Joachim Mohr Mathematik Musik Delphi
Eine kurze Einführung in das Thema Tonstruktur
Uns ist allen klar, dass zwei Tönen ein Intervall zugeordnet werden kann. Man muss dabei keinen Bezug auf Frequenzverhältnisses und die komplizierten Berechnungen mit Proportionen durchführen. Sie müssen kein Mathematiker sein, um die folgenden Erläuterungen der mathematischen Struktur des Tonraums zu verstehen.
Zwei Töne bestimmen ein Intervall.
Wir schreiben dafür zum Beispiel Quinte = f'c''.
Ist umgekehrt der Grundton und das Intervall bekannt, so ist dadurch der Endton bestimmt. Zum Beispiel: Eine Quinte höher als f' ist der Ton c''.
Wir schreiben dafür f'+Quinte=c''.
Intervalle kann man addieren. Ist zum Beispiel Große
Terz = c'e' und kleine Terz=e'g', dann ist große Terz + kleine Terz = c'g' = Quinte.
Schließlich kann man Intervalle in ihrer Größe vergleichen. Zum Beispiel ist eine Quinte kleiner als eine Oktave und 12 Quinten ein wenig größer als 7 Oktaven.
Für die Addition (Hintereinanderausführung) von Intervallen gelten die üblichen mathematischen Regeln (Kommutativgesetz usw.). Mathematisch: Der Intervallraum bildet eine archimedisch geordnete Gruppe.
Die additive Größe von Intervallen
Im folgenden soll erklärt werden, wie die Intervalle durch Hören so genau gemessen werden können, dass die reine Stimmung im ganzen Quintenzirkel dargestellt werden kann. Es soll gezeigt werden, dass dies auch ohne Umweg über Proportionen (Euklid) oder Frequenzverhältnisse (Physik) bewerkstelligt werden kann und zwar mit einer Genauigkeit im Vergleich zur reinen Stimmung von 2 Cent = 1/50 Halbton.Vernachlässigung des pythagoreischen Kommas
Dieser Abschnitt soll in die Schreibweise einführen. (Mit Ungenauigkeiten im Vergleich zur reinen Stimmung von 14 Cent.)Wir betrachten den Quintenzirkel ... f c g d a e h ... und ordnen die Töne oktavversetzt in eine Tonleiter, d.h. wir schreiben: c+Quinte=g, c+2Quinten=d (statt c+2Quinten-Oktave=d) c+3Quinten=a usw.
c d e f g a h c
Wenn wir das pythagoreische Komma vernachlässigen, gilt: 12 Quinten = 7 Oktaven. Daraus folgt mit der Abkürzung Ok=Oktave.g=c+7/12Ok
d=c+14/12Ok. Da wir Töne im Oktavabstand als gleich betrachten, schreibe wir auch d=c+2/12Ok
a=c+21/12Ok=c+9/12Ok usw. Wir können also den Tönen in unserer Tonleiter Zahlen zuordnen.
c⇒0, d⇒2/12, e⇒4/12, f⇒5/12, g⇒7/12, a⇒9/12, h⇒11/12. Wenn wir noch alles mit 12 multiplizieren, erhalten wir:
c⇒0, d⇒2, e⇒4, f⇒5, g⇒7, a⇒9, h⇒11, ch⇒12. Wir schreibe dafür:
c(0) d(2) e(4) f(5) g(7) a(9) h(11) c(12)
Das können wir auf den ganzen Quintenzirkel erweitern: Beispiel: cis=c+7Quinten=c+7*7/12Ok=c+49/12Ok=c+1/12Ok (Man rechnet modulo Ok, d.h. wird ein Intervall größer als eine Oktave, wird eine Oktave abgezogen).c(0) cis=des(1) d(2) dis=es(3) e(4) f(5) fis=ges(6) g(7) gis=as(8) a(9) ais=b(10) h(11) c(12)
Folgerung: Wir erhalten die 12-stufige Oktavteilung - die gleichstufige Stimmung. Hier ist die große Terz mit 400 Cent im Vergleich zur reinen Stimmung (386 Cent) 14 Cent zu groß. Sie klingt rau.Vernachlässigung des Schismas
Wir erhalten hier die Mercatorteilung
Zarlinos (1517-1590) lehrte, dass die Tonleiter so zu intonieren ist, dass man den folgenden Intervalle Teile zuordnen kann.
