Joachim Mohr   Mathematik Musik
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5. Lektion: Die gleichstufige Stimmung

Die reine Stimmung hat den großen Vorteil "schöner" Zusammenklänge, aber den Nachteil, dass bei Modulationen sich "unschöne" Akkorde ergeben. In Lektion 2 wurde die C-Dur-Tonleiter berechnet:
Beim ersten Lesen können Sie die Eulersche Schreibweise (,e = Tiefkomma e, 'es Hochkomma es usw.) überlesen.

c d ,e f g ,a ,h c
264 297 330 352 396 440 495 528


Die Dur-Dreiklänge von Tonika c' - ,e' - g', Dominante g'- ,h' - d'' und Subdominante f' - ,a' - c'' erklingen rein.

Wir können es nochmal überprüfen, indem wir die Frequenzverhältnisse berechnen: 

,e   330   5   ,h   495   5       ,a   440   5
—— = ——— = -,  —— = ——— = - und   —— = ——— = -  
c    264   4    g   396   4       f    352   4
(große Terz = 386 Cent) 

g    396   6   d     594   6       c   528   6
—— = ——— = -,  ——— = ——— = - und  —— = ——— = - 
,e   330   5   ,h    495   5      ,a   440   5
(kleine Terz = 316 Cent)

Moduliert man dann nach F-Dur und lässt in F-Dur den Subdominantakkord bd'f' erklingen, so klingt dieser unrein.

Man sieht es hier sofort, wenn man die kleine Terz d'f' nachrechnet: 

f   352   32   
— = ——— = —— 
d   297   27
(unreine kleine Terz = 294 Cent, 22 Cent Abweichung vom reinen Intervall)

Vergleichen Sie den unreinen Akkord bd'f' (unrein)
mit dem reinen Akkord! "b,d'f' (rein in F-Dur)
Beim reinen Akkord musste der Ton d' um 22 Cent zu ,d' erniedrigt werden (22 Cent ist etwa 1/5 Halbton).
Bei jeder Modulation in die Dominante oder Subdominante ändern sich Töne nicht nur um einen halben Ton (,h in ,b oder f in fis), sondern gleichzeitig auch ein Ton um 22 Cent (wie hier der Ton d' zu ,d'). Beim Chorgesang passen die SängerInnen die Töne vom Hören her an, bei Tasteninstrumenten ist dies nicht möglich.

Weitere Erläuterungen
Nach langen Suchen, wie man spielbare Tasteninstrumente bauen muss, kam man über mitteltönige und wohltemperierten Stimmungen schließlich zur gleichförmigen Stimmung. Bei ihr klingen alle Intervalle außer der Oktave in allen Tonarten nicht mehr rein, aber auch nicht mehr unbrauchbar.

Das ist der Kompromiss, den man bei Tasteninstrumenten machen muss, wenn alle Tonarten spielbar sein sollen.

Man muss sich hierbei jedoch klar sein, dass hörpsychologisch diese Intervalle nicht exakt zu treffen sind. Das heißt:

Zwei musikalischen Sänger können eine reine große Terz leicht intonieren, die "geschärfte" gleichförmige große Terz nur ungefähr ... eben nur als "geschärfte" - etwas größere- reine Terz. Siehe dazu auch den Abschnitt hier.

Bei der gleichstufigen Tonleiter ist die Oktave als einziges Intervall rein. Die (reine) Oktave wird in 12 gleiche Halbtöne h aufgeteilt.

1 Oktave = 1 200 Cent, ein Halbton h = 100 Cent mit dem Frequenzverhältnis 
      100     1
     ————    ——
     1200    12   12-
x = 2     = 2   = \/2  (Die "zwölfte Wurzel" von 2)
Dieses Frequenzverhälnis könnte man auch folgendermaßen herleiten:

Bei Intervallen wird addiert: h + h + ... + h (12 Mal) = 12h = Ok.

