Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
Vergleiche auch Die Eulerschreibweise.

Siehe dazu auch die Einteilung der Oktave in 53 Tonstufen


Der Quintenzirkel in reiner Stimmung

Ausgehend von der reinen C-Dur-Tonleiter erfolgen folgende Tonhöhenverschiebungen.
Der Übersichtlichkeit gleiche Töne untereinander. Von Zeile zu Zeile ändert sich nur ein Ton um einen Halbton oder um ein syntonisches Komma.
Ces-Dur   ces  des   ,es fes  ges  ,as  ,b    ces  des  ,es  fes ges   ,as   ,b
,es-moll  ces  des   ,es ,f   ges  ,as  ,b    ces  des  ,es  ,f  ges   ,as   ,b
Ges-Dur   ces  des   ,es ,f   ges  as   ,b    ces  des  ,es  ,f  ges   as    ,b
,b-moll   ,c   des   ,es ,f   ges  as   ,b    ,c   des  ,es  ,f  ges   as    ,b
Des-Dur   ,c   des   es  ,f   ges  as   ,b    ,c   des  es   ,f  ges   as    ,b
,f-moll   ,c   des   es  ,f   ,g   as   ,b    ,c   des  es   ,f  ,g    as    ,b
As-Dur    ,c   des   es  ,f   ,g   as   b     ,c   des  es   ,f  ,g    as    b
,c-moll   ,c   ,d   es   ,f   ,g   as   b     ,c   ,d   es   ,f  ,g    as    b
Es-Dur    ,c   ,d   es   f    ,g   as   b     ,c   ,d   es   f   ,g    as    b
,g-moll   ,c   ,d   es   f    ,g   ,a   b     ,c   ,d   es   f   ,g    ,a    b
B-dur     c    ,d   es   f    ,g   ,a   b     c    ,d   es   f   ,g    ,a    b
,d-moll   c    ,d   ,e   f    ,g   ,a   b     c    ,d   ,e   f   ,g    ,a    b
F-Dur     c    ,d   ,e   f    g    ,a   b     c    ,d   ,e   f    g    ,a    b
,a-moll   c    ,d   ,e   f    g    ,a   ,h    c    ,d   ,e   f    g    ,a   ,h

C-Dur     c    d    ,e   f    g    ,a   ,h    c    d    ,e   f    g    ,a   ,h

,e-moll   c    d    ,e   ,fis g    ,a   ,h    c    d    ,e   ,fis g    ,a   ,h
G-Dur     c    d    ,e   ,fis g     a   ,h    c    d    ,e   ,fis g    a    ,h
,h-moll   ,cis d    ,e   ,fis g     a   ,h    ,cis d    ,e   ,fis g    a    ,h
D-Dur     ,cis d    e    ,fis g     a   ,h    ,cis d    e    ,fis g    a    ,h
,fis-moll ,cis d    e    ,fis ,gis  a   ,h    ,cis d    e    ,fis ,gis a    ,h
A-Dur     ,cis d    e    ,fis ,gis  a    h    ,cis d    e    ,fis ,gis a    h
,cis-moll ,cis ,dis e    ,fis ,gis  a    h    ,cis ,dis e    ,fis ,gis a    h
E-Dur     ,cis ,dis e    fis  ,gis  a    h    ,cis ,dis e     fis ,gis a    h
,gis-moll ,cis ,dis e    fis  ,gis  ,ais h    ,cis ,dis e     fis ,gis ,ais h
H-Dur     cis  ,dis e    fis  ,gis  ,ais h    cis  ,dis e     fis ,gis ,ais h
,dis-moll cis  ,dis ,eis fis  ,gis  ,ais h    cis  ,dis ,eis  fis ,gis ,ais h
Fis-Dur   cis  ,dis ,eis fis   gis  ,ais h    cis  ,dis ,eis  fis  gis ,ais h
,ais-moll cis  ,dis ,eis fis   gis  ,ais ,his cis  ,dis ,eis  fis  gis ,ais ,his
Cis-Dur   cis  dis  ,eis fis   gis  ,ais ,his cis   dis ,eis  fis  gis ,ais ,his
Die angegebenen Molltonarten sind natürlich Moll. (In harmonisch Moll sind noch die 6. und 7. Stufe zu betrachten. Bei ,es-Moll ,,c und ,,d, bei ,b-Moll ,,g und ,,a, bei ,f-Moll ,,d und ,,e, bei ,c-Moll ,,a und ,,h, bei ,g-Moll ,,e und ,,fis, bei ,d-Moll ,,h und ,,cis, bei ,a-Moll ,,fis und ,,gis, bei ,e-Moll ,,cis und ,,dis, bei ,h-Moll ,,gis und ,,ais, bei ,fis-Moll ,,dis und ,,eis, bei ,cis-Moll ,,ais und ,,his, bei ,gis-Moll ,,eis und ,,fisis, bei ,dis-Moll ,,his und ,,cisis, bei ,ais-Moll ,,fisis und ,,gisis.)
Chromatischer Halbton: (Veränderung von f in ,fis, c in ,cis usw. bzw von ,h in b, ,e in es u.s.w.): Frequenzverhältnis 135/128 entspricht 92,2 Cent.
Syntonisches Komma: Frequenzverhältnis 81/80 entspricht 21,5 Cent.