cd=9 Teile (großer Ganzton)
de=8 Teile (kleiner Ganzton)
ef=5 Teile (diatonischer Halbton)
c(0) d(9) e(17) f(22) g(31) a(39) h(48) c(53)
(Mercator-Tonleiter noch ohne Tiefkomma)
Der Quintenzirkel berechnet sich dann "+31" modulo 53 (d.h. wird eine Maßzahl größer als 53, wird 53 abgezogen):
des(4) as(35) es(13) b(44) f(22) c(0) g(31) d(9) a(40) e(18) h(49) fis(27) cis(5)
Vergleichen wir die Werte mit der Mercator-Tonleiter c(0) d(9) e(17) ..., so sehen wir, dass die reine große Terz mit ce=17/53Ok von der pythagoreischen großen Terz ce=18/53ok abweicht. Wir müssen also die Mercator-Tonleiter folgendermaßen mit Tiefkomma (siehe unten) schreiben. (Die tiefgestellten Zahlen geben den Unterschied an.)
c(0) 9 d(9) 8 ,e(17) 5 f(22) 9 g(31) 8 ,a(39) 9 ,h(48) 5 c(53)
(Die Mercator-Tonleiter mit Tiefkomma vor e und a und h)
Wir sehen: Die reine große Terz misst bei der Mercator-Tonleiter c,e=f,a=g,h=17/53Ok.
Die große Terz misst also nach Mercator 17/53*1200 Cent = 384,91 Cent. Der genaue Wert ist 1200*lg2(3/2) = 386,31 Cent. Wie bei der Quinte ist der Fehler nicht einmal ein Schisma (2 Cent). Diesen Fehler kann unser Gehör nicht mehr wahrnehmen.
Die Tonleitern nach Mercator im Quintenzirkel
Zur besseren Vergleichbarkeit werden die Tonleitern immer von c bzw. des oder cis aus geschrieben. Dabei ist zu beachten, dass bei einem Übergang immer eine Note um einen halben Ton (zum Beispiel von f nach fis) und um ein Komma (zum Beispiel von ,a nach a) geändert wird.Die Tonleitern im Quintenzirkel schreiben sich dann folgendermaßen (der Übersicht halber alle von c aus notiert):
C-Dur: c(0) d(9) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) ,h(48) c(53) G-Dur: c(0) d(9) ,e(17) ,fis(26) g(31) a(40) ,h(48) c(53) D-Dur: ,cis(4) d(9) e(18) ,fis(26) g(31) a(40) ,h(48) ,cis(57) A-Dur: ,cis(4) d(9) e(18) ,fis(26) ,gis(35) a(40) h(49) ,cis(57) E-Dur: ,cis(4) ,dis(13) e(18) fis(27) ,gis(35) a(40) h(49) ,cis(57) H-Dur: cis(5) ,dis(13) e(18) fis(27) ,gis(35) ,ais(44) h(49) cis(58) Fis-Dur: cis(5) ,dis(13) ,eis(22) fis(27) gis(36) ,ais(44) h(49) cisis(61) Cis-Dur: cis(5) dis(14) ,eis(22) fis(27) gis(36) ,ais(44) ,his(53) cis(58) C-Dur: c(0) d(9) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) ,h(48) c(53) F-Dur: