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Stimmungen

pythagoreisch, rein, mitteltönig, wohltemperiert, gleichstufig

F-Dur-Kadenz und As-Dur-Kadenz

Kadenzen f-Dur As-Dur
In pythagoreischer Stimmung (mit sehr rauen großen Terzen)

In reiner Stimmung (das Ideal)

In mitteltöniger Stimmung (F-Dur tadellos, As-Dur heult wie ein Wolf)

wohltemperiert (Werckmeister III) (mit Tonartencharakteristik für F- und As-Dur)

gleichstufig (alle Tonarten gleich mit geschärften Terzen)

Eine weitere Hörprobe dazu.

Bei unserer heutigen gleichstufigen Stimmung wird die Oktave in 12 gleiche Halbtöne geteilt und das ist für eine Theorie zu ungenau, wenn man eine gute Intonation beschreiben will, die viele Instrumente und Chöre erreichen können, nicht aber 12-stufige Tasteninstrumente. Deshalb wird im folgenden eine feinere Unterteilung der Oktave verwendet, die die Größenverhältnisse von Intervallen sehr genau beschreibt. Diese Unterteilung verwendete man schon in Musikschulen ab der Mitte des 16. Jahrhunderts.

pythagoreische Stimmung

Im Früh- und Hochmittelalter verwendete man in den Kirchentonarten nur die Töne A H (oder B) C D E F G und ordnete ihnen folgen Größen zu: Ganzton=9k, Halbton=4k, wobei k das syntonische Komma ist, das kleinste Intervall mit dem Frequenzverhältnis 81/80 (dazu weiter unten mehr). Um mit anders eingestimmten Instrumenten spielen zu können -es gab noch keinen Kammerton- fügte man weitere Halbtöne ein und erhielt die 12-stufige Tastatur, um transponieren zu können. Man verwendete für die Kirchentöne folgende Tonreihe:
pythagoreische Tonfolge: 9k 9k 4k 9k 9k 9k 4k. Das bedeutet:
c-d=9k d-e=9k e-f=4k f-g=9k g-a=9k a-h=9k und h-c=4k.
In der zweiten Hälfte des 15. Jahrhunderts entdeckte man mit dem Aufkommen der Mehrstimmigkeit die reine große Terz (mit dem Frequenzverhältnis 5/4), die im bisherigen pythagoreischen Tonsystem beim einstimmigen Musizieren keine Rolle spielte.
Die große Terz c-e=18k (mit dem Frequenzverhältnis 81/64) wird als dissonant empfunden. Es handelt sich hierbei um die pythagoreische große Terz. Mit jedem Grundton erklingen nämlich als Obertöne neben der Oktave und Quinte auch die reine große Terz, die oktaviert mit dem Grundton die Größe von nur 17k hat (Frequenzverhältnis 5/4) und das reibt sich, wenn gleichzeitig eine pythagoreische Terz mit 18k erklingt. Der Größenunterschied zwischen pythagoreischer großer Terz und reiner großen Terz ist das syntonisches Komma, hier mit k bezeichnet. (Dazu ganz unten mehr).

Reine Stimmung

Aus diesem Grunde änderte man die Tonleiter, so dass c-,e=17k beträgt.
reine Tonleiter: 9k 8k 5k 9k 8k 9k 5k. Das bedeutet für C-Dur:
c-d=9k d-,e=8k ,e-f=5k f-g=9k g-,a=8k ,a-,h=9k und ,h-c=5k.
Das "Tiefkomma" vor e bedeutet: e wird um ein Komma k erniedrigt.
Hier sind nun die Kadenz-Akkorde c-,e-g und f-,a-c sowie g-,h-c mit den großen Terzen mit 17k (Frequenzverhältnis 5/4) und den Quinten mit 31k (Frequenzverhältnis 3/2) rein.
Es entstanden in dieser Stimmung großartige Werke. Kein Problem für den A-Capella-Gesang. Aber ein großes Problem für 12stufige Tasteninstrumente, denn bei Modulationen in andere Tonarten änderten sich nicht nur manche Töne mit Vorzeichenwechsel, sondern auch manche Ganztonintervalle um ein Komma k. Zum Beispiel:
C-dur: c d ,e f g ,a ,h c mit reinen Dreiklängen: c-,e-g und f-,a-c sowie g-,h-d
F-dur: f g ,a b c ,d e f mit reinen Dreiklängen: f-,a-c und b-,d-f sowie c-,e-g
G-dur: g a ,h c d ,e ,fis g mit reinen Dreiklängen: g-,h-d und c-,e-g sowie d-,fis-a
usw.
Im Vergleich zu C-Dur muss bei F-Dur der Ton d um ein Komma zu ,d erniedrigt werden und in G-Dur der Ton ,a um ein Komma zu a erhöht werden.

