Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

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Die Dur- und Mollakkorde im Quintenzirkel
mit Mercatorscala

Der Quintenzirkel von Des-Dur (mit Subdominante Ges) bis Cis-Dur (mit Domiante Gis-Dur)

skala53
Im der folgenden Tabelle sind noch die Paralleltonarten (Zum Beispiel zu C-Dur/moll auch ,A-Dur/moll) mitberücksichtigt:
Ges: ges 'heses ,b des
,Es: ,es ges ,,g ,es

Des: des 'fes ,f as
,B: ,b des ,,d ,f

As: as 'ces ,c es
,F: ,f as ,,a ,c

Es: es 'ges ,g b
,C: ,c es ,,e ,g

B: b 'des ,d f
,G: ,g b ,,h ,d

F: f 'as ,a c
,D: ,d f ,,fis ,a
--------------------------
C: c 'es ,e g
,A: ,a c ,,cis ,e
-------------------------
G: g 'b ,h d
,E: ,e g ,,gis ,h

D: d 'f ,fis a
,H: ,h d ,,dis ,fis

A: a 'c ,cis e
,Fis: ,fis a ,,ais ,cis

E: e 'g ,gis h
,Cis: ,cis e ,,eis ,gis

H: h 'd ,dis fis
,Gis: ,gis h ,,his ,dis

Fis: fis 'a ,ais cis
,Dis: ,dis fis ,,fisis ,ais

Cis: cis 'e ,eis gis
,Ais: ,ais cis ,,cisis ,eis

Gis: gis 'h ,his dis
,Eis: ,eis gis ,,gisis ,his
Folgende 61 (41 bei Vernachlässigung des Schismas) Töne kommen vor.
Töne, die sich um ein Schisma (2 Cent) unterscheiden werden mit "+" oder "-" gekennzeichnet. Zum Beispiel 'es(316)=dis(+) bedeutet: dis(318) ist 2 Cent größer als 'es(316).
,his(2)=c(-) bedeutet: c(0) ist 2 Cent kleiner als ,his(2).

'heses(904)=a(+) 'fes(406)=e(+) 'ces(1108)=h(+) 'ges(610)=fis(+) 'des(112)=cis(+) 'as(8014)=gis(+)
      'es(316)=dis(+) 'b(1018) 'f(520) 'c(22) 'g(723) 'd(225) 'a(927) 'e(429) 'h(1131)
ges(588) des(90) as(792) es(294) b(996) f(498) c(0) g(702) d(204) a(906) e(408) h(1108) fis(612) cis(113)
    gis(816) dis(318)
,es(273) ,b(975) ,f(477) ,c(1178) ,g(680) ,d(182) ,a(884) ,e(386) ,h(1088) ,fis(590)=ges(-) ,cis(92)=des(-)
      ,gis(794)=as(-) ,dis(296)=es(-) ,ais(998)=b(-) ,eis(450)=f(-) ,his(2)=c(-)
,,g(659) ,,d(161) ,,a(863) ,,e(365) ,,h(1067) ,,fis(569) ,,cis(71) ,,gis(773) ,,dis(275)=,es(-)
      ,,ais(976)=,b(-) ,,eis(448)=,f(-) ,,his(1180)=,c(-) ,,fisis(682)=,g(-) ,,cisis(184)=,d(-)

Nach Größe geordnet (mit Mercatorskala)

Die Mercatorskala ist m0=0 m1=1200/53=23 m2=2*1200/52=45 usw.

c(0)=m0
,his(2)

'c(22) =m1(23)

,,cis(71)=m3(68)

des(90)=m4(91)
,cis(92)

'des(112)
cis(113)=m5(113)

,,d(161)=m7(158)

,d(182)=m8(181)
,,cisis(184)

d(204)=m9(204)

'd(225)=m10(226)

,es(273)=m12(272)
,,dis(275)

es(294)=m13(294)
,dis(296)

'es(316)=dis(+2)=m14(317)
dis(318)

,,e(365)=m16(362)

,e(386)=m17(386)

'fes(406)
e(408)=m18(408)

'e(429)=m19(430)

,eis(450)=m20(453)

,f(477)=m21(475)
,,eis(478)

f(498)=m22(498)

'f(520)=m23(521)

,,fis(569)m25(566)

ges(588)=m26(589)
,fis(590)=

'ges(610)=m27(611)
fis(612)

,,g(658,94)=m29(656)

,g(680)=m30(679)
,,fisis(682)=,g(-2)

g(702)=m31(702)

'g(723)=m32(727)

