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Stimmungen

pythagoreisch, rein, mitteltönig, wohltemperiert, gleichstufig

F-Dur-Kadenz und As-Dur-Kadenz

Kadenzen f-Dur As-Dur
In pythagoreischer Stimmung (mit "dissonanten" großen Terzen)
Ganzton=9k, Halbton=4k
Große Terz 9k+9k=18k
Quinte 9k+9k+4k+9k=31k (rein)
(k=Komma ist eine Rechengröße für Intervalle,
wesentlich einfacher als Cent
Siehe weiter unten)

In reiner Stimmung (das Ideal)
Ganzton=8k/9k, Halbton=5k
Große Terz 9k+8k=17k (rein)
Quinte 9k+8k+5k+9k=31k (rein)
(Ungeeignet für 12 Tasten pro Oktave)

In mitteltöniger Stimmung (F-Dur tadellos, As-Dur heult wie ein Wolf)
Ganzton=81/2k, Halbton=51/4k
Große Terz 81/2k+81/2k=17k (bei immerhin 6 Tonarten)
Quinte 81/2k+81/2k+51/4k+81/2k=303/4k

wohltemperiert (Werckmeister III) (mit Tonartencharakteristik für F- und As-Dur)
Große Terz 171/4k (C-Dur) bzw. 18k (As-Dur)
Quinte 303/4k (C-Dur) bzw. 31k (As-Dur)

gleichstufig (alle Tonarten gleich mit geschärften Terzen)
Ganzton 85/6k, Halbton 45/12k
Große Terz 172/3k
Quinte 3011/12k

Weitere Hörproben

Bei unserer heutigen gleichstufigen Stimmung wird die Oktave in 12 gleiche Halbtöne geteilt und das ist für eine Theorie zu ungenau, wenn man eine gute Intonation beschreiben will, die viele Instrumente und Chöre erreichen können, nicht aber 12-stufige Tasteninstrumente. Deshalb wird im folgenden eine feinere Unterteilung der Oktave verwendet, die die Größenverhältnisse von Intervallen sehr genau beschreibt. Diese Unterteilung verwendete man schon in Musikschulen in der Mitte des 16. Jahrhunderts.

pythagoreische Stimmung

Im Früh- und Hochmittelalter verwendete man in den Kirchentonarten nur die Töne A H (oder B) C D E F G und ordnete ihnen folgen Größen zu: Ganzton=9k und Halbton=4k, wobei k - genannt Komma - etwa 1/5 eines Halbtons ist (Zum pythagoreischen, syntonischen und diesem Komma - alle fast gleich groß - ganz unten mehr). Um mit anders eingestimmten Instrumenten spielen zu können -es gab noch keinen Kammerton- fügte man weitere Halbtöne ein und erhielt die 12-stufige Tastatur, um transponieren zu können. Man verwendete für die Kirchentöne folgende Tonreihe:
pythagoreische Tonfolge: 9k 9k 4k 9k 9k 9k 4k. Das bedeutet:
c-d=9k d-e=9k e-f=4k f-g=9k g-a=9k a-h=9k und h-c=4k.
Hier wichtig: Die Große Terz hat eine Größe von 18k. Zum Beispiel c-e=9k+9k=18k.
In der zweiten Hälfte des 15. Jahrhunderts entdeckte man mit dem Aufkommen der Mehrstimmigkeit die reine große Terz von der Größe mit 17k (mit dem Frequenzverhältnis 5/4), die im bisherigen pythagoreischen Tonsystem beim einstimmigen Musizieren keine Rolle spielte.
Die große Terz mit 18k (Frequenzverhältnis 81/64) wird als dissonant empfunden. Es handelt sich hierbei um die pythagoreische große Terz. Mit jedem Grundton erklingen nämlich als Obertöne neben der Oktave und Quinte auch die reine große Terz, die oktaviert mit dem Grundton die Größe von nur 17k hat (Frequenzverhältnis 5/4) und das reibt sich, wenn gleichzeitig eine pythagoreische Terz mit 18k erklingt. Der Größenunterschied zwischen pythagoreischer großer Terz und reiner großen Terz ist das syntonisches Komma, hier mit k bezeichnet. (Dazu ganz unten mehr).

