Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
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Die Eulerschreibweise

Was Sie über die Eulerschreibweise wissen müssen:
,a (434,6 Hz) ("Tiefkomma a") bedeutet a (440 Hz) um ein syntonisches Komma erniedrigt.
'as (422,4 Hz) ("Hochkomma as) bedeutet as (417,185) um ein syntonisches Komma erhöht.
Dann sind die Intervalle f ,a eine reine große Terz und f 'as eine reine kleine Terz. (f a und f as sind pythagoreische Terzen.)

Es gibt viele Darstellungen des Eulerschen Tonnetztes.
Sich in dieses zweidimensionale Geflecht einzulesen, ist obsolet.
Für die musikalische Feinanalyse genügt die Eulerschreibweise!

Wie werden Intervalle nach Gehör intoniert? Mit dem Aufkommen der Mehrstimmigkeit in der zweiten Hälfte des 15. Jahrhunderts wird neben der Oktave und der Quinte auch die Terz rein intoniert.
In der reinen Stimmung wird das Stimmungssystem aufgebaut aus den Intervallen: Alle übrigen Intervalle sind Vielfache dieser drei Intervallen.
Wir betrachten die reine Quintenfolge:
... es(8/27) b(4/9) f(2/3) c(1) g(3/2) d(9/4) a(27/8) e(81/16) ... (In Klammer: Frequenzverhältnis zu c).
In einer Oktavlage (Die entsprechenden Frequenzverhältnisse mit Vielfachen von 2 multipliziert):
... es(32/27) b(16/9) f(4/3) c(1) g(3/2) d(9/8) a(27/16) e(81/64) ...

(Für unsere Untersuchungen genügt es, alle Töne in einfacher Oktavlage zu schreiben, also nicht e' oder e'' für das eingestrichene oder zweigestrichene e usw.)

Das Intervall ce hat hier das Frequenzverhältnis 81/64. Es handelt sich dabei um die pythagoreische Terz (diese klingt sehr rau). Wenn wir den Ton e um das syntonische Komma(81/80) zu ,e ("Tiefkomma e") erniedrigen, erhalten wir mit dem Intervall c, e(5/4) die reine Terz.

Eulersche Schreibweise

Der Ton ,e ("Tiefkomma e", das Komma "," vor e) erklingt ein syntonisches Komma tiefer als e.
In der Literatur sieht man häufig die für uns satztechnisch unbequeme Schreibweise:
e ("e unterstrichen").
-
Begündung: Wird das Intervall ce(81/64) um das syntonische Komma(81/80) erniedrigt, so muss man die Frequenzverhältnisse dividieren:
81 81   81   80   80   5 
--:-- = -- . -- = -- = -.
64 80   64   81   64   4
Man erhält so das Intervall der reinen Terz c, e(5/4).

Beachte: c ,e ist das Intervall von c nach ,e ("Tiefkomma e").

Alles, was Sie über die Eulersche Schreibweise wissen müssen:
Reine Quinten im Quintenzirkel: ... es b f c g d a e ...
Ein Terzkomma tiefer ... ,es ,b ,c ,g ,d ,a ,e ... (Tiefkomma vor der Tonbezeichnung)
Ein Terzkomma höher ... 'es 'b 'c 'g 'd 'a 'e ... (Hochkomma vor der Tonbezeichnung).

(In der Literatur wird dieser Sachverhalt oft zweidimensional als "Eulersches Tonnetz" dargestellt. Dies ist oft verwirrend und nicht mehr notwendig, wenn wir die Eulersche Schreibweise verwenden.)


Beispiel: Die reine C-Dur-Tonleiter lautet: c d ,e f g ,a ,h c.
Beispiel: Die reine c-moll-Tonleiter lautet: c d 'es f g 'as 'b c.
Beispiel: Die melodische a-moll-Tonleiter lautet ,a ,h c ,d e ,,fis ,,gis ,a.
Beachte: Reine Terzen sind c ,e oder ,c ,,e oder es ,g oder 'es g oder d ,fis oder ,d ,,fis usw.