,,gis(773)=m34(770)

as(792)=m35(792)
,gis(794)

'as(814)=gis(+2)=m36(815)
gis(816)

,,a(863)=m38(860)

,a(884)=m39(883)

'heses(904)=a
a(906)=m40(906)

'a(927)=m41(928)

,b(975)=m43(974)
,,ais(976)=,b(-2)

b(996)=m44(996)
,ais(998)

'b(1018)=m45(1019)

,,h(1067)=m47(1064)

,h(1088)=m48(1087)

'ces(1108)=h=m49(1109)
h(1110)

'h(1131)=m50(1132)

,c(1178)=m52(1177)
,,his(1180)

c(1200= m53(1200)

Nur von theoretischem Interesse.

Kleismatische Verwechslung

Wenn man den Quintenzirkel ...
Tastatur reine Stimmung
... weiter ausdehnt und ins Unendliche fortsetzt, so schließt er sich nie, es sei denn, man toleriert kleine Fehler, wie das Schisma (siehe oben).
Die Kleismatische Verwechslung führte Tanaka (Nachmame) Shohel (Vorname) in seiner Dissertation ein, indem er sämtliche theoretisch mögliche Modulationen betrachtete und zum Beispiel zeigte, dass '''fes=,,,eis ist wenn man den Fehler des Kleismas toleriert. (Genau: '''fes=448,89 Cent, ,,,eis=456,99 Cent, Kleisma=8,11 Cent).
Weitere kleismatische Verwechslungen wären '''ges=,,,fisis, '''ces=,,,his, '''fes=,,,eis, '''heses=,,,ais, ''b=,,,,aisisis, ''es=,,,,disis, ''as=,,,,gisisi, ''de=,,,,cisis, ''ges=,,,,fisis.
Tanaka zeigte, indem er sämtliche theoretisch mögliche Modulationen betrachtete und zeigte, dass die 53-stufige Stimmung die einzige gleichstufige Stimmung mit dieser Eigenschaft ist, sowohl Schisma als auch Kleisma zu temperieren.
In der folgenden Tabelle (nach Mercator 1620?-1687) bedeutet:
Die erste Spalte: Die 53 Tonstufen der Oktave
Die zweite Spalte: Der Tonabstand zum Ton c in Cent
Die dritte Spalte: Entsprechende Töne in Eulerschen Schreibweise mit Centangabe.
Tonst. Tonst.
in
Cent
Entspr. Töne
-3 - 68 ,,,c= - 65  
-2 -45 ,,c= - 43  
-1 - 23 ,c= - 22 ,,his= - 20
00 0 c=0 ,his=2
01 23 'c=22 his=23
02 45 ''c=43  
03 68 ,,cis=71
04 91 des=90 ,cis=92
05 113 'des=112 cis=114
06 136 ''des=133
07 158 ,,d=161  
08 181 ,d=182 ,,cisis=184
09 204 d=204 ,cisis=206
10 226 'd=225 cisis=227  
11 249 ''d=247 ,,es=251  
12 272 ,es=273 ,,dis275
13 294 es=294 ,dis=296
14 317 'es=316 dis=318
15 340 ''es=337
16 362 ,,es=365  
17 385 fes=384 ,e=386
18 408 'fes=406 e=408
19 430 'e=429  
20 453 ''e=451 ,,f=455  
21 475 ,f=477 ,,eis=478
22 498 f=498 ,eis=500
23 521 eis=522
24 543 'eis=543  
25 566 ,,fis=569
26 589 ges=588 ,fis=590
27 611 'ges=609 fis=612
28 634 'fis=633  
29 657 ''fis=655 ,,g=659  
30 679 ,g=680 ,,fisis=682
31 702 g=702 ,fisis=704
32 725 fisis=725  
33 747 ,,,gis=752  
34 770 ,as=771 ,,gis=772
35 792 as=792 ,gis=794
36 815 'as=814 gis=816
37 838 ''as=835
38 860 ,,a=863  
39 883 ,a=884
40 906 a=906
41 928 gisis=929  
42 951 ,,b=953  
43 974 ,b=975 ,,ais=976
44 996 b=996 ,ais=998
45 1019 'b=1018 ais=1020
46 1042 ''b=1039 'ais=1041  
47 1064 ,ces=1065 ,,h=1067  
48 1087 ces=1086 ,h=1088
49 1109 'ces=1108 h=1110
50 1132 'h=1131  
51 1155 ''h=1153 ,,c=1157  
52 1177 ,c=1178 ,,his1180
53 1200 c=1200
Man sieht: Jede Tonleiter des Quintenzirkels kann rein gespielt werden. (Toleranz:Schisma=1,95 Cent).

