Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

pythagoreische Stimmung im Vergleich zur
gleichstufigen Stimmung

Der Halbton in der gleichstufigen Stimmung hat die Größe von 100 Cent der Abstand zu c brträgt dann:

gleichstufig: c(0) d(200) e(400) f(500) g(700) a(900) h(1100) c(1200)

In der pythagoreischen Stimmung ist eine winzige Korrektur nötig. Die reine Quinte hat die Größe von Quinte = 701,955000865387 Cent.
Wir verwenden folgende Größe: p = Quinte - 700 = 1,955 Cent. Hier ist p = pythagoreisches Komma/12 = 1200*lb(1,5^12/2^7)/12. Dann erhalten wir:

pythagoreisch: c(0) cis(100+7p) d(200+2p) es(300-3p) e(400+4p) f(500-p) fis(600+6p) g(700+p) gis(800+8p) oder as(800-4p) a(900+3p) b(1000-2p) h(1100+5p) c(1200)
in Cent c(0) cis(114) d(204) es(294) e(408) f(498) fis(612) g(702) gis(816) oder as(792) a(906) b(996) h(1110) c(12)

Mitteltönige Stimmung im Vergleich
zur gleichstufigen Stimmung

Hier werden im pythagoreischen Quintenzirkel ... f(500-p) c(0) g(700+p) d(200+2p) ... die Quinten wieder um 1/4 syntonisches Komma vekleinert. Mit q=1/4syntonisches Komma -p = 3,4215715337913 Cent ergibt mit dem mitteltönige Quintenzirkel ... f(500+q) c(0) g(700-q) d(200-2q) ...:

mitteltönig: c(0) cis(100-7q) d(200-2q) es(300+3q) e(400-4q) f(500+q) fis(600-6q) g(700-q) gis(800-8q) a(900-3q) b(1000+2q) h(1100-5) c(1200)
In Cent: c(0) cis(76) d(193) es(310) e(386) f(503) fis(579) g(697) gis(773) a(890) b(1007) h(1083) c(12)

Reine Stimmung im Vergleich
zur gleichststufigen Stimmung

Die Dur- und Molltonleiter in reiner Stimmung schreibt sich dann in Eulerschreibweise. Mit der Abkürzung

k = syntonscies Komma = 1200*lb(81/80) = 21,5 Cent und
p = pythagoreisches Komma/12 = 1,955 Cent

c(0) d(200+2p) 'es(300-3p+k) ,e(400+4p-k) f(500-p) g(700+p) 'as(800-4p+k) ,a(900+3p-k) 'b(1000-2p+k) ,h((1100+5p-k) c(1200)

Daraus errechnet sich in Cent (mit dem Frequenverhältnis):
chromatischer Halbton 'es,e = 100+7p-2k = 70,67 Cent (25/24)
diatonischer Halbton ,ef = 100-5p+k = 111,73 Cent (16/15)
kleiner Ganzton d,e = 200+2p-k =182,40 Cent (10/9)
großer Ganzton cd = 200+2p = 203,91 Cent (9/8)
kleine Terz c'es = 300-3p+k =315,64 Cent (6/5)
große Terz c,e = 400+4p-k = 386,31 Cent (5/4)
Quarte cf = 500-p = 498,04 Cent (4/3)
Tritonus f,h = 600+6p-k = 590,22 Cent (45/32)
verminderte Quinte ,hf = 600-6p+k = 609,78 Cent (64/45)
Quinte cg = 700+p = 701,96 Cent (3/2)
kleine Sext c'as = 800-4p+k =813,69 Cent (8/5)
große Sext c,a = 900+3p-k =884,36 Cent (5/3)
große kleine Septime dc = 1000-2p = 996,09 Cent (16/9)
kleine kleine Septime cb = 1000-2p+k = 1017,60 Cent (9/5)
große Septime c,h 1100+5p-k = 1088,27 Cent (15/8)
Oktave cc = 12 = 1200 Cent (2/1)

Berechnungsbeispiel

Melodie: Vom Himmel hoch, da komm ich her.

Vom Himmel hoch

Es handelt sich hier um folgende Akkorde ohne Rücksicht auf die Oktavelage in Eulerschreibweise:
C-Dur    c   ,e  g    c      
        ,e   ,e  g   ,h      
         f    c  f   ,a      
e-Moll ,,dis ,h ,fis ,h      
        ,e   ,h ,e    g      
B-Dur   es   c  f   ,a  
c-Dur   d    d  f   ,h  
        c   ,e  g    c  
Wie groß ist der Unterschied zwischen ,,dis und es?
In unserer Schreibweise berechnet sich das Intervall ,,dis es zu
,,dis(300+9p-2k)es(300-3p) - =
-12p +2k =-pythagoreisches Komma + 2syntonisches Komma
= 19,55 Cent = Diaschisma (verminderte Sekunde).

Berechnungen

Alle Berechnungen fußen auf dem pythagoreischen Quintenzirkel mit
p = 1/12 pythagoreisches Komma ≈ 2 Cent.

c(0) his(12p)
cis(100+7p) des(100-5p)
d(200+2p) eses(200-10p)
dis(300+9p) es(300-3p)
e(400+4p) fes(400-8p)
f(500-p) eis(500+11p)
fis(600+6p) ges(600-6p)
g(700+p) asas(700+11p)
gis(800+8p) as(800-4p)
a(900+3p) heses(900-9p)
ais(1000+10p) b(1000-2p)
h(1100+5p) ces(1100-7p)
c(1200) deses(1200-12p)