Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
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Die Teilung der Oktave in 53 Tonstufen

Hermann von Helmholtz schreibt in seiner Lehre von den Tonempfindungen auf Seite 531 folgendes:
Will man eine Scala in fast genauer natürlicher Stimmung herstellen, welche unbegrenzt fortzumodulieren gestattet, ... so lässt sich dies durch die schon von [Nikolaus?] Mercator vorgeschlagene Teilung der Octave in 53 gleich große Intervalle erreichen. Eine solche Stimmung hat neuerdings Herr Bosanquet für ein Harmonium mit symmetrisch angeordneter Tastatur benutzt. [An elementary Treatease on Musical Intervals and Temperament by. R.H.M. Bosanquet, Lonon. Macmillan 1875].
Die Annäherungen der Oktave durch Quinten (12 Quinten entspricht ungefähr 7 Oktaven) führte zur gleichstufigen Temperierung durch Teilung der Oktave in 12 gleiche Intervalle. Sie hat den Nachteil sehr rauer Großterzen.
Die nächste Annäherung (41 Quinten entspricht ungefähr 24 Oktaven) ist für eine gleichstufige Unterteilung der Oktave in 41 Teile ungeeignet, da die große Terz zu ungenau und - vor allem - die Verrückungen um ein syntonisches Komma noch hörbare Unreinheiten ergibt.
Die nächste Annäherung der Oktave (53 Quinten entspricht fast genau 31 Oktaven) hat einen überzeugenden Vorteil. Teilt man die Oktave in 53 gleiche Intervalle so entspricht die 31. Stufe (701,887 Cent) sehr genau der reinen Quinte (701,955 Cent) und - das ist besonders wichtig und so nicht zu erwarten die 17. Stufe (384,906 Cent) der Großterz (386,314 Cent) und die Verrückung um ein syntonisches Komma (21,506 Cent) um fast genau eine Stufe (22,642 Cent) dieser Temperierung.
Dies wird im folgendem untersucht. Dabei beachte man die schismatische und die (nur für die Theorie bedeutsame) kleismatische Verwechslung.

Schismatische Verwechslung

Jede Tonleiter im Quintenzirkel kann rein gespielt werden kann, wobei Abweichungen in der Größenordnung einen Schismas von 2 Cent, die unser Gehör nicht wahrnehmen kann, toleriert werden.
Andreas Werckmeister („Musicalische Temperatur“, Quedlinburg 1691) erkannte nämlich dass man folgende Töne, die sich nur um ein Schisma unterscheiden, gleichsetzten kann: ,his=c und 'des=cis und ,dis=es usw. (siehe Tabelle unten)

Kleismatische Verwechslung

Die Kleismatische Verwechslung führte Tanaka (Nachmame) Shohel (Vorname) in seiner Dissertation ein, indem er sämtliche theoretisch mögliche Modulationen betrachtete und zum Beispiel zeigte, dass '''fes=,,,eis ist wenn man den Fehler des Kleismas toleriert. (Genau: '''fes=448,89 Cent, ,,,eis=456,99 Cent, Kleisma=8,11 Cent).
Weitere kleismatische Verwechslungen wären '''ges=,,,fisis, '''ces=,,,his, '''fes=,,,eis, '''bb=,,,ais, ''b=,,,,aisisi, ''es=,,,,disis, ''as=,,,,gisisi, ''de=,,,,cisis, ''ges=,,,,fisis.
Tanaka zeigte, indem er sämtliche theoretisch mögliche Modulationen betrachtete und zeigte, dass die 53-stufige Stimmung die einzige gleichstufige Stimmung mit dieser Eigenschaft ist, sowohl Schisma als auch Kleisma zu temperieren.
Man beachte
Ein Stufenschritt des 53-stufigen Stimmung unterscheidet sich vom pythagoreischen und syntonischen Komma nur unmerklich. Genaue Werte:
Stufenschritt der 53-Skala = 22,64 Cent
pythagoreisches Komma = 23,46 Cent
syntonisches Komma =51,51 Cent
Schisma = pythagoreisches Komma - syntonisches Komma = 1,95 Cent.

In der fogenden Tabelle bedeutet:
AA=Die Tonstufen in der Teilung der Oktave in 53 Tonstufen
BB=Der Tonabstand zum Ton c in Cent
CC=Vergleich der Tonstufen mit Tönen, dargestellt in der Eulerschen Schreibweise.
AA BB CC
00 0 c=0 ,his=2
01 23 his=23
02 45  
03 68 ,,cis=71
04 91 des=90 ,cis=92
05 113 'des=112 cis=114
06 136 ''des=133
07 158  
08 181 ,d=182 ,,cisis=184
09 204 d=204 ,cisis=206
10 226 cisis=227  
11 249  
12 272 ,es=273 ,,dis275
13 294 es=294 ,dis=296
14 317 'es=316 dis=318
15 340 ''es=337
16 362  
17 385 fes=384 ,e=386
18 408 'fes=406 e=408
19 430  
20 453  
21 475 ,f=477 ,,eis=478
22 498 f=498 ,eis=500
23 521 eis=522
24 543  
25 566 ,,fis=569
26 589 ges=588 ,fis=590
27 611 'ges=609 fis=612
28 634  
29 657  
30 679 ,g=680 ,,fisis=682
31 702 g=702 ,fisis=704
32 725 fisis=725  
33 747  
34 770 ,as=771 ,,gis=772
35 792 as=792 ,gis=794
36 815 'as=814 gis=816
37 838 ''as=835
38 860  
39 883 ,a=884
40 906 a=906
41 928 gisis=929  
42 951  
43 974 ,b=975 ,,ais=976
44 996 b=996 ,ais=998
45 1019 'b=1018 ais=1020
46 1042  
47 1064  
48 1087 ces=1086 ,h=1088
49 1109 'ces=1108 h=1110
50 1132  
51 1155  
52 1177 ,c=1178 ,,his1180
53 1200 c=1200
Man sieht: Jede Tonleiter des Quintenzirkels kann rein gespielt werden.
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