Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

Die Messung von Stimmungen

Wir betrachten hier die Größe der Intervalle, nicht die Frequenzverhältnissen, die bekanntlich exponentiell wachsen. Zum Beispiel:


Intervall Frequenz­verhältnis Intervall Frequenz­verhältnis
1 Ok = 1200 Cent 2/1 1 Quinte =
702 Cent
3/2
2 Ok = 2400 Cent 4/1 2 Quinten = 1404 Cent 9/4
3 Ok = 3600 Cent 8/1 3 Quinten = 2106 Cent 27/8
4 Ok = 4800 Cent 16/1 4 Quinten = 2808 Cent 81/16
5 Ok = 6000 Cent 32/1 5 Quinten = 3510 Cent 243/32

gleichstufig und pythagoreisch

Wir rechnen mit p = 1/12 pythagoreisches Komma:

p = Unterschied zwischen reiner und gleichstufiger Quinte
p = reine Quinte - 700 Cent = reine Quinte - 7/12Ok ≈ 2 Cent.
Genau:

      
                                     12     
                                    3
                            1200•lb(———)
                                     19                 12
    pythagoreisches Komma           2                  3
p = ————————————————————— = ———————————— Cent = 100•lb(———) Cent  ≈ 2 Cent
           12                12                         19 
                                                       2 

                       log(x)
mit lb(x) = log2(x) = ——————
                       log(2)


Dann erhalten wir für die Halbtöne unserer Klaviertastatur:

gleichstufig
c = 0  
  cis = 100 Cent 
d = 200 Cent 
  es = 300 Cent 
e = 400 Cent
f = 500 Cent 
  fis = 600 Cent 
g = 700 Cent 
  gis = 800 Cent 
a = 900 Cent 
  b = 1000 Cent 
h = 1100 Cent 
c= 1200 Cent
pythagoreisch:
c = 0 
cis = 100Cent+7p 
d = 200Cent+2p 
es = 300Cent-3p 
e = 400Cent+4p 
f = 500Cent-p 
fis = 600Cent+6p
g = 700Cent+p 
gis = 800Cent+8p
a = 900Cent+3p 
b = 1000Cent-2p 
h = 1100Cent+5p 
c=  1200 Cent 
pythagoreisch in Cent
c = 0  
cis = 114 Cent 
d = 204 Cent 
es = 294 Cent 
e = 408 Cent
f = 498 Cent 
fis = 612 Cent 
g = 702 Cent 
gis = 816 Cent
a = 906 Cent 
b = 996 Cent 
h = 1110 Cent 
c= 1200 Cent

Die Skala ergänzt um enharmonische Töne (p ≈ 2 Cent).

Gleichstufig pythagoreisch    pythagoreisch enharmonisch
000 Cent    c=0               his=12p
100 Cent    cis=100 Cent+7p   des=100 Cent-5p
200 Cent    d=200 Cent+2p     eses=200 Cent-10p
300 Cent    dis=300 Cent+9p   es=300 Cent-3p
400 Cent    e=400 Cent+4p     fes=400 Cent-8p
500 Cent    f=500 Cent-p      eis=500 Cent+11p
600 Cent    fis=600 Cent+6p   ges=600 Cent-6p
700 Cent    g=700 Cent+p      asas=700 Cent-11p
800 Cent    gis=800 Cent+8p   as=800 Cent-4p
900 Cent    a=900 Cent+3p     heses=900 Cent-9p
1000 Cent   ais=100 Cent0+10p b=100 Cent0-2p
1100 Cent   h=1100 Cent+5p    ces=1100 Cent-7p
1200 Cent   c=1200 Cent       deses=1200 Cent-12p
Die enharmonischen Töne unterscheiden sich um 12p = pythagoreisches Komma ≈ 23 Cent.

——————

Fußnote für Mathematiker

Berechnungen des Frequenzverhältnisses

Sind die Centwerte mit dem genauen Wert von p=1/12 pythagoreisches Komma angegeben, so lässt sich auch das Frequenzverhältnis des Intervalls genau berechnen:
In den folgenden Rechnungen wird mit der Einheit der Oktave Ok = 1200 Cent gerechnet.
          
                                    12               12 
  1                        1       3          1     3      
p=——pythagoreisches Komma=——1200lb(———)Cent = ——*lb(———) Ok
  12                      12        19        12     19    
                                   2                2   

Berechnung des Frequenzverhältnisses q aus der Größe i

Allgemein errechnet sich das Frequenzverhältnis q aus der Größe i in Oktav- oder Centwerten:

 
     i       i
     ——   ———————— 
     Ok   1200Cent
q = 2  = 2               

Wir rechnen mit dem Frequenzverhältnis des Pythagoreischen Kommas
 
       12  
     3                                                   lb(pk) 
pk = ——— (12 Quinten aufwärts, 7 Oktaven abwärts) mit p= ——————
      19                                                   12
     2

Beispiel 1 Für die Quinte g = 700Cent+p = 7/12Ok+1/12*lb(pk)Ok folgt

   7      1
   ——Ok + ——lb(pk)                                    
   12     12           1                          1                1            1          1 
   ———————————————     ——(7+lb(pk))               ——               ——           ——      12 ——
         Ok            12              (7+lb(pk)) 12      7        12      7    12     3   12   3
q=2                = 2             = (2          )    = (2 *lb(pk))    = (2 *pk)   = (———)    = —
                                                                                       12       2 
                                                                                      2   

Beispiel 2:

  

                        1      1
Für fis= 600 Cent +6p = — Ok + —*lb(pk) Ok berechnet sich das Frequenzverhältnis zu
                        2      2 

                           1  
   1   1                   -           1         1
   — + —lb(pk)             2           —     12  —     6
   2   2         (1+lb(pk))            2    3    2    3 
q=2           = 2               =(2*pk)  = (———)   = (——) (6 Quinten, oktaviert)
                                             18        9
                                            2         2    
                        

Bleibt die Frage: Wann ist für

                                                12   
                      n*Ok + m*lb(pk)Ok        3 
i = 100*nCent + m*p = ————————————————— für pk=——— und Ok = 1200 Cent
                           12                   19
                                               2 

das Frequenzverhältnis q rational?

