Joachim Mohr Mathematik Musik
Genauer Vergleich der Intervallgrößen nach Mercator und in Cent
Die Größe von Intervallen in Kommata
Das Komma k=der 53. Teil einer Oktave = 22,64 Cent ist ein genügend genaues Maß für die Intervallgröße und übersichtlicher als das zu feine Centmaß. Das pythagoreische oder syntonische Komma sind fast gleich groß wie k.In reiner Stimmung ist:
Halbton = 5k
Ganzton = 9k bzw 8k
Kleine Terz = 14k
Große Terz = 17k (nämlich großer Ganzton + kleiner Ganzton = 9k+8k=17k)
pythagoreische große Terz 18k (1 Komma Unterschied zur reinen Terz)
Quarte = 22k
Quinte = 31k
Oktave = 53k Umrechnung Frequenzverhältnis in Kommamaß
Ist q das Frequenzverhältnis des Intervalls i, so ist i = 53•lb(q)k (lb=Logarithmus zur Basis 2)
Beispiel:
Große Terz: q=5/4 ⇒ i=53•lb(5/4)k=17k
Quinte: q=3/2 ⇒ i=53•lb(3/2)k=31k
Umrechnung Kommamaß in Frequenzverhältnis
Hier müssen wir die Formel i=53•lb(q)k nach q auflösen.53•lb(q)k=i
lb(q)=i:(53k), Also:
q=2i:(53k).
Ergibt einen Näherungswert für das Frequenzverhältnis, dessen Bruch sich oft erraten lässt.
Beispiel:
Ergibt einen Näherungswert für das Frequenzverhältnis, dessen Bruch sich oft erraten lässt.
Große Terz: i=17k ⇒ q=q=2(17k):(53k) = 1,25 = 5/4.
Quinte: i=31k ⇒ q=2(31k):(53k) = 1,5 = 3/2.
Umrechnung Kommamaß in Centmaß
x•k = x•1200:53Cent
Beispiel:
Große Terz = 17k = 17•1200:53 Cent = 385 Cent.
Quinte = 31k = 31•1200:53 Cent = 702 Cent.
Genaue Rechnung
Große Terz in Kommata 17•1200:53 = 384,9 Cent. Genau: 1200•lb(5/4) = 386,3 Cent.Quinte in Kommata = 31•1200:53 = 701,9 Cent. Genau: 1200•lb(3/2) = 702,0 Cent.
Das Rechnen mit dem Komma k im Quint-Terz-System der Intervalle ist eine Näherungsrechnung, aber auf 1 Cent genau!