und - das ist besonders wichtig und so nicht zu erwarten - die 17. Stufe (384,906 Cent) der Großterz (386,314 Cent) und die Verrückung um ein syntonisches Komma (21,506 Cent) um fast genau eine Stufe (22,642 Cent) dieser Temperierung.
Dies wird im folgendem untersucht. Dabei beachte man die schismatische und die (nur für die Theorie bedeutsame) kleismatische Verwechslung.

Schismatische Verwechslung

Jede Tonleiter im Quintenzirkel kann rein gespielt werden kann, wobei Abweichungen in der Größenordnung einen Schismas von 2 Cent, die unser Gehör nicht wahrnehmen kann, toleriert werden.
Andreas Werckmeister („Musicalische Temperatur“, Quedlinburg 1691) erkannte nämlich dass man folgende Töne, die sich nur um ein Schisma unterscheiden, gleichsetzten kann: ,his=c und 'des=cis und ,dis=es usw. (siehe Tabelle unten)

Kleismatische Verwechslung

(Nur von theoretischem Interesse.)
Die Kleismatische Verwechslung führte Tanaka (Nachmame) Shohel (Vorname) in seiner Dissertation ein, indem er sämtliche theoretisch mögliche Modulationen betrachtete und zum Beispiel zeigte, dass '''fes=,,,eis ist wenn man den Fehler des Kleismas toleriert. (Genau: '''fes=448,89 Cent, ,,,eis=456,99 Cent, Kleisma=8,11 Cent).
Weitere kleismatische Verwechslungen wären '''ges=,,,fisis, '''ces=,,,his, '''fes=,,,eis, '''bb=,,,ais, ''b=,,,,aisisi, ''es=,,,,disis, ''as=,,,,gisisi, ''de=,,,,cisis, ''ges=,,,,fisis.
Tanaka zeigte, indem er sämtliche theoretisch mögliche Modulationen betrachtete und zeigte, dass die 53-stufige Stimmung die einzige gleichstufige Stimmung mit dieser Eigenschaft ist, sowohl Schisma als auch Kleisma zu temperieren.
Man beachte
Ein Stufenschritt des 53-stufigen Stimmung unterscheidet sich vom pythagoreischen und syntonischen Komma nur unmerklich. Genaue Werte:
Stufenschritt der 53-Skala = 22,64 Cent
pythagoreisches Komma = 23,46 Cent
syntonisches Komma =21,51 Cent
Schisma = pythagoreisches Komma - syntonisches Komma = 1,95 Cent.
In der folgenden Tabelle (nach Mercator 1620?-1687) bedeutet:
Die erste Spalte: Die 53 Tonstufen der Oktave
Die zweite Spalte: Der Tonabstand zum Ton c in Cent
Die dritte Spalte: Entsprechende Töne in Eulerschen Schreibweise mit Centangabe.
Tonst. Tonst.
in
Cent
Entspr. Töne
-3 - 68 ,,,c= - 65  
-2 -45 ,,c= - 43  
-1 - 23 ,c= - 22 ,,his= - 20
00 0 c=0 ,his=2
01 23 'c=22 his=23
02 45 ''c=43  
03 68 ,,cis=71
04 91 des=90 ,cis=92
05 113 'des=112 cis=114
06 136 ''des=133
07 158 ,,d=161  
08 181 ,d=182 ,,cisis=184
09 204 d=204 ,cisis=206
10 226 'd=225 cisis=227  
11 249 ''d=247 ,,es=251  
12 272 ,es=273 ,,dis275
13 294 es=294 ,dis=296
14 317 'es=316 dis=318
15 340 ''es=337
16 362 ,,es=365  
17 385 fes=384 ,e=386
18 408 'fes=406 e=408
19 430 'e=429  
20 453 ''e=451 ,,f=455  
21 475 ,f=477 ,,eis=478
22 498 f=498 ,eis=500
23 521 eis=522
24 543 'eis=543  
25 566 ,,fis=569
26 589 ges=588 ,fis=590
27 611 'ges=609 fis=612
28 634 'fis=633  
29 657 ''fis=655 ,,g=659  
30 679 ,g=680 ,,fisis=682
31 702 g=702 ,fisis=704
32 725 fisis=725  
33 747 ,,,gis=752  
34 770 ,as=771 ,,gis=772
35 792 as=792 ,gis=794
36 815 'as=814 gis=816
37 838 ''as=835
38 860 ,,a=863  
39 883 ,a=884
40 906 a=906
41 928 gisis=929  
42 951 ,,b=953  
43 974 ,b=975 ,,ais=976
44 996 b=996 ,ais=998
45 1019 'b=1018 ais=1020
46 1042 ''b=1039 'ais=1041  
47 1064 ,ces=1065 ,,h=1067  
48 1087 ces=1086 ,h=1088
49 1109 'ces=1108 h=1110
50 1132 'h=1131  
51 1155 ''h=1153 ,,c=1157  
52 1177 ,c=1178 ,,his1180
53 1200 c=1200
Man sieht: Jede Tonleiter des Quintenzirkels kann rein gespielt werden. (Toleranz:Schisma=1,95 Cent).

