Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem.

Quellen und Studien zur Musikgeschichte von der Antike bis in die Gegenwart Nr.9
Verlag Peter Lang. Frankfurth a.M · Bern · New York 1986

Excerpt - Aristoxenos betreffend

S. 64/65 Aristoxenos kritisiert die Zurückführung der Intervalle auf Bewegungen der Luft und auf Zahlenverhältnisse aufs schärfste und tadelt sie als spekulativen Ersatz für vermeintlich unexakte sinnliche Wahrnehmung, ferner die Zurückführung auf Instrumente als unzuverlässig.

Er dagegen baut seine Theorie streng auf Hörerfahrung auf. Schließlich legt er größten Wert darauf, den Aufbau des Tonsystems lückenlos zu beschreiben, und zwar mit axiomatischer Begründung und Beweis.

S.66 Der Tonbegriff [den Aristoxenos auf den Anspannungsvorgang der Stimme zurückführt] muss man formal als undefinierten Grundbegriff vestehen.

Das erste Axiom lautet:

Gegeben ist eine Menge von Tönen, die mit dem Komparativ 'höher' und seinem Gegenteil 'tiefer' verglichen werden.

Von zwei verschiedenen Tönen ist eine höher als der andere.


S. 67 Für Intervalle können wir mit dem tieferen Grenzton t1 und dem höheren Grenzton t1 die übliche Schreibweise [t1,t2] verwenden.

S.68-74 zusammengefasst: Intervalle kann man addieren und subtrahieren und bezügliche ihrer Größe gelten die üblichen Gesetzte.

Nach den Grundintervallen Oktave und Quinte definiert Aristoxenos [in moderner Formulierung]
Quarte = Oktave - Quinte
Ganzton = Quinte - Quarte
Ditonos = 2 Ganztöne
Das Intervall i ist 1/n·Ganzton, wenn n·i=Ganzton
Halbton = 1/2·Ganzton
Drittelton = 1/3·Ganzton als die kleinste chromatische Diesis
Viertelton = 1/4·Ganzton als die kleinst chromatische Diesis

S.75 Gleich nach der Einführung dieser Intervallgrößen findet sich die Aussage, dass es kein kleinstes Intervall gibt. Das ergibt sich noch nicht aus den bisherigen Axiomen, denn dann kämen wir höchstens bis zum Zwölftelton, der Differenz des Drittel- und Vierteltons.
Er fordert:
Zu jeder ganzen Zahl n, die größer als 1 ist, gibt es den n-ten Teil des Ganztones.
... Daher stellt sich Aristoxenos die Frage, ob die Quarte von einem Teile des Ganztones gemessen werden kann oder ob sie mit ihnen inkommensurabel ist.
Seine Frage beantwortet er dann mit einem Erfahrungswert, als Axiom (S.79)formuliert:
Die Quarte besteht aus zweieinhalb Ganztönen.


S.77 Ein Intervall ist singbar, das nicht größer als die Doppeloktave+Quinte und nicht kleiner als ein Viertelton ist.

Aristoxenos kommt aber auch auf einen rein mathematischen Bestimmbarkeitsbegriff zu sprechen, bei dem Intervalle nicht singbar sein müssen; nachdem sich die Konsonanzen [Quarte, Quinte, Oktave, Oktave+ Quarte ...] als kommensurabel mit dem Ganzton zeigten, wären die mathematisch bestimmbaren Intervallgrößen die rationalen Vielfachen des Ganztons, wie sich auch durch das von Aristoxenos gegebene Beispiel, den Zwölftelton bestätigt.

S.78 Aristoxenos ist sich bewusst, dass er mathematische Mittel einsetzt, die die musikalische Erfahrung idealisieren, wenn er kleinere Intervallgrößen als den Viertelton gebraucht, welche nicht melodisch sondern nur mathematisch bestimmbar

Für Intervalle, die kleiner als ein Halbton sind, etwa der Drittelton hat Aristoxenos keine Methode zur praktischen Bestimmung.

S.80 Aristoxenos hörpsychologischer Beweis für das Axiom Quarte = Zweieinhalb Ganztöne ist folgender:
Geht man von einem Ton
eine Quarte höher und einen Ditonos tiefer
eine Quarte höher und einen Ditonos tiefer
eine Quarte höher , so erhält man denselben Ton, wie wenn man von dem Anfangston
eine Quinte höher geht.
[Nach moderner Rechnung hat er sich um das pythagoreische Komma "verhört". ]

Jedem, der eine gewissen Kenntnis vom praktischen Stimmen besitzt, ist bekannt, dass die Quarte mit dieser Messung von zweieinhalb Ganztönen nicht genau erfasst wird. Das ist bereits in der Antike bekannt gewesen und hat ihm scharfe Kritik eingebracht.

Erst sehr viel später, im Zusammenhang mit der gleichmäßigen 12-stufigen Temperatur, bei der die Oktave auch in 12 Halbtöne geteilt wird und die Quarte auch zweieinhalb Ganztöne misst, wurde sein Ansatz wieder aktuell.

Aus diesen Anfängen entwickelte sich dann im 19. Jahrhundert ein historisches Missverständnis: Aristoxenos wurde der prophetische Gewährsmann für die gleichschwebende Temperatur.

S. 81 Diese Ansicht ist natürlich ein gründliches Missverständnis. ... Einerseits nämlich hat die Teilung der Oktave in zwölf Halbtönen, die von ihm selbst nirgendwo erwähnt wird, mit den Tönen eines Oktavintervalls nichts zu tun, sondern sie bezieht sich auf die Oktave als Größe und ist eine von unendlich vielen Teilungsmöglichkeiten... Wenn man aber nur seine melodischen Tonleitern im Auge hat, dann findet man - das werden wir später sehen - nur Oktavintervalle, welche aus sieben verschiedenen großen Intervallen zusammengesetzt sind, und solche wieder in unendlicher Anzahl. ... Untersucht man ferner, ob bei ihm Töne oder Intervalle bewusst verstimmt sind, wie das bei einer Temperatur der Fall ist, dann stellt man fest, dass davon nirgends die Rede ist. Allem nach scheint er also bei seinen Konsonanten an reine Intervalle zu denken.

Excerpt - Die "Teilung des Kanons" betreffend

S.111ff Die ersten Tonsystemdarstellungen aus der pythagoreischen Tradition finder man kurz nach Aristoxenos um 300 vor Christus bei der "Teilung des Kanons" von Euklid.
Intervallen werden Proportionen zugeordnet (in moderner physikalischer Auffassung sind dies die Frequenzverhältnisse). Folgerungen: Damit lehnt er den Standpunkt des Aristoxenos, dass ide Quarte zweieinhalb Ganztöne mißt, ab.
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