Mitteltönige Stimmung

Das gab Probleme mit einer 12-stufigen Tastatur. Man musste temperieren, d.h. Mittelwerte für einzelne Tasten vorgeben. Mehrere Jahrhundert wurde auf Tasteninstrumenten die mitteltönige Stimmung (vorwiegend mit dem Gehör) eingestimmt.
Mitteltönig Tonleiter: 81/2k 81/2k 51/4k 81/2k 81/2k 81/2k 51/4k. Das bedutet für C-Dur
c-..d=81/2k ..d-,e=81/2 ,e-°f=51/4k °f-.g=81/2k .g-...a=81/2k ...a-.,h=81/2k .,h-c=51/4k
Folgende Bezeichnung wird hierbei verwendet: .x bedeutet, der Ton x wird um 1/4 Komma k erniedrigt, °x bedeutet, der Ton x wird um 1/4 Komma k erhöht.
Bei dieser Einteilung sind die großen Terzen c-,e, °f-...a und .g-.,h rein, die Quinten
°f-c=c-.g=.g-..d=..d-...a=...a-,e=,e-.,h=303/4k groß, also 1/4k kleiner als die reine Quinte, was durchaus akzeptabel ist.
Auf einer 12-stufigen Tastatur fügte man noch die Halbtöne ...,cis / °°°es / ...,fis / ,,gis und °°b so ein, dass alle diatonischen Halbtöne jeweils die Größe von 51/4k bekamen. Man konnte allerdings nicht alle Tonarten des Quintenzirkels spielen: Nur B-Dur, F-Dur, C-Dur, G-Dur, D-Dur und A-Dur.

Wohltemperierte Stimmung

Zu J.S. Bachs Zeit wurde immer mehr in andere Tonarten moduliert, so dass man aus diesen sechs Tonarten herauskam. Aber in der mitteltönigen Stimmung erklangen dabei "Wölfe" - misstönende Akkorde. Man behalf sich mit mehr als 12 Tasten pro Oktave. Dies war allerdings unpraktikabel und man versuchte es mit unzähligen wohltemperierten Stimmungen. Weit verbreitet war die Stimmung Werkmeister III. Bei diesen Stimmungen unterscheiden sich die Tonleitern mit einem Torartencharakter. C-Dur-nahe Tonarten erklingen reiner als C-Dur-ferne.
Wohltemp.:c-..d=81/2k ..d-...e=83/4k ...e-f=43/4k f-.g=83/4k/.g-...a=81/2k ...a-...h=9k und ...h-c=43/4k.
Dabei wurden die schwarzen Tasten folgendermaßen enharmonisch verwechselbar eingestimmt: ,cis=des und ,dis=es und ,fis=ges sowie ,ais=b. Genau genommen unterscheiden sich die enharmonischen Töne um das winziges Intervall 1/12k, von Werckmeister als Schisma bezeichnet, das vernachlässigbar ist.
In letzter Konsequenz kam man zur gleichstufigen Stimmung, bei der alle Tonarten gleich erklingen.
Gleichstufig: 85/6k   85/6k   45/12k   85/6k   85/6k   85/6k   45/12k. Das bedeutet für C-Dur:
c-d=85/6k d-e=85/6k e-f=45/12k f-g=85/6k g-a=85/6k a-h=85/6k und h-c=45/12k.
Die Halbtöne zu den schwarzen Tasten wurden mit der Größe 45/12k eingeschoben, so dass alle 12 Halbtöne gleich groß sind.
Heute verwendet man häufig eine Darstellung, die die Oktave in 1200 Cent unterteilt. Die Berechnung erfolgt über das Frequenzverhältnis und Logarithmen. Das macht die Darstellung sehr unanschaulich. Hier zum Vergleich eine Übersicht mit der Beziehung
Oktave = 53k =1200 Cent.
q=Frequenzverhältnis, Größe I (Vielfache von k) = Größe II (in Cent) 256/243
IntervallqGröße I Größe II
Komma 81/80 k 22,6 Cent
pythagoreischer Halbton 256/253 4k 90 Cent
diatonischer Halbton 16/15 5k 112 Cent
kleiner Ganzton 10/9 8k 182 Cent
großer Ganzton 9/8 9k 204 Cent
kleine Terz 6/5 14k 316 Cent
große Terz 4/5 17k 386 Cent
Quarte 4/3 22k 498 Cent
Quinte 3/2 31k 702 Cent
Oktave 2/1 53k 1200 Cent
Genau genommen ist:
Zarlinokomma k=1200/53 = 22,64 Cent. Das ist unsere Recheneinheit.
Syntonisches Komma = 1200*lb(81/80)=21,51 Cent
pythagoreisches Komma = 1200*lb((1,512/27)=23,46 Cent.
Die Berechnungen mit dem Komma k sind bei allen Intervallen auf 1 Cent genau und viel, viel einfacher und anschaulicher als mit Frequenzverhältnisse und Logarithmen. Mit der Kommagröße kann man Intervalle addieren und subtrahieren. Die Frequenzverhältnissen muss man - unanschaulich - multiplizieren und dividieren. Zum Beispiel:
Tritonus=Ganzton + große Terz = 9k+17k=26k. Frequenzverhältnis = 9/85/4=45/32.
große Sext = Oktave - kleine Terz = 53k-14k = 39k. Frequenzverhältnis = 2/1:6/5=5/3.

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