Der Quintenzirkel in der 53-Skala von c aus gemessen I

                                 
     des  es  ,f    ges  as   ,b  ,c    des
     4    13   21   26   35   43   52   4 
       9    8     5    9    8    9    5

                                                 
                         as   b   ,c    des  es  ,f   ,g    as
                         35   44   52   4    13   21   30   35
                            9    8    5    9    8    9    5 

                                      
          es   f   ,g    as   b   ,c   ,d    es
          13   22   30   35   44   52   8    13
             9    8    5    9    8    9    5    

                                                          
                              b    c   ,d    es   f   ,g   ,a    b
                              44   0    8    13   22   30   39   44
                                 9    8    5    9    8    9    5

                                           
               f    g   ,a    b    c   ,d   ,e    f
               22   31   39   44   0    8    17   22
                  9    8    5    9    8    9    5

                            
c    d   ,e    f    g   ,a   ,h    c
0    9    17   22   31   39   48   0   (mod 53)
  9    8     5    9    8    9    5     (Differenzen)

                                                
                    g    a   ,h    c    d   ,e   ,fis  g
                    31   40   48   0    9    17   26   31
                       9    8    5    9   8     9    5   

                                 
     d    e   ,fis  g    a   ,h   ,cis  d    
     9    18   26   31   40   48   4    9
       9     8    5    9    8    9    5      

                                                    
                         a    h   ,cis  d    e   ,fis ,gis   a
                         40   49   4    9    18   26   35   40 
                            9    8    5    9    8    9    5

                                       
           e    fis ,gis  a    h   ,cis ,dis  e
           18   27   35   40   49   4    13   18
              9    8    5    9    8    9    5  

                                                           
                               h    cis ,dis  e    fis ,gis ,ais  h   
                               49   5    13   18   27   35   44   49
                                  9    8    5    9    8    9    5

                                                              
                fis  gis ,ais  h    cis ,dis ,eis  fis
                27   36   44   49   5    13   22   27  
                   9    8    5    9    8    9    5  

                                
cis  dis ,eis  fis  gis ,ais ,his  cis 
5    14   22   27   36   44   0    5
   9    8    5    9    8    9    5 

Der Quintenzirkel in der 53-Skala von c aus gemessen II

k=Oktave/53=22,6 Cent (ungefähr=synt. Komma=21,5 Cent/Pyth. Komma=23,5 Cent), chromatischr Halbton=4k, diatonischer Halbton=5k, kleiner Ganzton=8k, Großer Ganzton=9k, kleine Terz=14k, große Terz=17k, Quarte=22k, Quinte=31k. (Abweichungen in der Größenordnung von einem Schisma=2 Cent.)
 