Beispiel: Die A-Dur-Kadenz in Eulerschreibweise

A-Durkadenz
 Akkorde (vertikal)
 a    a  ,gis a 
 e   ,fis e   e
,cis  d   h  ,cis 
 a    d   e  a
Spiele A-Dur-Kadenz
Die A-Dur-Tonleiter schreibt sich nämlich: a h ,cis d e ,fis ,gis a

Modulationen

Vergleicht man in der Eulerschreibweise
C-Dur c d ,e f g ,a ,h c mit
G-Dur g a ,h c d ,e ,fis g oder
F-Dur f g ,a b c ,d ,e f, so sieht man:
Bei der Modulation in die Dominante ändern sich zwei Töne, einer im Notenbild sichtbar um einen Halbton (hier: f in ,fis), einer um ein syntonisches Komma (hier: ,a in a).
Modulation von C-Dur nach G-Dur Spiele Modulation von C-Dur nach G-Dur
Im Streichquartett spielt die 1. Violine das zweite a ein syntonisches Komma höher. Ein Violinspieler weiss, dass er hier nicht die A-Saite zwei Mal spielen kann. Er muß das zweite a "expressiv" in Lage spielen.
Im Allgemeinen intoniert ein guter A-capella-Chor die Intervalle auch in einer solchen Situation rein.



Bei der Modulation in die Subdominante ändern sich entsprechend zwei Töne, einer im Notenbild sichtbar um einen Halbton (hier: ,h in b), einer um ein syntonisches Komma (hier: d in ,d).

Weiterlesen: Der Quintenzirkel in reiner Stimmung

Der Akkord der zweiten Stufe

Hier sieht man sehr schön, wie erhellend die Eulerschreibweise ist.

Betrachten wir C-Dur c d ,e f g ,a ,h c Lassen wir einmal die verminderte Quinte ,h f außer Acht, so sind alle Quinten der C-Dur-Tonleiter c g und ,e ,h und f c und g d und ,a ,e rein bis auf eine Ausnahme: Die Quinte d ,a ist in C-Dur unrein. Das d ist um ein syntonisches Komma zu hoch. Wenn ich d erniedrige zum ,d der a-moll-Tonleiter oder F-Dur-Tonleiter wird die Quinte ,d ,a rein.
Hören Sie selbst: Zuerst d ,a (rau klingende Schwebungen) und dann ,d ,a (Ohne Schwebungen):
d1a1.gif Spiele d,a in C-Dur und ,d,a in F-Dur
In der Kadenz Akkord der 2. Stufe ist der 3. Akkord f ,a ,d F-Dur zuzuordnen, der 4. Akkord g h d dagegen wieder als Dominante von C-Dur.
Spiele:
Man hört: Im 4. Akkord ist d höher (expressiver) als das ,d im 3. Akkord

Als Chorleiter muß man darauf achten, dass das d im 4. Akkord, das im Akkord zuvor um ein Komma als ,d tiefer intoniert wurde, ein höheres d ist. Der Sopran muss im 4. Akkord das d als reine Quinte zu g intonieren. Wenn man in einem Chor, der auf einander hört, darauf hinweist, wird richtig intoniert. Mit einem Sopran, der stur die Tonhöhe von ,d hält, tappt in die Kommafalle.

