Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

Eine kurze Einführung in das Thema Tonstruktur

Uns ist allen klar, dass zwei Tönen ein Intervall zugeordnet werden kann. Man muss dabei keinen Bezug auf Frequenzverhältnisses und die komplizierten Berechnungen mit Proportionen durchführen. Sie müssen kein Mathematiker sein, um die folgenden Erläuterungen der mathematischen Struktur des Tonraums zu verstehen.
Zwei Töne bestimmen ein Intervall. Wir schreiben dafür zum Beispiel Quinte = f'c''.
Ist umgkehrt der Grundton und das Intervall bekannt, so ist dadurch der Endton bestimmt. Zum Beispiel: Eine Quinte höher als f' ist der Ton c''. Wir schreiben dafür f'+Quinte=c''.
Intervalle kann man addieren. Ist zum Beispiel Große Terz = c'e' und kleine Terz=e'g', dann ist große Terz + kleine Terz = c'g' = Quinte.
Schließlich kann man Intervalle in ihrer Größe vergleichen vergleichen. Zum Beispiel ist eine Quinte kleiner als eine Oktave.
Für die Addition von Intervallen gelten die üblichen mathematischen Regeln (Kommutativgesetz usw.). Genauer: Der Intervallraum bildet eine archimedisch geordnete kommutativ Gruppe.

Hörmessung der Intervalle

Im folgenden soll erklärt werden, wie die Intervalle durch Hören so genau gemessen werden können, dass die reine Stimmung im ganzen Quintenzirkel dargestellt werden kann. Es soll gezeigt werden, dass dies auch ohne Umweg über Proportionen (Euklid) oder Frequenzverhältnisse (Physik) bewerkstelligt werden kann.

Vernachlässigung des phytagoreischen Kommas

Dieder Abschnitt soll in die Schreibweise einführen.

Wir betrachten den Quintenzirkel ... f c g d a e h ... und ordnen die Töne oktaversetzt in eine Tonleiter, d.h. wir schreiben: c+Quinte=g, c+2Quinten=d (statt c+2Quinten-Oktave=d) c+3Quinten=a usw.

c d e f g a h c

Wenn wir das pythagoreische Komma vernachlässigen, gilt: 12 Quinten = 7 Oktaven. Daraus folgt mit der Abkürzung Ok=Oktave.
g=c+7/12Ok
d=c+14/12Ok. Da wir Töne im Oktavabstand als gleich betrachten, schreibe wir auch d=c+2/12Ok
a=c+21/12Ok=c+9/12Ok usw. Wir können also den Tönen in unserer Tonleiter Zahlen zuordnen.
c⇒0, d⇒2/12, e⇒4/12, f⇒5/12, g⇒7/12, a⇒9/12, h⇒11/12. Wenn wir noch alles mit 12 multiplizieren, erhalten wir:
c⇒0, d⇒2, e⇒4, f⇒5, g⇒7, a⇒9, h⇒11, ch⇒12. Wir schreibe dafür:

c(0) d(2) e(4) f(5) g(7) a(9) h(11) c(12)

Das können wir auf den ganzen Quintenzirkel erweitern: Beispiel: cis=c+7Quinten=c+7*7/12Ok=c+49/12Ok=c+1/12Ok (Man rechnet modulo Ok).

c(0) cis=des(1) d(2) dis=es(3) e(4) f(5) fis=ges(6) g(7) gis=as(8) a(9) ais=b(10) h(11) c(12)

Folgerung: Wir erhalten die 12-stufige Oktavteilung.

Vernachlässigung des Schismas

Wir erhalten hier die Mercatorteilung

Zu Zeiten Zarlinos (1517-1590) lehrte man in Musikschulen und theoretisch, dass man die große Terz rein intonieren kann und es dadurch Abweichungen von der pythagoreischen Stimmung gibt. Es wurde gelehrt, dass die Tonleiter so zu intonieren ist dass man den folgenden Intervalle Teile zuordnen kann.

cd=9 Teile (großer Ganzton)
de=8 Teile (kleiner Ganzton)
ef=5 Teile (diatonischer Habton)

Der Tonleiter können wir dann folgendermaßen Zahlen zuordnen:

c(0) d(9) e(17) f(22) g(31) a(39) h(48) c(53)
(Mercator-Tonleiter noch ohne Tiefkomma)

Von Nikolaus Mercator (1620?-1687) wurde vorgeschlagen, die Oktave in 53 gleich große Intervalle teilen. Es wird also angenommen, dass Quinte cg=31/53 Oktaven ist. Daraus kann man das Centmaß berechnen: Quinte =31/53*1200 Cent = 701,887 Cent, (der genaue Wert ist: Quinte = 1200*log2(3/2) Cent = 701,955).
Der Quintenzirkel berechnet sich dann "+31" modulo 53:

des(4) as(35) es(13) b(44) f(22) c(0) g(31) d(9) a(40) e(18) h(49) fis(27) cis(5)