c(0) ,d(8) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) b(44) c(53) B-Dur: c(0) ,d(8) es(13) f(22) ,g(30) ,a(39) b(44) c(53) Es-dur: ,c(52) ,d(8) es(13) f(22) ,g(30) as(35) b(44) ,c(52) As-dur: ,c(52) des(4) es(13) ,f(21) ,g(30) as(35) b(44) ,c(52) Des-dur: ,c(52) des(4) es(13) ,f(21) ges(26) as(35) ,b(43) ,c(52) Ges-dur: ces(48) des(4) ,es(12) ,f(21) ges(26) as(35) ,b(43) ces(48) Ces-dur: ces(48) des(4) ,es(12) fes(17) ges(26) ,as(34) ,b(43) ces(48)Dieselbe Tabelle zusätzlich mit Moll (natürlich) und mit Mollparallele (melodisch):
Die Kreuz-Tonarten (in Dur und moll) und die dazu parallele Molltonart (harmonisch)
,a-moll: c(0) ,d(8) ,e(17) ,,fis(25) ,,gis(34) ,a(39) ,h(48) c(53) C-Dur: c(0) d(9) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) ,h(48) c(53) c-moll: c(0) d(9) 'es(14) f(22) g(31) 'as(36) 'b(45) c(53)
,e-moll: ,,cis(3) ,,dis(12) ,e(17) ,fis(26) g(31) ,a(39) ,h(48) ,,cis(56) G-Dur: c(0) d(9) ,e(17) ,fis(26) g(31) a(40) ,h(48) c(53) g-moll c(0) d(9) 'es(14) 'f(23) g(31) a(40) 'b(45) c(53)
,h-moll: ,cis(4) d(9) ,e(17) ,fis(26) ,,gis(34) ,,ais(43) ,h(48) ,cis(57) D-Dur: ,cis(4) d(9) e(18) ,fis(26) g(31) a(40) ,h(48) ,cis(57) d-moll: 'c(1) d(9) e(18) 'f(23) g(31) a(40) 'b(45) 'c(54)
,fis-moll: ,cis(4) ,,dis(12) ,,eis(21) ,fis(26) ,gis(35) a(40) ,h(48) ,cis(57) A-Dur: ,cis(4) d(9) e(18) ,fis(26) ,gis(35) a(40) h(49) ,cis(57) a-moll: 'c(1) d(9) e(18) 'f(23) 'g(32) a(40) h(49) 'c(54)
,cis-moll: ,cis(4) ,dis(13) e(18) ,fis(26) ,gis(35) ,,ais(43) ,,his(52) ,cis(57) E-Dur: ,cis(4) ,dis(13) e(18) fis(27) ,gis(35) a(40) h(49) ,cis(57) e-moll 'c(1) 'd(10) e(18) fis(27) 'g(32) a(40) h(49) 'c(54)
,gis-moll: ,cis(4) ,dis(13) ,,eis(21) ,,fisis(30) ,gis(35) ,ais(44) h(49) cis(58) H-Dur: cis(5) ,dis(13) e(18) fis(27) ,gis(35) ,ais(44) h(49) cis(58) h-moll: cis(5) 'd(10) e(18) fis(27) 'g(32) 'a(41) h(49) cis(58)
,dis-moll: ,,cisis(8) ,dis(13) ,eis(22) fis(27) ,gis(35) ,ais(44) ,,his(52) ,,cisis(61) Fis-Dur: cis(5) ,dis(13) ,eis(22) fis(27) gis(36) ,ais(44) h(49) cis(58) fis-moll: cis(5) 'd(10) 'e(19) fis(27) gis(36) 'a(41) h(49) cis(58)