Der Quintenzirkel in der 53-Skala von c aus gemessen I


     des  es  ,f    ges  as   ,b  ,c    des
     4    13   21   26   35   43   52   4
       9    8     5    9    8    9    5

                         as   b   ,c    des  es  ,f   ,g    as
                         35   44   52   4    13   21   30   35
                            9    8    5    9    8    9    5

          es   f   ,g    as   b   ,c   ,d    es
          13   22   30   35   44   52   8    13
             9    8    5    9    8    9    5

                              b    c   ,d    es   f   ,g   ,a    b
                              44   0    8    13   22   30   39   44
                                 9    8    5    9    8    9    5

               f    g   ,a    b    c   ,d   ,e    f
               22   31   39   44   0    8    17   22
                  9    8    5    9    8    9    5

c    d   ,e    f    g   ,a   ,h    c
0    9    17   22   31   39   48   0   (mod 53)
  9    8     5    9    8    9    5     (Differenzen)

                    g    a   ,h    c    d   ,e   ,fis  g
                    31   40   48   0    9    17   26   31
                       9    8    5    9   8     9    5

     d    e   ,fis  g    a   ,h   ,cis  d
     9    18   26   31   40   48   4    9
       9     8    5    9    8    9    5

                         a    h   ,cis  d    e   ,fis ,gis   a
                         40   49   4    9    18   26   35   40
                            9    8    5    9    8    9    5

           e    fis ,gis  a    h   ,cis ,dis  e
           18   27   35   40   49   4    13   18
              9    8    5    9    8    9    5

                               h    cis ,dis  e    fis ,gis ,ais  h
                               49   5    13   18   27   35   44   49
                                  9    8    5    9    8    9    5

                fis  gis ,ais  h    cis ,dis ,eis  fis
                27   36   44   49   5    13   22   27
                   9    8    5    9    8    9    5

cis  dis ,eis  fis  gis ,ais ,his  cis
5    14   22   27   36   44   0    5
   9    8    5    9    8    9    5

Der Quintenzirkel in der 53-Skala von c aus gemessen II

k=Oktave/53=22,6 Cent (ungefähr=synt. Komma=21,5 Cent/Pyth. Komma=23,5 Cent), chromatischr Halbton=4k, diatonischer Halbton=5k, kleiner Ganzton=8k, Großer Ganzton=9k, kleine Terz=14k, große Terz=17k, Quarte=22k, Quinte=31k. (Abweichungen in der Größenordnung von einem Schisma=2 Cent.)
   Tonart
   des  as   es   b    f   |c |  g    d    a    e    h    fis  cis       mitteltönig

0 c c |c | c ,his 0 c
1 |↓ |
2 | |
3 | | 3,25...,cis
4 des des | | ,cis ,cis ,cis
5 ↓ | | cis cis cis 5,25 °'des
6 | | ↓
7 | |
8 ,d ,d ,d | | 8,5 ..d
9 |d | d d d
10 | | ↓
11 | | 11,75.,,dis
12 | |
13 es es es es | | ,dis ,dis ,dis 13,75°°°es
14 ↓ | | dis
15 | |
16 | |
17 ,e |,e| ,e ,e
18 | | e e e e
19 | | ↓
20 | | 20,25...,,eis
21 ,f ,f | |
22 f f f |f | ,eis ,eis 22,25 °f
23 ↓ | |
24 | |
25 | | 25,5 ..,fis
26 ges | | ,fis ,fis ,fis
27 | | fis fis fis fis 27,5 °°'ges
28 | | ↓
29 | |
30 ,g ,g ,g | | 30,75 °g
31 g |g | g g
32 | | ↓
33 | |
34 | | 34 ,,gis
35 as as as | | ,gis ,gis ,gis
36 ↓ | | gis gis 36 'as
37 | |
38 | |
39 ,a ,a |,a| 39,25...a
40 | | a a a a
41 | | ↓
42 | | 42,25..,,ais
43 ,b | |
44 b b b b | | ,ais ,ais ,ais 44,5 °°b
55 ↓ | |
46 | |
47 | | 47,75 .,h
48 |,h| ,h ,h
49 | | h h h h
50 | | ↓
51 | | 51 ,,,his
52 ,c ,c ,c | |
53 c c |c | c ,his c

Der Quintenzirkel in 24 Tonarten in der 53-Skala III

Siehe hier ...