Vergleichen wir die Werte mit der Mercator-Tonleiter c(0) d(9) e(17) ..., so sehen wir, dass die reine große Terz mit ce=17/53Ok von der pythagoreischen großen Terz ce=18/53ok abweicht. Wir müssen also die Mercator-Tonleiter folgendermaßen schreiben. (Die tiefgestellten Zahlen geben den Unterschied an.)

c(0) 9 d(9) 8 ,e(17) 5 f(22) 9 g(31) 8 ,a(39) 9 ,h(48) 5 c(53)
(Die richtige Mercator-Tonleiter)

Dabei bedeutet ,e ("Tiefkomma e"), dass wir das e des Quintenzirkels um 1/53Ok erniedrigen müssen (siehe Eulerschreibweise).

Wir sehen: Die reine große Terz misst bei der Mercator-Tonleiter c,e=f,a=g,h=17/53Ok.

Die große Terz misst also nach Mercator 17/53*1200 Cent = 384,91 Cent. Der genaue Wert 1200*lg2(3/2) = 386,31 Cent. Wie bei der Quinte ist der Fehler nicht einmal ein Schisma (2 Cent). Diesen Fehler kann unser Gehör nicht mehr wahrnehmen.

Die Tonleitern nach Mercator im Quintenzirkel

Zur besseren Vergleichbarkeit werden die Tonleitern immer von c bzw. des oder cis aus geschrieben. Dabei ist zu beachten, dass bei einem Übergang immer eine Note um einen halben Ton (zum Beispiel von f nach fis) und um ein Komma (zum Beispiel von ,a nach a) geändert wird.
Die Tonleitern im Quintenzirkel schreiben sich dann folgendermaßen (der Übersicht halber alle von c aus notiert):
C-Dur:      c(0)     d(9)   ,e(17)    f(22)    g(31)   ,a(39)   ,h(48)     c(53) 
G-Dur:      c(0)     d(9)   ,e(17) ,fis(26)    g(31)    a(40)   ,h(48)     c(53)
D-Dur:   ,cis(4)     d(9)    e(18) ,fis(26)    g(31)    a(40)   ,h(48)  ,cis(57)
A-Dur:   ,cis(4)     d(9)    e(18) ,fis(26) ,gis(35)    a(40)    h(49)  ,cis(57)
E-Dur:   ,cis(4) ,dis(13)    e(18)  fis(27) ,gis(35)    a(40)    h(49)  ,cis(57)
H-Dur:    cis(5) ,dis(13)    e(18)  fis(27) ,gis(35) ,ais(44)    h(49)   cis(58)
Fis-Dur:  cis(5) ,dis(13) ,eis(22)  fis(27)  gis(36) ,ais(44)    h(49) cisis(61)
Cis-Dur:  cis(5)  dis(14) ,eis(22)  fis(27)  gis(36) ,ais(44) ,his(53)   cis(58)

C-Dur:     c(0)     d(9)    ,e(17)    f(22)    g(31)   ,a(39)   ,h(48)     c(53) 
F-Dur:     c(0)    ,d(8)    ,e(17)    f(22)    g(31)   ,a(39)    b(44)     c(53)
B-Dur:     c(0)    ,d(8)    es(13)    f(22)   ,g(30)   ,a(39)    b(44)     c(53)
Es-dur:   ,c(52)   ,d(8)    es(13)    f(22)   ,g(30)   as(35)    b(44)    ,c(52)
As-dur:   ,c(52)  des(4)    es(13)   ,f(21)   ,g(30)   as(35)    b(44)    ,c(52)
Des-dur:  ,c(52)  des(4)    es(13)   ,f(21)  ges(26)   as(35)   ,b(43)    ,c(52)
Ges-dur: ces(48)  des(4)   ,es(12)   ,f(21)  ges(26)   as(35)   ,b(43)   ces(48)
Ces-dur: ces(48)  des(4)   ,es(12)  fes(17)  ges(26)  ,as(34)   ,b(43)   ces(48)
Dieselbe Tabelle zusätzlich mit Moll (natürlich) und mit Mollparalelle (melodisch):

Die Kreuz-Tonarten (in Dur und moll) und die dazu parallele Molltonart (harmonisch)
,a-moll:        c(0)    ,d(8)      ,e(17)   ,,fis(25) ,,gis(34)     ,a(39)    ,h(48)      c(53)  
C-Dur:          c(0)     d(9)      ,e(17)       f(22)     g(31)     ,a(39)    ,h(48)      c(53) 
c-moll:         c(0)     d(9)     'es(14)       f(22)     g(31)    'as(36)    'b(45)      c(53) 

