Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

2. Lektion: Hintereinanderausführung zweier Tonschritte
und
Reine Stimmung

In Lektion 1 wurde dieser Vorgang schon vorweggenommen:

"Die Quinte und die Quarte ergänzen sich zur Oktave."

Was bedeutet das?

Nun: Das erste Intervall kann durch zwei Töne A und B beschrieben werden. Das zweite ebenfalls durch zwei Töne, wobei wir als ersten Ton B wählen können. Also:

Erstes Intervall i1 = AB. In unserem Beispiel etwa Qua = c'f'. quart.gif Quarte
Zweites Intervall i2 = BC. In unserem Beispiel dann Qui = f'c''. quintf1c2.gif Quinte

Nun führen wir die Intervalle hintereinander aus und lassen den Ton B unberücksicht.

Neues Intervall i = AC. In unserem Beispiel i = c'c''. oktav.gif Oktav
quaqui.gif
Wir haben also eine "Verknüpfung" von Intervallen, die wir unserer Vorstellung gemäß wie das Zusammensetzen von Strecken vorstellen können und die wir deshalb als Addition schreiben.

i1 = AB und i2 = BC => i = i1 + i 2 = AC.
In unserem Beispiel also Qua + Qui = Okt.


Bei Vielfachen von Intervallen werden die zugehörigen Frequenzverhältnisse potenziert.
Bespiel:
Quinte 3/2
2 Quinten (3/2)2=9/4
3 Quinten (3/2)3=27/8
4 Quinten (3/2)2=81/16
...
1 Oktave 2
2 Oktaven 22=4
3 Oktaven 23=8
4 Oktaven 24=16
...
n Oktaven 2n
1/12 Oktave
  1
  ——
  12   12——
2    = \/ 2


Bei der Addition von Intervallen werden die zugehörigen Frequenzverhältnisse multipliziert.

Beispiele:

G + Qua = Qui
  9   4   3
  - · - = -
  8   3   2
G + kSept = Ok
  9   16
  - · —— = 2
  8    9
kT + gT = Qui
  6   5   3
  - · - = -
  5   4   2
gT + Qua = gSext
  5   4   5
  - · - = -
  4   3   3
gT + Qui = gSept
  5   3   15
  - · - = ——  
  4   2    8
gT + kSext = Ok
  5   8
  - · - = 2
  4   5
Qua + Quin = Ok
   4   3
   - · - = 2
   3   2


Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion.

Beispiel: Welches Intervall x muss ich zur Quarte addieren, um die Oktav zu erhalten?
Qua + x = Ok.

Nach Definition nennt man dieses Intervall die Differenz: x = Ok - Qua.

Hier: Ok - Qua = Qui.

Hörpsychologisch geht man zuerst ein Intervall aufwärts und dann ein Intervall abwärts.

Entsprechende Frequenzverhältnisse werden dividiert.

Damit sind auch zum Beispiel folgende Beziehungen verständlich:

Ok - Qua = Qui
     4   3
   2:- = -
     3   2
Ok - Qui = Qua
    3   4
  2:- = -
    2   3
Qui + Qui - Ok = G
   3 3     9
   -·-:2 = -  
   2 2     8


Satz: Die Oktave Ok, die Quinte Qui und die große Terz gT sind die Grundintervalle der reinen Stimmung.
Deshalb nennt man dieses System auch das Quint-Terz-System

Das heißt: Alle in Lektion 1 erwähnten Intervalle kann man damit zusammensetzen.

Beweis :
Die OktaveOk Grundintervall
Die QuinteQui Grundintervall
Die QuarteQua = Ok - Qui
Die große TerzgT Grundintervall
Die kleine SextkSext = Ok - gT
Die kleine TerzkT = Qui - gT
Die große SextgSext = Ok - (Qui -gT) = Ok + gT - Qui
Der große GanztonG = Qui + Qui - Ok
Der kleine GanztonG- = gT - G = Ok + gT - Qui - Qui
Die kleine SeptimekSept = Ok - G = 2Ok - 2Qui
Die kleine SeptimekSept+ = Ok - (G-) = Qui + Qui - gT
Der HalbtonH = Qua - gT = Ok - Qui -gT
Die große SeptimegSept = Ok - H = Qui + gT

Mit diesen Intervallen kann man die reine Dur- und Molltonleiter aufbauen.

Reine Tonleiter heißt: Die Dreiklänge der Tonika, Dominante und Subdominante sind aus reinen großen und kleinen Terzen aufgebaut.

Zum Beispiel berechnen sich in der C-Durtonleiter mit dem Grundton c' mit 264 Hz die übrigen Töne mit ihren Frequenzen folgendermaßen:
Beim ersten Lesen können Sie die Eulersche Schreibweise (,e' = Tiefkomma e' usw.) überlesen.
Ton + IntervallBerechnung der Frequenz
c' + gT = ,e'264·5/4 = 330
,e' + kT = g'330·6/5 = 396
g' + gT = ,h'396·5/4 = 495
,h' + kT - Ok = d'495·6/5:2 = 297
c' + Ok = c''264·2 = 528
c'' - kT = ,a'528:(6/5) = 440
,a' - gT = f'440:(5/4) = 352


Zur C-Dur-Tonleiter gehören folglich folgende Frequenzen:

c'd',e'f'g',a',h'c''
264297330352396440495528


Beim ersten Lesen können Sie die Eulersche Schreibweise ('es = Hochkomma es usw.) überlesen
Entsprechend kann man die c-Moll-Tonleiter so berechnen, dass die Mollakkorde c' - 'es' - g', g' - 'b' - d'' und f' - 'as' - c'' aus kleiner Terz und großer Terz aufgebaut sind.

Zur C-Moll-Tonleiter (harmonisch absteigend) gehören folglich folgende Frequenzen:

c'd''es'f'g''as''b'c''
264297316,8352396422,4475,2528


Modulationen in der reinen Stimmung

Faustregel: Bei einer Modulation in eine Nachbartonart ändern sich zwei Töne, einer davon erkennbar mit Vorzeichenwechsel, der andere geringfügig um ein syntonisches Komma. (Frequenzverhältnis 81/80≡21,5 Cent. Das ist ungefähr 1/5 Halbton.)

Zum Beispiel erniedrigt sich bei einer Modulation von C-Dur nach F-Dur nicht nur das H um einen Halbton zu B, sondern auch das D um ein syntonisches Komma. Bei einer Modulation von c-Moll nach f-Moll erniedrigt sich das B um ein syntonisches Komma und das D um einen Halbton zu Des.

Entsprechend erhöht sich bei einer Modulation von C-Dur nach G-Dur nicht nur das F um einen Halbton zu Fis, sondern auch das A um ein syntonisches Komma. Bei einer Modulation von c-Moll nach g-Moll erhöht sich das F um ein syntonisches Komma und das As um einen Halbton zu A.

Das Thema wird in Lektion 7 vertieft.
In reiner Stimmung ist der chromatische Halbton kleiner als der diatonische Halbton. Weiterlesen...
Ein ziemlich mathematische Vertiefung in das Quint-Terz-Sytem der reinen Stimmung finden Sie hier ...

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