Die Rechnung in Cent ist einfach: Mit q=701,955 (Quinte) und t=386,314 (Terz) errechnet sich (modulo Oktave = 1200): c=0 g=q d=2q a=3q e=4q u.s.w. f=-q b=-2q es =-3q u.s.w. Mit s=21,506 (syntonisches Komma): ,c = c-s ,g=g-s ,d=d-s ... ,f=f-s ,b=,b-s ,es=es-s u.s.w.

Die Kreuz-Tonarten im Eulerschen Tonnetz

C-Dur: c(0) d(204) ,e(386) f(498) g(702) ,a(884) ,h(1088) c
G-Dur: g a(906) ,h c d ,e ,fis(590) g
D-Dur: d e(408) ,fis g a ,h ,cis(92) d
A-Dur: a h(1110) ,cis d e ,fis ,gis(794) a
E-Dur: e fis(612) ,gis a h ,cis ,dis(296) e
H-Dur: h cis(114) ,dis e fis ,gis ,ais(998) h
FIS-Dur: fis gis(816) ,ais h cis ,dis ,eis(500) fis
CIS-Dur: cis dis(318) ,eis fis gis ,ais ,his(2) cis

Die B-Tonarten im Eulerschen Tonnetz

C-Dur: c(0) d(204) ,e(386) f(498) g(702) ,a(884) ,h(1088) c
F-Dur: f g ,a b(996) c ,d(182) ,e f
B-Dur: b c ,d es(294) f ,g(680) ,a b
Es-Dur: es f ,g as(792) b ,c(-22) ,d es
As-Dur: as b ,c des(90) es ,f(477) ,g as
Des-Dur: des es ,f ges(588) as ,b(975) ,c des
Ges-Dur: ges as ,b ces(1086) des ,es(273) ,f ges
Ces-Dur: ces des ,es fes(384) ges ,as(771) ,b ces

In Reihenfolge

* * = Der Unterschied ist nur ein Schisma groß.
c         0     * in C-Dur
,his      1,954 * ab Cis-Dur

,,cis    70,672   ab ,e-Moll
des      90,225 * ab As-Dur
,cis     92,179 * ab D-Dur
cis     113,685   ab H-Dur

,,d     160,897   ab ,f-Moll
,d      182,404   ab F-Dur
d       203,910   in C-Dur

,es     272,629 * ab Ges-Dur
,,dis   274,582 * ab ,fis-Moll
es      294,135 * ab B-Dur
,dis    296,089 * ab E-Dur
dis     317,595   ab Cis-Dur

,,e     364,807   ab ,g-Moll
fes     384,360 * ab Ces-Dur
,e      386,314 * in C-dur
e       407,820   ab D-Dur

,f      476,539 * ab As-Dur
,,eis   478,492 * ab ,gis-Moll
f       498,045 * in C-Dur
,eis    499,999 * ab Fis-Dur