,ais-moll: cis(5) ,dis(13) ,eis(22) ,,fisis(30) ,,gisis(39) ,ais(44) ,his(53) cis(58) Cis-Dur: cis(5) dis(14) ,eis(22) fis(27) gis(36) ,ais(44) ,his(53) cis(58) cis-moll: cis(5) dis(14) 'e(19) fis(27) gis(36) 'a(41) 'h(50) cis(58)
Die B-Tonarten (in Dur und moll) und die dazu parallele Molltonart (harmonisch)
,a-moll: c(0) ,d(8) ,e(17) ,,fis(25) ,,gis(34) ,a(39) ,h(48) c(53) C-Dur: c(0) d(9) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) ,h(48) c(53) c-moll: c(0) d(9) 'es(14) f(22) g(31) 'as(36) 'b(45) c(53)
,d-moll ,,cis(3) ,d(8) ,e(17) f(22) ,g(30) ,a(39) ,,h(47) ,,cis(56) F-Dur: c(0) ,d(8) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) b(44) c(53) f-moll: c(0) 'des(5) 'es(14) f(22) g(31) 'as(36) b(44) c(53)
,g-moll: ,c(52) ,d(8) ,,e(16) ,,fis(25) ,g(30) ,a(39) b(44) ,c(52) B-Dur: c(0) ,d(8) es(13) f(22) ,g(30) ,a(39) b(44) c(53) b-moll: c(0) 'des(5) es(13) f(22) 'ges(27) 'as(36) b(44) c(53)
,c-moll: ,c(52) ,d(8) es(13) ,f(21) ,g(30) ,,a(38) ,,h(47) ,c(52) Es-dur: ,c(52) ,d(8) es(13) f(22) ,g(30) as(35) b(44) ,c(52) es-moll: 'ces(49) 'des(5) es(13) f(22) 'ges(27) as(35) b(44) 'ces(49)
,f-moll: ,c(52) ,,d(7) ,,e(16) ,f(21) ,g(30) as(35) ,b(43) ,c(52) As-dur: ,c(52) des(4) es(13) ,f(21) ,g(30) as(35) b(44) ,c(52) as-moll 'ces(49) des(4) es(13) 'fes(18) 'ges(27) as(35) b(44) 'ces(49)
,b-moll: ,c(52) des(4) ,es(12) ,f(21) ,,g(29) ,,a(38) ,b(43) ,c(52) Des-dur: ,c(52) des(4) es(13) ,f(21) ges(26) as(35) ,b(43) ,c(52) des-moll:'ces(49) des(4) es(13) 'fes(18) ges(26) as(35) 'heses(40) 'ces(49)
,es-moll: ,,c(51) ,,d(7) ,es(12) ,f(21) ges(26) ,as(34) ,b(43) ,,c(51) Ges-dur: ces(48) des(4) ,es(12) ,f(21) ges(26) as(35) ,b(43) ces(48) ges-moll: ces(48) des(4) 'eses(9) 'fes(18) ges(26) as(35) 'heses(40) ces(48)
,as-moll: ces(48) ,des(3) ,es(12) ,,f(20) ,,g(29) ,as(34) ,b(43) ces(48) Ces-dur: ces(48) des(4) ,es(12) fes(17) ges(26) ,as(34) ,b(43) ces(48) ces-moll: ces(48) des(4) 'eses(9) fes(17) ges(26) 'asas(31) 'heses(40) ces(48)
Änderungen zur vorangegangenen Tonart
,a-moll: ,d ,,fis ,,gis C-Dur: c-moll: 'es 'as 'b ,e-moll: ,,cis ,,dis G-Dur: ,fis a g-moll 'f ,h-moll: ,,ais D-Dur: ,cis e d-moll: 'c ,fis-moll ,,eis A-Dur: ,gis h a-moll: 'g ,cis-moll ,,his E-Dur: ,dis fis e-moll 'd ,gis-moll ,,fisis H-Dur: ,ais cis h-moll: 'a ,dis-moll ,,cisis Fis-Dur: ,eis gis fis-moll: 'e ,ais-moll ,,gisis Cis-Dur: ,his dis cis-moll: 'h