,e-moll: ,,cis(3) ,,dis(12) ,e(17) ,fis(26) g(31) ,a(39) ,h(48) ,,cis(56) G-Dur: c(0) d(9) ,e(17) ,fis(26) g(31) a(40) ,h(48) c(53) g-moll c(0) d(9) 'es(14) 'f(23) g(31) a(40) 'b(45) c(53)
,h-moll: ,cis(4) d(9) ,e(17) ,fis(26) ,,gis(34) ,,ais(43) ,h(48) ,cis(57) D-Dur: ,cis(4) d(9) e(18) ,fis(26) g(31) a(40) ,h(48) ,cis(57) d-moll: 'c(1) d(9) e(18) 'f(23) g(31) a(40) 'b(45) 'c(54)
,fis-moll: ,cis(4) ,,dis(12) ,,eis(21) ,fis(26) ,gis(35) a(40) ,h(48) ,cis(57) A-Dur: ,cis(4) d(9) e(18) ,fis(26) ,gis(35) a(40) h(49) ,cis(57) a-moll: 'c(1) d(9) e(18) 'f(23) 'g(32) a(40) h(49) 'c(54)
,cis-moll: ,cis(4) ,dis(13) e(18) ,fis(26) ,gis(35) ,,ais(43) ,,his(52) ,cis(57) E-Dur: ,cis(4) ,dis(13) e(18) fis(27) ,gis(35) a(40) h(49) ,cis(57) e-moll 'c(1) 'd(10) e(18) fis(27) 'g(32) a(40) h(49) 'c(54)
,gis-moll: ,cis(4) ,dis(13) ,,eis(21) ,,fisis(30) ,gis(35) ,ais(44) h(49) cis(58) H-Dur: cis(5) ,dis(13) e(18) fis(27) ,gis(35) ,ais(44) h(49) cis(58) h-moll: cis(5) 'd(10) e(18) fis(27) 'g(32) 'a(41) h(49) cis(58)
,dis-moll: ,,cisis(8) ,dis(13) ,eis(22) fis(27) ,gis(35) ,ais(44) ,,his(52) ,,cisis(61) Fis-Dur: cis(5) ,dis(13) ,eis(22) fis(27) gis(36) ,ais(44) h(49) cis(58) fis-moll: cis(5) 'd(10) 'e(19) fis(27) gis(36) 'a(41) h(49) cis(58)
,ais-moll: cis(5) ,dis(13) ,eis(22) ,,fisis(30) ,,gisis(39) ,ais(44) ,his(53) cis(58) Cis-Dur: cis(5) dis(14) ,eis(22) fis(27) gis(36) ,ais(44) ,his(53) cis(58) cis-moll: cis(5) dis(14) 'e(19) fis(27) gis(36) 'a(41) 'h(50) cis(58)

Die B-Tonarten (in Dur und moll) und die dazu parallele Molltonart (harmonisch)
,a-moll:    c(0)     ,d(8)    ,e(17) ,,fis(25) ,,gis(34)    ,a(39)     ,h(48)     c(53)  
C-Dur:      c(0)      d(9)    ,e(17)     f(22)     g(31)    ,a(39)     ,h(48)     c(53) 
c-moll:     c(0)      d(9)   'es(14)     f(22)     g(31)   'as(36)     'b(45)     c(53) 

,d-moll ,,cis(3) ,d(8) ,e(17) f(22) ,g(30) ,a(39) ,,h(47) ,,cis(56) F-Dur: c(0) ,d(8) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) b(44) c(53) f-moll: c(0) 'des(5) 'es(14) f(22) g(31) 'as(36) b(44) c(53)
,g-moll: ,c(52) ,d(8) ,,e(16) ,,fis(25) ,g(30) ,a(39) b(44) ,c(52) B-Dur: c(0) ,d(8) es(13) f(22) ,g(30) ,a(39) b(44) c(53) b-moll: c(0) 'des(5) es(13) f(22) 'ges(27) 'as(36) b(44) c(53)
,c-moll: ,c(52) ,d(8) es(13) ,f(21) ,g(30) ,,a(38) ,,h(47) ,c(52) Es-dur: ,c(52) ,d(8) es(13) f(22) ,g(30) as(35) b(44) ,c(52) es-moll: 'ces(49) 'des(5) es(13) f(22) 'ges(27) as(35) b(44) 'ces(49)
,f-moll: ,c(52) ,,d(7) ,,e(16) ,f(21) ,g(30) as(35) ,b(43) ,c(52) As-dur: ,c(52) des(4) es(13) ,f(21) ,g(30) as(35) b(44) ,c(52) as-moll 'ces(49) des(4) es(13) 'fes(18) 'ges(27) as(35) b(44) 'ces(49)
,b-moll: ,c(52) des(4) ,es(12) ,f(21) ,,g(29) ,,a(38) ,b(43) ,c(52) Des-dur: ,c(52) des(4) es(13) ,f(21) ges(26) as(35) ,b(43) ,c(52) des-moll:'ces(49) des(4) es(13) 'fes(18) ges(26) as(35) 'heses(40) 'ces(49)
,es-moll: ,,c(51) ,,d(7) ,es(12) ,f(21) ges(26) ,as(34) ,b(43) ,,c(51) Ges-dur: ces(48) des(4) ,es(12) ,f(21) ges(26) as(35) ,b(43) ces(48) ges-moll: ces(48) des(4) 'eses(9) 'fes(18) ges(26) as(35) 'heses(40) ces(48)
,as-moll: ces(48) ,des(3) ,es(12) ,,f(20) ,,g(29) ,as(34) ,b(43) ces(48) Ces-dur: ces(48) des(4) ,es(12) fes(17) ges(26) ,as(34) ,b(43) ces(48) ces-moll: ces(48) des(4) 'eses(9) fes(17) ges(26) 'asas(31) 'heses(40) ces(48)