Für Mathematiker

Wie berechnen sich die Frequenverhältnisse, oder besser die Differenz zu c in Cent der
C-Dur-Tonleiter c d ,e f g ,a ,h c und der
c-Moll-Tonleiter c d 'es f g 'as 'b c
erweitert um weitere chromatische Töne so, dass die Intervalle c 'des sowie ,cis d usw. diatonische Halbtöne (Frequenzverhältnis 16/15) sind.
Mit der Eulerschreibweise ist dies leicht durchzuführen.
Zunächst: Die Quintenkette
ces ges des as  es  b   f   c
 -7  -6  -5 -4  -3 -2  -1   0
c   g   d   a   e   h   fis cis gis dis ais eis his 
0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10  11  12
Das Frequenzverhältbis von c zu as ist zum Beispiel (2/4)-4 = 16/81, drei mal oktaviert 128/81, der Abstand 1200*lb(128/81) Cent = 792,18 Cent, das Frequenzverhältnis von c zu 'as entsprechend 128/81*81/80 = 8/5 (kleine Sext), der Abstand 813,69 Cent.
Mit o = 1200 Cent (Oktave), q = 1200*lb(3/2) Cent = 701,96 Cent (Quinte) und k = 1200*lb(81/80) = 21,51 Cent (synthonische Komma), berechnet sich (siehe Rechenschema):
pythagoreisch

c(0) 

cis(113,69)  Unterschied
des(90,22)   pyth. Komma 
   
d(203,91) 

dis(317,60) 
es(294,13)   pyth. Komma

e(407,82) 
fes(384,36)  pyth. Komma

eis(521,51) 
f(498,04)    pyth. Komma

fis(611,73) 
ges(588,27)  pyth. Komma

g(701,96) 

gis(815,64) 
as(792,18)    pyth. Komma

a(905,87) 

ais(1019,55) 
b(996,09)    pyth. Komma

h(1109,78) 
ces(1086,31) pyth. Komma

his(1223,46) 
c(1200)      pyth. Komma
Rein

c(0) 

,cis(92,18) 
'des(111,73) 

d(203,91) 

,,dis(274,58) 
'es(315,64) 

,e(386,31) 
''fes(427,37) 

,,eis(478,49)
f(498,04) 

,fis(590,22) 
'ges(609,78)

g(701,96) 

,,gis(772,63) 
'as(813,69) 

,a(884,36) 

,,ais(976,54) 
'b(1017,60) 

,h(1088,27)  
''ces(1129,33) 

,,his(1180,45) 
c(1200)
Intervall

Prim

gr. chrom. Halbton
diatonischer Halbton 

gr. Ganzton 

überm. Sekunde
kl. Terz 

gr. Terz
verm. Quarte 

gr. überm. Terz
Quarte 

überm. Quarte
kl. verm. Quinte

Quinte

kl. überm. Quinte
kl. Sext 

gr. Sext 

gr. überm. Sext
gr. kl. Septime 

gr. Septime
gr. verm. Oktave 

gr. überm. Septime
Oktave
gleich-
stufig
0

100
100 

200 

300
300 

400
400 

500
500 

600
600

700

800
800 

900 

1000
1000 

1100
1100 

1200
1200

Rechenschema für Rechenblatt

Das "Rechnblatt ist in TTMathe integriert.
o=1200
q=1200*lb(3/2)

c=0

cis=7q-4o
des=-5q+3o

d=2q-o

dis=9q-5o
es=-3q+2o

e=4q-2o
fes=-8q+5o

eis=11q-6o
f=-q+o

fis=6q-3o
ges=-6q+4o

g=q

gis=8q-4o
as=-4q+3o

a=3q-o

ais=10q-5o
b=-2q+2o

h=5q-2o
ces=-7q+5o

his=12q-7o
c=o

o=1200 q=1200*lb(3/2) k=1200*lb(81/80) (Mit cis=7q-4o-k berechnet sich ,cis usw.) c=0 cis=7q-4o-k des=-5q+3o+k d=2q-o dis=9q-5o-2k es=-3q+2o+k e=4q-2o-k fes=-8q+5o+2k eis=11q-6o-2k f=-q+o fis=6q-3o-k ges=-6q+4o+k g=q gis=8q-4o-2k as=-4q+3o+k a=3q-o-k ais=10q-5o-2k b=-2q+2o+k h=5q-2o-k ces=-7q+5o+2k his=12q-6o-2k c=o

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