Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

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Beschreibung der Tonstruktur hörpsychologisch ohne Akustik

Das Verständnis über Töne und Intervalle kann ohne physikalische Begriffe vermittelt werden. Die ersten bekannten hörpsychologisch mathematischen Beschreibungen eines Tonsystems stammen von Aristoxenos.

Die Tonhöhe eines bestimmten Tones kann durch eine „Ur“-Stimmgabel ohne Angabe seiner Frequenz festgelegt und weitervermittelt werden (ähnlich wie die Einheit Meter durch das Urmeter festgelegt werden kann).

Ein Lehrer kann seinem Schüler „zeigen“, was ein Oktave, eine Quinte, eine große Terz usw. ist, ohne auf das Frequenzverhältnis der Schwingungen einzugehen. Im Folgenden wird die zugrundeliegende Theorie erläutert.

Beschreibung der Tonstruktur als Algebraische Struktur

Bei einer Tonstruktur hat man einerseits eine Menge von Tönen und andererseits eine Menge von Intervallen, für die die folgenden offensichtlichen Regeln gelten:

Beispiel 1 (Oktave = 12 Halbtöne)

Beispiel 2 (Oktave = 53 Kommata)

Zu Zeiten Zarlinos (16. Jahrhundert) lehrte man in Musikschulen: Der große Ganzton hat ein Größe von 9 Teilen, der kleine Ganzton von 8 Teilen und der diatonische Halbton von 5 Teilen.

Hieraus folgt: Mit dieser Einteilung ließen sich die Größenverhältnisse für die reine Intonation von Tonschritten einfach beschreiben.
Diese Teilung der Oktave in 53 Teile kann aus zwei ganzzahligen Beziehungen für die drei Intervalle Ok=Oktave, Q=Quinte und gT=große Terz ohne Bezugnahme auf die Frequenzverhältnisse rein mathematisch hergeleitet werden. (Am Spinett bestätigt von Neumaier[12]) Dieses Gleichungssystem aufgelöst ergibt mit k = 1/53Ok: Nun kann man weitere Intervalle definieren und als Vielfache von k darstellen: Zum Beispiel:

Beispiel 3 (Das Quint Terz-System)

Axiom: Es gibt einen Homomorphismus f von der additiven Gruppe des Intervallraums mit den Intervallen Ok = Oktave, Q = Quinte und gT = große Terz in die multiplikative Gruppe der reellen Zahlen, für die gilt: Für die Berechnung von r und s für Q=r•Ok und gT = s•Ok folgt mit der Untereinheit Ok = 1200 Cent:
Wenn keine Skalarmultiplikation im Intervallraum I vorausgesetzt wird, gilt die Definition

r•Ok = sup {i∈I | z/n ≤ r, n•i ≤ z•Ok, z∈Z, n∈N}

Diese kleinste obere Schranke muss nicht immer existieren. Der Intervallraum aller Vielfache von Ok, Q und gT enthält zum Beispiel nicht 1/2•Ok = 600 Cent, da sup {iI | 2•i ≤ Ok} nicht existiert.
{iI | 2•i ≤ Ok} enthält zum Beispiel die Intervalle

3Ok-q-6gT = 580 Cent
4Ok-6Q = 588 Cent
2Q+gt-Ok = 590 Cent (Tritonus)
5Ok-14gT = 592 Cent
8Q-13gT = 594 Cent
7gT-3Q=598 Cent
6Ok-5Q-8gT=599,7 Cent

und hat die oberen Schranken

2Ok-2Q-gT = 610 Cent (verminderte Quinte)
Ok-8Q+13gT = 606 Cent
Ok+3Q-7gt = 602 Cent
2Ok+20Q-41gT = 600,2 Cent

Die Intervallmenge besitzt kein Maximum und keine kleinste obere Schranke.

Die Harmonik der Planeten

Wir betrachten die Menge der Umlaufradien R+, also die Menge der positiven reellen Zahlen. (Statt "großer Bahnhalbachsen" sprechen wir hier vereinfacht von "Radien" der Planeten).
r0 = 152,1 Gm ist der Umlaufradius der Erde (1Gm = 109m). Die Umlaufzeit der Erde ist 1 Jahr.
Wir betrachten nun die Funktion r → f(r) (Radius [in Gm] zu Umlaufzeit [in Jahr]). Also f(r0) = 1.
Nun gilt nach dem 3. Keplerschen Gesetz
r3 : r03 = f(r)2 : 1, also
f(r) = √(r3 : r03)

Tabelle der Planeten


Radius in Gm / Radius in der Einheit Erdradius / Umlaufzeit in Jahren