   Tonart
   des  as   es   b    f   |c |  g    d    a    e    h    fis  cis       mitteltönig

0 c c |c | c ,his 0 c
1 |↓ |
2 | |
3 | | 3,25...,cis
4 des des | | ,cis ,cis ,cis
5 ↓ | | cis cis cis 5,25 °'des
6 | | ↓
7 | |
8 ,d ,d ,d | | 8,5 ..d
9 |d | d d d
10 | | ↓
11 | | 11,75.,,dis
12 | |
13 es es es es | | ,dis ,dis ,dis 13,75°°°es
14 ↓ | | dis
15 | |
16 | |
17 ,e |,e| ,e ,e
18 | | e e e e
19 | | ↓
20 | | 20,25...,,eis
21 ,f ,f | |
22 f f f |f | ,eis ,eis 22,25 °f
23 ↓ | |
24 | |
25 | | 25,5 ..,fis
26 ges | | ,fis ,fis ,fis
27 | | fis fis fis fis 27,5 °°'ges
28 | | ↓
29 | |
30 ,g ,g ,g | | 30,75 °g
31 g |g | g g
32 | | ↓
33 | |
34 | | 34 ,,gis
35 as as as | | ,gis ,gis ,gis
36 ↓ | | gis gis 36 'as
37 | |
38 | |
39 ,a ,a |,a| 39,25...a
40 | | a a a a
41 | | ↓
42 | | 42,25..,,ais
43 ,b | |
44 b b b b | | ,ais ,ais ,ais 44,5 °°b
55 ↓ | |
46 | |
47 | | 47,75 .,h
48 |,h| ,h ,h
49 | | h h h h
50 | | ↓
51 | | 51 ,,,his
52 ,c ,c ,c | |
53 c c |c | c ,his c
In alten Singschulen konnte man mit den theoretischen Verhältnissen der Intervalle wenig anfangen. Die multiplikativen Größenverhältnisse zum Beispiel zwischen den Ganztönen mit den Verhältnissen 9/8 und 10/9 waren zu abstrakt. Seit Guido von Arrezzo (992 bis 1050) kannte man die arithmetische Einteilung. Hier hatte man eine gute Vorstellung der Größen der Intervalle.
Großer Ganzton (c-d) = 9 Teile
Kleiner Ganzton (d-,e) = 8 Teile
Diatonischer Halbton (,e-f) = 5 Teile
Chromatischer Halbton ('b-h oder f-,fis) = 4 Teile
Große Terz (c-,e) = 17 Teile
Quinte (c-g) = 31 Teile
Oktave (c-c') = 53 Teile

Dies stellt die Größenverhältnisse in hervorragender Weise dar. Der Fehler zum exakten Wert liegt in der Größenordnung von einem Schisma (2 Cent).

Die mitteltönige Stimmung in der 53-Skala

Genau bis auf das Schisma=2 Cent (entspricht in der 53-Skala dem Wert von 0,09)

°'des .,,dis ...,,eis °°'ges 'as ..,,ais ,,,his 5,25 11,75 20,25 27,5 36 42,5 51
...,cis °°°es ..,fis ,,gis °°b 3,25 13,75 25,5 34 44,5
c ..d ,e °f .g ...a .,h c 0 8,5 17 22,25 30,75 39,25 47,75 53
8,5 8,5 5,25 8,5 8,5 8,5 5,25
chromatischer Halbton=3,25 / diatonischer Halbton=5,25 / Ganzton=8,5 / Kleinterz=13,75 / Großterz=17 / Quart=22,25 / Quint=30,75 / kl. Sext=36 / gr. Sext=39,25 / kl. Septime=44,5 / gr. Septime=47,75 / Oktave=53
Das Manual von Bosanquet. Mit dem Harmonium lassen sich alle Tonleitern des Quintenzirkels rein spielen (bis auf 2Cent).
Das Manual des Harmoniums von Bosanquet - Tasten
Das Manual des Harmoniums von Bosanquet - Beschreibung
Erläuterung: Bosanquet verwendet statt ,c die Schreibweise \c und statt 'c die Schreibweise /c.
Quelle nach Hermann von Helmholtz
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