,a-moll: ,d ,,fis ,,gis C-Dur: c-moll: 'es 'as 'b ,d-moll ,g ,,h F-Dur: b f-moll: 'des ,g-moll: ,c ,,e B-Dur: es b-moll: 'ges ,c-moll: ,f ,,a Es-dur: as es-moll: 'ces ,f-moll: ,b ,,d As-dur: des as-moll 'fes ,b-moll: ,es ,,g Des-dur: ges des-moll: 'heses ,es-moll: ,as ,,c Ges-dur: ces ges-moll: 'eses ,as-moll: ,des ,,f Ces-dur: fes ces-moll: 'asas
Die Mercatorskala
Mit Tonleiter in Klammer, in dem der Ton nach C-Dur zuerst auftaucht.Nr. Ton Verhältnis bei Toleranz von 2 Cent, selten 3 Cent -5=48 ,h(C) ces(Ges) -4=49 h(A) 'ces(es) -3=50 'h(cis) -2=51 ,,c(,es) -1=52 ,c(Es) ,,his(,cis) ===== 00 c(C) ,his(Cis) Unterschied: 1 Schisma(2 Cent) 01 'c(d) 81/80 (Komma) 02 03 ,,cis(,e) ,des(,as) 25/24 (kleines Chroma) 04 ,cis(D) des(As) 135/128 (großes Chroma) 256/243 (pyth. kl. Sekunde) 05 cis(H) 'des(f) 16/15 (diatonischer Halbton) 06 07 ,,d(,f) 08 ,d(F/a) ,,cisis(,dis) 10/9 (kl. Ganzton) 09 d(C) 'eses(ges) 9/8 (gr. Ganzton) 10 'd(e) 11 12 ,,dis(e) ,es(Ges/,b) 75/64 (überm. Sek.) 13 ,dis(E) es(B) 32/27 (pyth. kl. Terz) 14 dis(Cis) 'es(c) 6/5 (kl. Terz) 15 16 ,,e(,g) 17 ,e(C) fes(Ces) 5/4 (gr. Terz) 18 e(D) 'fes(as) 81/64 (pyth. gr. Terz) 19 'e(fis) 20 ,,f(,as) 21 ,f(As/,c) ,,eis(,fis) 22 f(C) ,eis(Fis) 4/3 (Quarte) 23 'f(g) 27/20 (unreine Quarte) 24 25 ,,fis(a) 26 ,fis(G) ges(Des) 45/32 (Tritonus) 27 fis(E) 'ges(b) 64/45 (verm. Quinte) 28 29 ,,g(,b) 30 ,g(G/,d) ,,fisis(,gis) 40/27 (unreine Quinte) 31 g(C) 'asas(ces) 2/3 (Quinte) 32 'g(a) 33 34 ,,gis(a) ,as(Ces/,es) 25/16 (Doppelterz) 35 ,gis(A) as(es) 128/81 (pyth. kl. Sexte) 36 gis(Fis) 'as(c) 8/5 (kl. Sexte) 37 38 ,,a(,c) 39 ,a(C) ,,gisis(,ais) 5/3 (gr. Sext) 40 a(G) 'heses(des) 27/16 (pyth. gr. Terz) 41 'a(h) 42 43 ,b(Des/,f) ,,ais(h) 225/128 (überm. Sexte) 44 b(F) ,ais(H) 16/9 (pyth. Kl. Septime) 45 'b(c) 9/5 (kl. Septime) 46 47 ,,h(,d) 50/27 (zu kleine gr. Septime) 48 ,h(C) ces(Ges) 15/8 (gr. Septimen) 49 h(A) 'ces(es) 243/128 (pyth. gr. Septime) 256/135 (verm. Oktave) 50 'h(cis) 51 ,,c(,es) 52 ,c(Es/,g) ,,his(,cis) 53 c(C) ,his(Cis) 2/1 (Oktave) ========= 54=01 'c(d) 55=02 56=03 ,,cis(,e) ,des(,as) 57=04 ,cis(D) des(As) 58=05 cis(H) 'des(f)Beispiel: Siehe Nr. 29 bis Nr. 32.