                   
                       1
Für das Intervall  i = ——(n+mlb(pk)Ok folgt für das Frequenzverhältnis:
                       12
                                      1             1 
                1               12*m  ——      12m   ——     m
    (n+mlb(pk)^(——)        n   3      12     3      12    3
q=2             12     = (2  * —————)     = (——————)    = ———————————
                                19*m          19m-n        (19m-n)/12
                               2             2            2

q ist also rational, wenn sich 19m-n durch 12 teilen lässt.
 Dabei steht n=0,1,2,...,12 für die Halbtöne und m für Vielfache von 1/12 pyth. Komma) ≈ 2 Cent.

Mitteltönige Stimmung im Vergleich
zur gleichstufigen Stimmung

Hier werden im pythagoreischen Quintenzirkel ... f(500-p) c(0) g(700+p) d(200+2p) ... die Quinten um 1/4 syntonisches Komma verkleinert. Mit q=1/4syntonisches Komma - p = 3,4215715337913 Cent ergibt mit dem mitteltönige Quintenzirkel ... f(500+q) c(0) g(700-q) d(200-2q) ...:

Im folgenden schreibe wir 100 statt 100 Cent usw.
mitteltönig:
c(0)
  cis(100-7q)
d(200-2q)
  es(300+3q)
e(400-4q)
f(500+q)
  fis(600-6q)
g(700-q)
  gis(800-8q)
a(900-3q)
  b(1000+2q)
h(1100-5)
c(1200)
enharmonisch:

  des(100+5q)

  dis(300-9q)


  ges(600+6q)

  as(800+4q)

  ais(1000-10q)

c(1200)
In Cent:
c(0)
cis(76) des(117)
d(193)
es(310) dis(269)
e(386)
f(503)
fis(579) ges(621)
g(697)
gis(773) as(814)
a(890)
b(1007) ais(966)
h(1083)
c(1200)
Die enharmonischen Töne unterscheiden sich um 41 Cent (= 3•Syntonisches Komma - pythagoreisches Komma = kleine Diesis).

Reine Stimmung im Vergleich
zur gleichstufigen Stimmung

Die C-Dur- und Molltonleiter in reiner Stimmung schreibt sich dann in Eulerschreibweise. Mit der Abkürzung

k = syntonisches Komma = 1200*lb(81/80) = 21,5 Cent und
p = pythagoreisches Komma/12 = 1,955 Cent

Rein
c(0)
d(200+2p)
    'es(300-3p+k)
,e(400+4p-k)
f(500-p)
g(700+p)
    'as(800-4p+k)
,a(900+3p-k)
    'b(1000-2p+k)
,h(1100+5p-k)
c(1200)
In Cent
c(0)
d(204)
    'es(316)
,e(386)
f(498)
g(702)
    'as(8014)
,a(884)
    'b(1018)
,h(1088)
c(1200)

Daraus errechnet sich in Cent (mit dem Frequenzverhältnis):
chromatischer Halbton 'es,e = 100Cent+7p-2k = 70,67 Cent (25/24)
diatonischer Halbton ,ef = 100-5p+k = 111,73 Cent (16/15)
kleiner Ganzton d,e = 200+2p-k =182,40 Cent (10/9)
großer Ganzton cd = 200Cent+2p = 203,91 Cent (9/8)
kleine Terz c'es = 300Cent-3p+k =315,64 Cent (6/5)
große Terz c,e = 400Cent+4p-k = 386,31 Cent (5/4)
Quarte cf = 500Cent-p = 498,04 Cent (4/3)
Tritonus f,h = 600Cent+6p-k = 590,22 Cent (45/32)
verminderte Quinte ,hf = 600Cent-6p+k = 609,78 Cent (64/45)
Quinte cg = 700Cent+p = 701,96 Cent (3/2)
kleine Sext c'as = 800Cent-4p+k =813,69 Cent (8/5)
große Sext c,a = 900Cent+3p-k =884,36 Cent (5/3)
große kleine Septime dc = 1000Cent-2p = 996,09 Cent (16/9)
kleine kleine Septime cb = 1000Cent-2p+k = 1017,60 Cent (9/5)
große Septime c,h = 1100Cent+5p-k = 1088,27 Cent (15/8)
Oktave cc' = 1200 Cent (2/1)

Berechnungsbeispiel

Melodie: Vom Himmel hoch, da komm ich her.

Vom Himmel hoch

Es handelt sich hier um folgende Akkorde ohne Rücksicht auf die Oktavelage in Eulerschreibweise:

C-Dur    c   ,e  g    c      
        ,e   ,e  g   ,h      
         f    c  f   ,a      
e-Moll ,,dis ,h ,fis ,h      
        ,e   ,h ,e    g      
B-Dur   es   c  f   ,a  
c-Dur   d    d  f   ,h  
        c   ,e  g    c  

Wie groß ist der Unterschied zwischen ,,dis und es?
In unserer Schreibweise berechnet sich das Intervall ,,dis es zu
,,dis(300+9p-2k)es(300-3p)

= -12p +2k = -pythagoreisches Komma + 2syntonisches Komma
= 19,55 Cent = Diaschisma (verminderte Sekunde).