Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

Athanasius Kircher (1602-1680)
Musurgia universalis sive Ars magna consoni et dissoni

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Alle Centangaben von mir.

Excerpt aus Band III

S. 4

Definitionen

(gekürzt, von mir modernisiert)

Axiome und Postulate zur Musik

wörtlich.
1. Was auch immer etwas anderes messen kann, das misst auch das von diesem Gemessene.
2. Was harmonisch zusammengesetzt ist, kann auch wieder in die Einzelteile zerlegt werden, aus denen es zusammengesetzt ist.
3. Der Teil jeder Zahl ist die nach ihr benannte Einheit.
4. Wenn man irgendeine Zahl mit Eins multipliziert, bringt man diese hervor. 2
5. Was immer misst, indem Eins-mit-Rest abgezogen wird, misst auch das Ganze.
6. Was ein und demselben gleich ist, ist auch untereinander gleich.
7. Was etwas anderes um das Doppelte überragt, das muss mehr als die Hälfte größer sein als jenes.
8. Wenn zwei Ganze einander gleich sind, so sind auch ihre Hälften gleich.
9. Was verdoppelt das Ganze nicht ausfüllt, das ist weniger als halb so groß.
10. Das Ganze ist immer größer als sein Teil.
11. Wenn zwei Saiten einander gleich sind, dann entspricht die Proportion von Strecke zu Strecke auch der von Ton zu Ton.
12. Zwischen harmonischen Zahlen, die nur um eine Einheit [unitas] auseinander liegen, gibt es keine Mitte.
13. Man kann jede beliebige Strecke in beliebig viele gleiche Teile teilen.
14. Das harmonische Ganze [totum [spacium] harmonicum] gibt im Verhältnis zu einem seiner Teile einen tieferen Ton von sich, genau wie eine weniger gespannte gegenüber einer straff gespannten Saite.
15. Jede Proportion ist das Verhältnis einer Zahl zu einer anderen.
16. Der Teil gibt im Vergleich zum Ganzen einen höheren Ton von sich.
17. Durch Vermehrung der Bewegung strebt ein Ton aus der Tiefe nach oben, durch Verringerung der Bewegung von oben nach unten.
18. Im gleichen Material, verhält sich ein Ton zum anderen wie eine Größe zur anderen.
19. Ein hoher Ton besteht aus zahlreicheren Bewegungen als ein tiefer.
20. Ein Ganzton kann nicht harmonisch in zwei gleiche Halbtöne geteilt werden
S.9
Vielfaches Verhältnis: zum Beispiel 4:2, 9:3.
superpartikulares Verhältnis: n+1/n zum Beispiel 3:2, 4:3. : s15

Reihen

Arithmetrisch

Zum Beispiel: 4, 7, 10, 13, 16.

Geometrisch

Die geometrische Reihe ist dann gegeben, wenn drei oder mehr Zahlen zueinander das gleiche Verhältnis haben.
Zum Beispiel: 2,4,8,16 oder 3/2, 9/4, 27/8.

Harmonische

Eine musikalische oder harmonische Proportionalität oder eine musikalische Mitte liegt vor, wenn drei Zahlen a〈b〈c so angeordnet sind, dass das Verhältnis der größten zur kleinsten Zahl dasselbe ist wie das von der Differenz der zwei größeren zur Differenz der zwei kleineren: c/a=c-b/b-a.
Zum Beispiel 3〈4〈6 mit 6/3=2/1 beschreibt die drei Hauptkonsonanzen, die Oktave (6:3), die Quinte (6:4) und die Quarte (4:3).
S.30 Zur großen Terz (5/4): Diese Terz haben auch die modernen Musiker, die entgegen der Meinung der Pythagoräer auf Vernunft und Erfahrung vertrauen, eingeführt.
S.31f
Tritonus: 45:32. Verminderte Quinte: 64:45
S.36ff Goßer Halbton; 16:15 (112 Cent)
kleiner Halbton: 25:24 (71 Cent)
Diësis=Großer Halbton-kleiner Halbton: 128:125 (40 Cent) (Siehe S.92 Zwei Kommata bilden eine Diësis im enharmonischen Tongeschlecht.)
Das Komma ist das kleinste wahrnehmbare Intervall: 81/80 (21,5 Cent)

Tabelle der Intervallproportionen

Komma 80 : 81 (21,5 Cent)
Diaschisma 160 : 162 (21,5 Cent)
enharmonische Diësis 128 : 125 (41,1 Cent)
Diësis / pythagoreisches Limma 243 : 256 (90,20 Cent)
pythagoreische Apotome 2.048 : 1.187 (944,3 Cent)
kleiner Halbton 25 : 24 (70,7 Cent)
großer Halbton 16 : 15 (111,7 Cent)
kleiner Ganzton 10 : 9 (182,4 Cent)
großer Ganzton 9 : 8 (203,9 Cent)
kleine Terz 6 : 5 (315,6 Cent)
große Terz 5 : 4 (386,3 Cent)
Quarte 4 : 3 (498,0 Cent)
Tritonus 45 : 32 (590,2 Cent)
verminderte Quinte 64 : 45 (609,8 Cent)
Quinte 3 : 2 (702,0 Cent)
große Sexte 5 : 3 (884 Cent)
kleine Sexte 8 : 5 (8013,7 Cent)
kleine Septime 9 : 5 (1017,6 Cent)
große Septime 15 : 8 (088,3 Cent)
Oktave 2 : 1 (1200 Cent)

S.78

Die Oktave in 53 Teile geteilt

Titel von mir, Unterteilung in Schismata =1/2 Komma) weggelassen.
Komma 1
Diaschisma 2
kl. Halbton 4
gr. Halbton 5
Ganzton 9
verm Terz 13 Terz 18
Quarte 22
Quinte 31
Tritonus 23
Oktave 53