Reine Stimmung

Aus diesem Grunde änderte man die Tonleiter, so dass c-,e=17k beträgt.
reine Tonleiter: 9k 8k 5k 9k 8k 9k 5k. Das bedeutet für C-Dur:
c-d=9k d-,e=8k ,e-f=5k f-g=9k g-,a=8k ,a-,h=9k und ,h-c=5k.
Das "Tiefkomma" vor e bedeutet: e wird um ein Komma k zu ,e erniedrigt.
Hier sind nun die Kadenz-Akkorde c-,e-g und f-,a-c sowie g-,h-c mit den großen Terzen mit 17k (Frequenzverhältnis 5/4) und den Quinten mit 31k (Frequenzverhältnis 3/2) rein.
Es entstanden in dieser Stimmung großartige Werke. Kein Problem für den A-Capella-Gesang. Aber ein großes Problem für 12stufige Tasteninstrumente, denn bei Modulationen in andere Tonarten änderten sich nicht nur manche Töne mit Vorzeichenwechsel, sondern auch manche Ganztonintervalle um ein Komma k. Zum Beispiel:
C-dur: c d ,e f g ,a ,h c mit reinen Dreiklängen: c-,e-g und f-,a-c sowie g-,h-d
F-dur: f g ,a b c ,d ,e f mit reinen Dreiklängen: f-,a-c und b-,d-f sowie c-,e-g
G-dur: g a ,h c d ,e ,fis g mit reinen Dreiklängen: g-,h-d und c-,e-g sowie d-,fis-a
usw.
Im Vergleich zu C-Dur muss bei F-Dur der Ton d um ein Komma zu ,d erniedrigt werden und in G-Dur der Ton ,a um ein Komma zu a erhöht werden.

Mitteltönige Stimmung

Die reine Stimmung gab Probleme mit einer 12-stufigen Tastatur. Man musste temperieren, d.h. Mittelwerte für einzelne Tasten vorgeben. Mehrere Jahrhundert wurde auf Tasteninstrumenten die mitteltönige Stimmung eingestimmt. (Damals noch mit dem Gehör und das war nicht einmal so schwierig.)
Mitteltönig Tonleiter: 81/2k 81/2k 51/4k 81/2k 81/2k 81/2k 51/4k. Das bedutet für C-Dur
c-..d=81/2k ..d-,e=81/2 ,e-°f=51/4k °f-.g=81/2k .g-...a=81/2k ...a-.,h=81/2k .,h-c=51/4k
Folgende Bezeichnung wird hierbei verwendet: .x bedeutet: Der Ton x wird um 1/4 k erniedrigt, °x bedeutet: Der Ton x wird um 1/4 k erhöht.
Bei dieser Einteilung sind die großen Terzen c-,e und °f-...a sowie .g-.,h rein, die Quinten °f-c und c-.g und .g-..d und ..d-...a und ...a-,e sowie ,e-.,h haben die Größe von 303/4k, sind also 1/4k kleiner als die reine Quinte. Das ist durchaus akzeptabel.
Auf einer 12-stufigen Tastatur fügte man noch die Halbtöne ...,cis / °°°es / ...,fis / ,,gis und °°b so ein, dass alle diatonischen Halbtöne jeweils die Größe von 51/4k bekamen. Man konnte allerdings nicht alle Tonarten des Quintenzirkels spielen: Immerhin B-Dur, F-Dur, C-Dur, G-Dur, D-Dur und A-Dur und das genügte lange Zeit.