Das ,,g(29), das in ,b-moll (harmonisch moll) vorkommt unterscheided sich von dem 'g(32), das in a-moll (natürliche moll-Tonleiter) vorkommt, um 3 Kommata = 3•1/53 Oktaven. Das sind 3•1200/53 Cent = 68 Cent.
In Reiner Stimmung unterscheiden sich Töne, die dieselbe Nummer haben (Zum Beispiel Nr.0 c und ,his oder Nr.4 ,cis und des) um ein Schisma = 2 Cent.
Die chromatische Mercatortonleiter
Zunächst den Quintenzirkel mit dem 31er (mod 53) Mercatorabständen:ges(26) des(4) as(35) es(13) b(44) f(22) c g(31) d(9) a(40) e(18) h(49) fis(27) cis(5) gis(36) dis(14) ais(45)
Die Zwischentöne werden so eingeschoben, dass die folgenden Intervalle alle diatonische Halbtöne der Größe 5 sind: ,cis d / 'des c / ,,dis ,e / 'es d / 'fis g / 'ges f / ,,gis ,a / 'as g / 'ges f / ,,ais ,h / b ,a
c(0)
,cis(4) 'des(5)
d(9)
,,dis(12) 'es(14)
,e(17)
f(22)
,fis(26) 'ges(27)
g(31)
,,gis(34) 'as(36)
,a(39)
,,ais(43) b(44)
,h(48)
c(53)
Intervalle
Wir rechnen mit 1k = 1/53 Oktave (= 22,64 Cent).- verminderte Sekunde [Intervall ,cis(4) 'des(5) bzw. ,,dis(12) 'es(14)]] = 1k bzw. 2k
- kleiner chromatischer Halbton [Intervall d(9) ,,dis(12)] = 3k
- großer chromatischer Halbton [Intervall c(0) ,cis(4)] = 4k
- diatonischer Halbton [Intervall ,e(17) f(22)] = 5k
- kleiner Ganzton [Intervall d(9) ,e(17)] = 8k
- großer Ganzton [Intervall c(0) d(9)] = 9k
- kleine Terz [Intervall c(0) 'es(14)] = 14k
- große Terz [Intervall c(0) ,e(17)] = 17k
- Quarte [Intervall c(0) f(22)] = 22k
- unreine Quarte [Intervall ,a(39) d(62)] = 23k
- Tritonus (übermäßige Quarte) [Intervall f(22) ,h(48)]] = 26k
- verminderte Quinte [Intervall ,h(48) f(22+53)] = 27k
- unreine Quinte [Intervall d(9) ,a(39)] = 30k
- Quinte [Intervall c(0) g(31)] = 31k
- kleine Sext [Intervall c(0) 'as(36)] = 36k
- große Sext [Intervall c(0) ,a(39)] = 39k
- kleine kleine Septime [d(9) c(53), Oktave - großer Ganzton] = 44k
- große kleine Septime [Intervall ,e(17) d'(9+53), Oktave - kleiner Ganzton] = 45k
- große Septime [Intervall c(0) ,h(48)] = 48k
- Oktave [Intervall c(0) c'(53)] = 53k
Kleine Intervalle
Das kleinste Intervall in der Mercatortonleiter ist das- Komma = 1k = 1/53 Oktave = 22,64 Cent (Ungefähr der Mittelwert des pythagoreisches Kommas (23,46 Cent) und syntonisches Kommas (21,51 Cent)
- Schisma = [,his(0) c(0)] (8 Quinten + 1 große Terz) = 8*31+17 (mod 53) =0k
(Bei der Marcatortabelle hat man eine Ungenauigkeit von 1 bis 2 Cent.) - Diaschisma [,cis(5) 'des(6)] = 1k
- syntonisches Komma = 4 Quinten - große Terz = 4*31 - 17 (mod 53) = 1k
