Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
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Vergleiche auch Das Eulerschen Tonnetz

Der Quintenzirkel in reiner Stimmung

Ausgehend von der reinen C-Dur-Tonleiter erfolgen folgende Tonhöhenverschiebungen.
Der Übersichtlichkeit gleiche Töne untereinander. Von Zeile zu Zeile ändert sich nur ein Ton um einen Halbton oder um ein syntonisches Komma.
Ces-Dur   ces  des   ,es fes  ges  ,as  ,b    ces  des  ,es  fes ges   ,as   ,b
,es-moll  ces  des   ,es ,f   ges  ,as  ,b    ces  des  ,es  ,f  ges   ,as   ,b
Ges-Dur   ces  des   ,es ,f   ges  as   ,b    ces  des  ,es  ,f  ges   as    ,b
,b-moll   ,c   des   ,es ,f   ges  as   ,b    ,c   des  ,es  ,f  ges   as    ,b
Des-Dur   ,c   des   es  ,f   ges  as   ,b    ,c   des  es   ,f  ges   as    ,b
,f-moll   ,c   des   es  ,f   ,g   as   ,b    ,c   des  es   ,f  ,g    as    ,b
As-Dur    ,c   des   es  ,f   ,g   as   b     ,c   des  es   ,f  ,g    as    b
,c-moll   ,c   ,d   es   ,f   ,g   as   b     ,c   ,d   es   ,f  ,g    as    b
Es-Dur    ,c   ,d   es   f    ,g   as   b     ,c   ,d   es   f   ,g    as    b
,g-moll   ,c   ,d   es   f    ,g   ,a   b     ,c   ,d   es   f   ,g    ,a    b
B-dur     c    ,d   es   f    ,g   ,a   b     c    ,d   es   f   ,g    ,a    b
,d-moll   c    ,d   ,e   f    ,g   ,a   b     c    ,d   ,e   f   ,g    ,a    b
F-Dur     c    ,d   ,e   f    g    ,a   b     c    ,d   ,e   f    g    ,a    b
,a-moll   c    ,d   ,e   f    g    ,a   ,h    c    ,d   ,e   f    g    ,a   ,h

C-Dur     c    d    ,e   f    g    ,a   ,h    c    d    ,e   f    g    ,a   ,h

,e-moll   c    d    ,e   ,fis g    ,a   ,h    c    d    ,e   ,fis g    ,a   ,h
G-Dur     c    d    ,e   ,fis g     a   ,h    c    d    ,e   ,fis g    a    ,h
,h-moll   ,cis d    ,e   ,fis g     a   ,h    ,cis d    ,e   ,fis g    a    ,h
D-Dur     ,cis d    e    ,fis g     a   ,h    ,cis d    e    ,fis g    a    ,h
,fis-moll ,cis d    e    ,fis ,gis  a   ,h    ,cis d    e    ,fis ,gis a    ,h
A-Dur     ,cis d    e    ,fis ,gis  a    h    ,cis d    e    ,fis ,gis a    h
,cis-moll ,cis ,dis e    ,fis ,gis  a    h    ,cis ,dis e    ,fis ,gis a    h
E-Dur     ,cis ,dis e    fis  ,gis  a    h    ,cis ,dis e     fis ,gis a    h
,gis-moll ,cis ,dis e    fis  ,gis  ,ais h    ,cis ,dis e     fis ,gis ,ais h
H-Dur     cis  ,dis e    fis  ,gis  ,ais h    cis  ,dis e     fis ,gis ,ais h
,dis-moll cis  ,dis ,eis fis  ,gis  ,ais h    cis  ,dis ,eis  fis ,gis ,ais h
Fis-Dur   cis  ,dis ,eis fis   gis  ,ais h    cis  ,dis ,eis  fis  gis ,ais h
,ais-moll cis  ,dis ,eis fis   gis  ,ais ,his cis  ,dis ,eis  fis  gis ,ais ,his
Cis-Dur   cis  dis  ,eis fis   gis  ,ais ,his cis   dis ,eis  fis  gis ,ais ,his
Die angebenen Molltonarten sind natürlich Moll, im Gegensatz zu melodisch oder harmonisch Moll.
Chromatischer Halbton: (Veränderung von f in ,fis, c in ,cis usw. bzw von ,h in b, ,e in es u.s.w.): Frequenzverhältnis 135/128 entspricht 92,2 Cent.
Syntonisches Komma: Frequenzverhältnis 81/80 entspricht 21,5 Cent.

Die Rechnung in Cent ist einfach: Mit q=701,955 (Quinte) und t=386,314 (Terz) errechnet sich (modulo Oktave = 1200): c=0 g=q d=2q a=3q e=4q u.s.w. f=-q b=-2q es =-3q u.s.w. Mit s=21,506 (syntonisches Komma): ,c = c-s ,g=g-s ,d=d-s ... ,f=f-s ,b=,b-s ,es=es-s u.s.w.