Die Mercatorskala

Mit Tonleiter in Klammer, in dem der Ton nach C-Dur zuerst auftaucht)
-5=48  ,h(C)     ces(Ges) 
-4=49   h(A)      'ces(es)
-3=50  'h(cis)
-2=51 ,,c(,es)
-1=52  ,c(Es)    ,,his(,cis)
=====
00  c(C)           ,his(Cis)
01 'c(d)
02
03 ,,cis(,e)      ,des(,as)
04  ,cis(D)        des(As)
05   cis(H)         'des(f)
06
07 ,,d(,f)
08  ,d(a)          ,,cisis(,dis)
09   d(C)           'eses(ges)
10  'd(e)
11
12 ,,dis(e)       ,es(Ges)
13  ,dis(E)        es(B)
14   dis(Cis)       'es(c)
15
16 ,,e 
17 ,e(C)          fes(Ces)
18  e(D)           'fes(as)
19 'e(fis)
20 ,,f(,as)
21  ,f(As)         ,,eis(,fis)    
22   f(C)           ,eis(Fis)      
23  'f(g)
24 
25 ,,fis(a)
26  ,fis(G)        ges(Des)
27   fis(E)         'ges(b)
28
29 ,,g(,b)
30  ,g(B)           ,,fisis(,gis)  
31   g(C)           'asas(ces)
32  'g(a) 
33
34 ,,gis(a)       ,as(,es)
35  ,gis(A)        as(es)  
36   gis(Fis)       'as(c)         
37
38 ,,a(,b)
39  ,a(C)          ,,gisis(,ais) 
40   a(G)           'heses(des)
41  'a(++++41)
42
43 ,b(,f)         ,,ais(h)      
44  b(F)          ,ais(H)       
45 'b(c)
46
47 ,,h(,d)
48 ,h(C)          ces(Ges)
49 h(A)           'ces(es)
50 'h(cis)
51 ,,c(,es) 
52 ,c(Es)         ,,his(,cis)    
53 c(C)           ,his(Cis)
=========
54=01 'c(d)
55=02
56=03 ,,cis(,e)   ,des(,as)
57=04 ,cis(D)     des(As)
58=05 cis(H)      'des(f)

Die chromatische Mercatortonleiter

Zunächst den Quintenzirkel mit dem 31er (mod 53) Mercatorabständen:
ges(26) des(4) as(35) es(13) b(44) f(22) c g(31) d(9) a(40) e(18) h(49) fis(27) cis(5) gis(36) dis(14) ais(45)

Die Zwischentöne werden so eingeschoben, dass die folgenden Intervalle alle diatonische Halbtöne der Größe 5 sind:

,cis d / 'des c / ,,dis ,e / 'es d / 'fis g / 'ges f / ,,gis ,a / 'as g / 'ges f / ,,ais ,h / b ,a

c(0)
  ,cis(4) 'des(5)
d(9)}
  ,,dis(12) 'es(14)
,e(17)
f(22)
  ,fis(26) 'ges(27)
g(31)
  ,,gis(34) 'as(36)
,a(39)
  ,,ais(43) b(44)
,h(48)
c(53)

Wir sehen,die Belegung der schwarzen Tasten nach Kreuz-Tonart oder B-Tonart unterscheiden sich um 1/53 Ok = 23 Cent bzw. umd 2/53 Ok = 45 Cent, also um ca. 1/5 Halbton oder knapp 1/2 Halbton.

Intervalle

Wir rechnen mit 1k = 1/53 Oktave (= 22,64 Cent).

Kleine Intervalle

Das kleinste Intervall in der Mercatortonleiter ist das Wir verwenden hier die Einheit k ("Komma") für 1/53 Oktave.

W3C