- pythagoreisches Komma = 12 Quinten = 12*53 (mod 53) = 1k
- kleine Diesis [c '''deses, oder ,,dis(12) 'es(14)] (Oktave - 3 große Terzen) = 3*17 (mod 53) = 2k
- große Diesis [c ''''deses oder ,,dis(12) ''es(15)] (4 kleine Terzen - Oktave) = 4*14 (mod 53) = 3k
- kleiner chromatischer Halbton [Intervall d(9) ,,dis(12)] = 3k
- großer chromatischer Halbton [Intervall c(0) ,cis(4)] = 4k
- Limma (pythagoreischer diatonische Halbton) [Intervall e(18) f(22)] = 4k
- Apotome (pythagoreischer chromatischer Halbton) [Intervall c(0) cis(5)] = 5k
Berechnungen
18 kleine chromatische Halbtöne(3) = Oktave + k13 große chromatische Halbtöne(4) = Oktave -k
11 diatonische Halbtöne(5) = Oktave + 2k
13 kleine Ganztöne(8) = 2 Oktaven - 2k
6 große Ganztöne(9) = Oktave - k (Oktave - pythagoreisches Komma)
4 kleine Terzen(14) = Oktave + 3k (Oktave + große Diesis)
3 große Terzen(17) = Oktave - 2k (Oktave - kleine Diesis)
12 Quarten(22) = 5 Oktaven - k (5 Oktaven -pythagoreisches Komma)
12 Quinten(31) = 7 Oktaven + k (7 Oktaven + pythagoreisches Komma)
Vergleich mit weiteren Unterteilungen
Bisher wurde die Okave in 12 und 53 Teile geteilt. Bei 12 Teilen erhält man eine Ungenauigkeit von 18 Cent und bei 53 Teile eine Ungenauigkeit von 2 Cent. Wie sieht es nun der Vergleich mit der Rein Stimmung bei weiteren Teilungen aus?
12-Teilung 12,0-Teilung 53-Teilung 100-Teilung 120-Teilung
großer Ganzton 2 (4 Cent) 2,0 (3,9 Cent) 9 (0,1 Cent) 17 (0,1 Cent) 20 (3,9 Cent)
kleiner Ganzton 2 (18 Cent) 1,8 (2,4 Cent) 8 (1,3 Cent) 15 (2,4 Cent) 18 (2,4 Cent)
Halbton 1 (12 Cent) 1,1 (1,7 Cent) 5 (1,5 Cent) 9 (3,7 Cent) 11 (1,7 Cent)
große Terz 4 (14 Cent) 3,9 (3,7 Cent) 17 (1,4 Cent) 32 (2,3 Cent) 39 (3,7 Cent)
Quinte 7 (2 Cent) 7,0 (2 Cent) 31 (0,07 Cent) 58 (6,0 Cent) 70 (2,5 Cent)
synt. Komma 0 (22 Cent) 0,2 (1,5 Cent) 1 (1,4 Cent) 2 (2,5 Cent) 2 (1,5 Cent)
Die 1/100 Tonleiter
Die Halbtonschritte sind um 1/100 in Richtung reiner Stimmung verfeinert. Auf diese Weise lässt sich mit der Größe Halbtonschritt die Abweichungen in Richtung reiner Stimmung klar machen-F-Dur c(0) ,d(1,82) ,e(3,86) f(4,98) g(7,02) ,a(8,84) 'b(10,18) c(0) C-Dur c(0) d(2,04) ,e(3,86) f(4,98) g(7,02) ,a(8,84) ,h(10,88) c(0) G-Dur c(0) d(2,04) ,e(3,86) fis(5,90) g(7,02) a(9,06) ,h(10,88) c(0)Vereinfacht dargestellt mit grob k≈0,2≈syntonisches Komma.
F-Dur c(0) ,d(2-k) ,e(4-k) f(5) g(7) ,a(9-k) 'b(10+k) c(0) C-Dur c(0) d(2) ,e(4-k) f(5) g(7) ,a(9-k) ,h(11-k) c(0) G-Dur c(0) d(2) ,e(4-k) ,fis(6-k) g(7) a(9) ,h(11-k) c(0)