,,fis   568,717   ab ,a-Moll
ges     588,270 * ab Des-Dur
,fis    590,224 * ab G-Dur
fis     611,730   ab E-Dur

,,g     658,942   ab ,b-Moll
,g      680,449 * ab B-Dur
,,fisis 682,402 * ab ,ais-Moll
g       701,995   in C-Dur

,as     770,674 * ab Ces-Dur
,,gis   772,627 * ab ,h-Moll
as      792,180 * ab Es-Dur
,gis    794,134 * ab A-Dur
gis     815,640   ab Fis-Dur

,,a     862,852   ab ,c-Moll
,a      884,359 * in C-Dur
,,gisis 886,312 * ab ,ais-Moll
a       905,865   ab G-Dur

,b      974,584 * ab Des-Dur
,,ais   976,537 * ab ,cis-Moll
b       996,090 * ab F-Dur
,ais    998,044 * ab H-Dur

,,h    1066,762   ab ,d-Moll
ces    1086,315 * ab Ges-Dur
,h     1088,269 * in C-Dur
h      1109,775   ab A-Dur

,,c    1156,987   ab ,es-Moll
,c     1178,494 * ab Es-Dur
,,his  1180,447 * ab ,dis-Moll
c'     1200,000   in C-Dur

Schisma-Unterschied

Schon Andreas Werckmeister stellte fest, dass bis auf eine Genauigkeit von einem Schisma von 2 Cent die enharmonische Gleichsetzung möglich sind: ,his(2)=c(0) und ,cis(92)=des(90) usw.
Bisher haben wir nur die quintverwandten Tonarten betrachtet. Bei terzverwanden Tonarten verschieben sich die Töne um ein Komma.
Beispiel
C-Dur     c    d    ,e   f    g    ,a   ,h    c    d    ,e   
c-Moll    c    d    'es  f    g    'as  'b    c    d    'es 
'Es-Dur             'es 'f    g    'as  'b    c    d    'es

a-Moll    a    h    'c   d    e    'f   'g    a    h    'c
'C-Dur              'c  'd    e    'f   'g    a    h    'c

Eine Klaviatur mit 24 Tasten kann jede Tonart
von Ces-Dur bis H-Dur und von ,es-moll bis ,dis-moll
rein spielen ...

... Wenn man die Töne, die nur 2 Cent auseinander liegen, mittelt.
Rechnung in Cent mit
Oktave:            o=1200
Terz:              t=1200*log2(5/4)=386,314
Quinte:            q=1200*2(3/2)=701,955
syntonisches Komma s=1200*2(81/80)=21,506
,c=-s         =- 21,506
c=0           =   0
,his=12q-7o+,c=   1,954
des=-5q+3o    =  90,225
,cis=7q-4o+,c =  92,179
,d=2q-o+,c    = 182,404
,es=-3q+2o+,c = 272,629
es=-3q+2o     = 294,135
,dis=9q-5o+,c = 296,089
fes=-8q+5o    = 384,360
,e=4q-2o+,c   = 386,314
,f=-q+o+,c    = 476,539
f=-q+o        = 498,045
,eis=11q-6o+,c= 499,999
ges=-6q+4o    = 588,270
,fis=6q-3o+,c = 590,224
,g=q+c        = 680,449
g=q           = 701,955
,as=-4q+3o+,c = 770,674
as=-4q+3o     = 792,180
,gis=8q-4o+,c = 794,134
,a=3q-o+,c    = 884,359
,b=-2q+2o+,c  = 974,584
b=-2q+2o      = 996,090
,ais=10q-5o+,c= 998,044
ces=-7q+5o    =1086,315
,h=5q-2o+,c   =1088,269
h=5q-2o       =1109,775
Reinharmonium nach Helmholtz
Quelle:Hermann von Helmholtz
Wie man dort nachlesen kann, zeigt Helmholtz, dass man alle Moll- und Dur-Akkorde des Quintezirkels rein spielen kann. (Mit einer Einschränkung: die Durterz der Dominante einer Molltonart kann häufig nur als pythagoreische Terz gespielt werden).
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