Bei Frequenzverhältnissen wird multipliziert; x·x·...·x (12 Mal) = x12 =2.
Folglich ist das Frequenzverhältnis des Halbtons h die Zahl x, deren 12. Potenz 2 ist.
Diese nennt man 12. Wurzel von 2: 

                  1
                  ——
        12——      12
    x = \/ 2  = 2    = 1,059 463 ...
Die 12 Halbtöne sind dann bezogen auf den Grundton im Centmaß 
     rein   gleichstufig        
c       0  c     0            
'des  111  des 100                                 
d     204  d   200                
'es   316  es  300                      
,e    386  e   400           
f     498  f   500           
,fis  590  fis 600             
g'     702 g   700            
'as   814  as  800            
,a    884  a   900            
'b   1018  b  1000            
,h   1088  h  1100            
c    1200  c  1200

(Die 12 Töne der reinen Tonleiter sind die der C-Dur und c-moll-Tonleiter. Zusätzlich wurde 'des und ,fis noch so zugefügt, dass 'des-f und d-,fis reine Terzen sind.)

Bemerkenswert beim Vergleich der gleichstufigen Stimmung mit der reinen Stimmung ist:

Damit ist die gleichstufige Stimmung vollständig erklärt.

Diese Lektion scheint irgendwie zu kurz gefaßt. Tatsächlich wird in der gleichstufigen Stimmung alles wesentlich vereinfacht ... zu sehr vereinfacht! Zum Glück wird in unserer Noteschrift zum Beispiel noch zwischen Cis und Des unterschieden, so dass ein gewisser Blick für die feinen Unterschiede bewahrt bleibt. (Wenn aber in einer Ausgabe zum wohltemperierten Klavier im es-moll-Präludium der neapolitanische Sextakkord in E-Dur statt Fes-Dur notiert wird, wird eine Ignoranz wie bei den Zwölftönern demonstriert.)

Diese Lektionen sollen Ihnen den Blick für die feinen Unterschiede schärfen.

Hinweis: Dieser Tonraum wird an anderer Stelle mathematisch formaler beschrieben.

Teilbarkeit von Intervallen

Wir haben schon festgestellt: Intervalle kann man addieren, also auch vervielfachen. Man kann aber Intervalle vom Gehör her nicht beliebig teilen.

Die "halbe Quinte" wäre zwischen kleiner und großer Terz anzusiedeln und ist im Stimmungssystem weder der pythagoreischen noch der mitteltönigen, reinen oder gleichstufigen Stimmung ein vorkommendes Intervall.

Die Oktave umfaßt 1200 Cent. Die halbe Oktave also 600 Cent.

In der gleichstufigen Stimmung bedeutet dies für folgende Intervalle:
hf = eine verminderte Quinte = 600 Cent (Frequenzverhältnis irrational).
fh = übermäßige Quarte = 600 Cent.

Dieses Intervall kann kein Mensch (auch kein musikalischer) exakt treffen, es sei denn, er hört es zuvor (vom gleichstufig gestimmten Klavier) und singt es nach dem Gedächtnis.

Wir wollen im folgenden den "Tritonus" in der reinen Stimmung darstellen:
(Gerechnet wird mit dem Halbton H = 112 Cent, dem großen Ganzton G = 204 Cent und dem kleinen Ganzton G- = 182 Cent).

In C-Dur ist die verminderte Quinte ,hf= H + G + (G-) + H = 610 Cent (Frequenzverhältnis = 64/45)
und die übermäßige Quarte f,h = G + (G-) + G = 590 Cent (Frequenzverhältnis 45/32).

Die Differenz ist H + H - G = 20 Cent (Frequenzverhältnis 2048/2025).

In der pythagoreischen Stimmung beträgt der Tritonus G + G + G = 612 Cent (Frequenzverhältnis 729/512).

Man sieht hier übrigens, wie nichtssagend Frequenzverhältnisse, aber wie aussagekräftig die Centangabe ist.

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