Die Tonleitern im Quintenzirkel, dargestellt in der 53-Skala

Abkürzung: Ok=Oktave
Die #-Tonarten im Eulerschen Tonnetz in der 53-Skala
C-Dur: c=0/53Ok d=9/53Ok ,e=17/53Ok f=22/53Ok
       g=31/53Ok ,a=39/53Ok ,h=48/53Ok c=53/53Ok
G-Dur: g a=40/53 ,h c d ,e ,fis=26/53Ok g
       (Nur die Veränderungen sind angegeben)
D-Dur: d e=18/53 ,fis g a ,h ,cis=4/53Ok d
A-Dur: a h=48/53Ok ,cis d e ,fis ,gis(794) a
E-Dur: e fis=27/53Ok ,gis a h ,cis ,dis=13/53Ok e
H-Dur: h cis=5/53Ok ,dis e fis ,gis ,ais=44/53Ok h
FIS-Dur: fis gis=36/53Ok ,ais h cis ,dis ,eis=22/53Ok fis
CIS-Dur: cis dis14/53Ok ,eis fis gis ,ais ,his=0/53Ok cis

Die ♭-Tonarten im Eulerschen Tonnetz in der 53-Skala
C-Dur: c=0/53Ok d=9/53Ok ,e=17/53Ok f=22/53Ok
       g=31/53Ok ,a=39/53Ok ,h=48/53Ok c=53/53Ok
F-Dur: f g ,a b44/53Ok c ,d=8/53Ok ,e f
       (Nur die Veränderungen sind angegeben)
B-Dur: b c ,d es=13/53Ok f ,g=30/53Ok ,a b
Es-Dur: es f ,g as=35/53Ok b ,c=-1/53Ok ,d es
As-Dur: as b ,c des=4/53Ok es ,f=21/53Ok ,g as
Des-Dur: des es ,f ges=26/53Ok as ,b=44/53Ok ,c des
Ges-Dur: ges as ,b ces=48/53Ok des ,es=12/53Ok ,f ges
Ces-Dur: ces des ,es fes=17/53Ok ges ,as=34/53Ok ,b ces

In alten Singschulen konnte man mit den theoretischen Verhältnissen der Intervalle wenig anfangen. Die multiplikativen Größenverhältnisse zum Beispiel zwischen den Ganztönen mit den Verhältnissen 9/8 und 10/9 waren zu abstrakt. Seit Guido von Arrezzo (992 bis 1050) kannte man die arithmetische Einteilung. Hier hatte man eine gute Vorstellung der Größen der Intervalle.
Großer Ganzton (c-d) = 9 Teile
Kleiner Ganzton (d-,e) = 8 Teile
Diatonischer Halbton (,e-f) = 5 Teile
Chromatischer Halbton ('b-h oder f-,fis) = 4 Teile
Große Terz (c-,e) = 17 Teile
Quinte (c-g) = 31 Teile
Oktave (c-c') = 53 Teile

Dies stellt die Größenverhältnisse in hervorragender Weise dar. Der Fehler zum exakten Wert liegt in der Größenordnung von einem Schisma (2 Cent).
Das Manual von Bosanquet. Mit dem Harmonium lassen sich alle Tonleitern des Quintenzirkels rein spielen (bis auf 2Cent).
Das Manual des Harmoniums von Bosanquet - Tasten
Das Manual des Harmoniums von Bosanquet - Beschreibung
Erläuterung: Bosanquet verwendet statt ,c die Schreibweise \c und statt 'c die Schreibweise /c.
Quelle nach Hermann von Helmholtz

Die mitteltönige Stimmung in der 53-Skala

Genau bis auf das Schisma=2 Cent (entspricht in der 53-Skala dem Wert von 0,09)

°'des .,,dis ...,,eis °°'ges 'as ..,,ais ,,,his 5,25 11,75 20,25 27,5 36 42,5 51
...,cis °°°es ..,fis ,,gis °°b 3,25 13,75 25,5 34 44,5
c ..d ,e °f .g ...a .,h c 0 8,5 17 22,25 30,75 39,25 47,75 53
8,5 8,5 5,25 8,5 8,5 8,5 5,25
chromatischer Halbton=3,25 / diatonischer Halbton=5,25 / Ganzton=8,5 / Kleinterz=13,75 / Großterz=17 / Quart=22,25 / Quint=30,75 / kl. Sext=36 / gr. Sext=39,25 / kl. Septime=44,5 / gr. Septime=47,75 / Oktave=53