Wohltemperierte Stimmung

Zu J.S. Bachs Zeit wurde immer mehr in andere Tonarten moduliert, so dass man aus diesen sechs Tonarten herauskam. Aber in der mitteltönigen Stimmung erklangen dabei "Wölfe" - misstönende Akkorde. Man behalf sich mit mehr als 12 Tasten pro Oktave. Dies war allerdings unpraktikabel und man versuchte es mit unzähligen wohltemperierten Stimmungen. Weit verbreitet war die Stimmung Werckmeister III. Bei diesen Stimmungen unterscheiden sich die Tonleitern mit einem Torartencharakter. C-Dur-nahe Tonarten erklingen reiner als C-Dur-ferne.
Wohltemp.:c-..d=81/2k ..d-...e=83/4k ...e-f=43/4k f-.g=83/4k/.g-...a=81/2k ...a-...h=9k und ...h-c=43/4k.
Dabei wurden die schwarzen Tasten folgendermaßen enharmonisch verwechselbar eingestimmt: ,cis=des und ,dis=es und ,fis=ges sowie ,ais=b. Genau genommen unterscheiden sich die enharmonischen Töne um das winziges Intervall 1/12k, von Werckmeister als Schisma bezeichnet, das vernachlässigbar ist. Die großen Terzen und Quinten im Quintenzirkel sind dann (Ideal:17k und 31k):
ges-b=18k ges-des=31k
des-f=18k des-as=31k
as-c=18k as-es=31k
es-.g=173/4k es-b=31k
b-..d=171/2k b-f=31k
f-...a=171/4k f-c=31k
c-...e=171/4k c-.g=303/4k
.g-...h=171/2k .g-..d=303/4k
..d-,fis=171/2k ..d-...a=303/4k
...a-,cis=173/4k ...a-...e=31k
...e-,gis=173/4k ...e-...h=31k
...h-,dis=173/4k ...h-,fis=303/4k
,fis-,ais=ges-b=18k ,fis-,cis=ges-des=31k

Gleichstufige Stimmung

In letzter Konsequenz kam man zur gleichstufigen Stimmung, bei der alle Tonarten gleich erklingen.
Gleichstufig: 85/6k   85/6k   45/12k   85/6k   85/6k   85/6k   45/12k. Das bedeutet für C-Dur:
c-d=85/6k d-e=85/6k e-f=45/12k f-g=85/6k g-a=85/6k a-h=85/6k und h-c=45/12k.
Die Halbtöne zu den schwarzen Tasten wurden mit der Größe 45/12k eingeschoben, so dass alle 12 Halbtöne gleich groß sind.
Alle großen Terzen und Quinten haben dann die Größe von 172/3k und 3011/12k. Die großen Terzen sind vom Ideal her gesehen 2/3k zu groß, sie klingen rau, und die Quinten um 1/12k zu klein, das ist vernachlässigbar.

Mathematische Theorie

Heute verwendet man häufig eine Darstellung, bei der der gleichstufige Halbton in 100 Cent unterteilt wird. Die Oktave hat dann die Größe von 1200 Cent. Die Berechnung erfolgt über das Frequenzverhältnis und Logarithmen. Das macht die Darstellung sehr unanschaulich, da das Frequenzverhältnis eines Intervalls erst über den Logarithmus etwas über seine Größe preisgibt. Hier zum Vergleich eine Übersicht mit der Beziehung
Oktave = 53k bzw. Oktave=1200 Cent.
Die Intervallgröße wird einmal als Vielfaches von k und dann als Vielfaches von 1 Cent angegeben.
IntervallFrequenz-
verhältnis
Größe Größe
syntonisches Komma 81/80 k (s.u.) 21,5 Cent
pythagoreisches Komma 531441/524288 k (s.u.) 23,5 Cent
pythagoreischer Halbton 256/253 4k 90 Cent
diatonischer Halbton 16/15 5k 112 Cent
kleiner Ganzton 10/9 8k 182 Cent
großer Ganzton 9/8 9k 204 Cent
kleine Terz 6/5 14k 316 Cent
große Terz 4/5 17k 386 Cent
Quarte 4/3 22k 498 Cent
Quinte 3/2 31k 702 Cent
Oktave 2/1 53k 1200 Cent
Genau genommen ist:
Mercatorkomma k=1200/53 = 22,64 Cent. Das ist unsere Recheneinheit.
Syntonisches Komma = 1200•lb(81/80)=21,51 Cent
pythagoreisches Komma = 1200•lb(1,512/27)=23,46 Cent.
Die Berechnungen mit dem Komma k sind bei allen Intervallen auf 1 Cent genau und viel, viel einfacher und anschaulicher als mit Frequenzverhältnisse und Logarithmen. Mit der Kommagröße kann man Intervalle addieren und subtrahieren. Die Frequenzverhältnissen muss man - unanschaulich - multiplizieren und dividieren. Zum Beispiel:
Tritonus=Ganzton + große Terz = 9k+17k=26k. Frequenzverhältnis = 9/85/4=45/32.
große Sext = Oktave - kleine Terz = 53k-14k = 39k. Frequenzverhältnis = 2/1:6/5=5/3.

Umrechnungen Frequenzverhältnis in Kommawerte und umgekehrt.


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