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Genauer Vergleich der Intervallgrößen nach Mercator und in Cent

Die Größe von Intervallen in Kommata

Das Komma k=der 53. Teil einer Oktave = 22,64 Cent ist ein genügend genaues Maß für die Intervallgröße und übersichtlicher als das zu feine Centmaß. Das pythagoreische oder syntonische Komma sind fast gleich groß wie k.
In reiner Stimmung ist:
Halbton = 5k
Ganzton = 9k bzw 8k
Kleine Terz = 14k
Große Terz = 17k (nämlich großer Ganzton + kleiner Ganzton = 9k+8k=17k)
pythagoreische große Terz 18k (1 Komma Unterschied zur reinen Terz)
Quarte = 22k
Quinte = 31k
Oktave = 53k Umrechnung Frequenzverhältnis in Kommamaß
Ist q das Frequenzverhältnis des Intervalls i, so ist i = 53•lb(q)k (lb=Logarithmus zur Basis 2)
Beispiel:
Große Terz: q=5/4 ⇒ i=53•lb(5/4)k=17k
Quinte: q=3/2 ⇒ i=53•lb(3/2)k=31k

Umrechnung Kommamaß in Frequenzverhältnis

Hier müssen wir die Formel i=53•lb(q)k nach q auflösen.
53•lb(q)k=i
lb(q)=i:(53k), Also:
q=2i:(53k).
Ergibt einen Näherungswert für das Frequenzverhältnis, dessen Bruch sich oft erraten lässt.
Beispiel:
Große Terz: i=17k ⇒ q=q=2(17k):(53k) = 1,25 = 5/4.
Quinte: i=31k ⇒ q=2(31k):(53k) = 1,5 = 3/2.

Umrechnung Kommamaß in Centmaß

x•k = x•1200:53Cent
Beispiel:
Große Terz = 17k = 17•1200:53 Cent = 385 Cent.
Quinte = 31k = 31•1200:53 Cent = 702 Cent.

Genaue Rechnung

Große Terz in Kommata 17•1200:53 = 384,9 Cent. Genau: 1200•lb(5/4) = 386,3 Cent.
Quinte in Kommata = 31•1200:53 = 701,9 Cent. Genau: 1200•lb(3/2) = 702,0 Cent.
Das Rechnen mit dem Komma k im Quint-Terz-System der Intervalle ist eine Näherungsrechnung, aber auf 1 Cent genau!