Die Kreuz-Tonarten im Eulerschen Tonnetz

C-Dur: c(0) d(204) ,e(386) f(498) g(702) ,a(884) ,h(1088) c
G-Dur: g a(906) ,h c d ,e ,fis(590) g
D-Dur: d e(408) ,fis g a ,h ,cis(92) d
A-Dur: a h(1110) ,cis d e ,fis ,gis(794) a
E-Dur: e fis(612) ,gis a h ,cis ,dis(296) e
H-Dur: h cis(114) ,dis e fis ,gis ,ais(998) h
FIS-Dur: fis gis(816) ,ais h cis ,dis ,eis(500) fis
CIS-Dur: cis dis(318) ,eis fis gis ,ais ,his(2) cis

Die B-Tonarten im Eulerschen Tonnetz

C-Dur: c(0) d(204) ,e(386) f(498) g(702) ,a(884) ,h(1088) c
F-Dur: f g ,a b(996) c ,d(182) ,e f
B-Dur: b c ,d es(294) f ,g(680) ,a b
Es-Dur: es f ,g as(792) b ,c(-22) ,d es
As-Dur: as b ,c des(90) es ,f(477) ,g as
Des-Dur: des es ,f ges(588) as ,b(975) ,c des
Ges-Dur: ges as ,b ces(1086) des ,es(273) ,f ges
Ces-Dur: ces des ,es fes(384) ges ,as(771) ,b ces

In Reihenfolge

* * = Der Unterschied ist nur ein Schisma groß.
,c     -21,506 (=^1178,494)  ab Es-Dur
c        0     * in C-Dur
,his     1,954 * ab Cis-Dur

des     90,225 * ab As-Dur
,cis    92,179 * ab D-Dur
cis    113,685   ab H-Dur

,d     182,404   ab F-Dur
d      203,910   in C-Dur

,es    272,629   ab Ges-Dur
es     294,135 * ab B-Dur
,dis   296,089 * ab E-Dur
dis    317,595   ab Cis-Dur

fes    384,360 * ab C-es-Dur
,e     386,314 * in C-dur
e      407,820   ab D-Dur

,f     476,539   ab As-Dur
f      498,045 * in C-Dur
,eis   499,999 * ab Fis-Dur

ges    588,270 * ab Des-Dur
,fis   590,224 * ab G-Dur
fis    611,730   ab E-Dur

,g     680,449   ab B-Dur
g      701,995   in C-Dur

,as    770,674   ab Ces-Dur
as     792,180 * ab Es-Dur
,gis   794,134 * ab A-Dur
gis    815,640   ab Fis-Dur

,a     884,359   in C-Dur
a      905,865   ab G-Dur

,b     974,584   ab Des-Dur
b      996,090 * ab F-Dur
,ais   998,044 * ab H-Dur

ces   1086,315 * ab Ges-Dur
,h    1088,269 * in C-Dur
h     1109,775   ab A-Dur

c'    1200       in C-Dur


Schisma-Unterschied

Schon Andreas Werckmeister stellte fest, dass bis auf eine Genauigkeit von einem Schisma von 2 Cent die enharmonische Gleichsetzung möglich sind:
,his(2)=c(0)
,cis(92)=des(90)
,dis(296)=es(294)
,eis(500)=f(498)
,fis(590)=ges(588)
,gis(794)=as(792)
,ais(998)=b(996)

Eine Klaviatur mit 24 Tasten kann jede Tonart
von Ces-Dur bis H-Dur und von ,es-moll bis ,dis-moll
rein spielen ...

... Wenn man die Töne, die nur 2 Cent auseinander liegen, mittelt.
Rechnung in Cent mit
Oktave:            o=1200
Terz:              t=1200*log2(5/4)=386,314
Quinte:            q=1200*2(3/2)=701,955
syntonisches Komma s=1200*2(81/80)=21,506
,c=-s         =- 21,506
c=0           =   0
,his=12q-7o+,c=   1,954
des=-5q+3o    =  90,225
,cis=7q-4o+,c =  92,179
,d=2q-o+,c    = 182,404
,es=-3q+2o+,c = 272,629
es=-3q+2o     = 294,135
,dis=9q-5o+,c = 296,089
fes=-8q+5o    = 384,360
,e=4q-2o+,c   = 386,314
,f=-q+o+,c    = 476,539
f=-q+o        = 498,045
,eis=11q-6o+,c= 499,999
ges=-6q+4o    = 588,270
,fis=6q-3o+,c = 590,224
,g=q+c        = 680,449
g=q           = 701,955
,as=-4q+3o+,c = 770,674
as=-4q+3o     = 792,180
,gis=8q-4o+,c = 794,134
,a=3q-o+,c    = 884,359
,b=-2q+2o+,c  = 974,584
b=-2q+2o      = 996,090
,ais=10q-5o+,c= 998,044
ces=-7q+5o    =1086,315
,h=5q-2o+,c   =1088,269
h=5q-2o       =1109,775
Reinharmonium nach Helmholtz
Quelle:Hermann von Helmholtz
Wie man dort nachlesen kann, zeigt Helmholtz, dass man alle Moll- und Dur-Akkorde des Quintezirkels rein spielen kann. (Mit einer Einschränkung: die Durterz der Dominante einer Molltonart kann häufig nur als pythagoreische Terz gespielt werden).
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