Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
Gute Chöre oder Orchestermusiker intonieren die Akkorde rein, vor allem die Quinten und Terzen in den Kadenzen. Bei den 12-stufigen Tasteninstrumenten gibt es das Problem, dass die feinen Veränderungen um ein Komma nicht verwirklicht werden können. Schon früh mit dem Aufkommen der Mehrstimmigkeit befasste man sich mit diesem Problem und änderte die Stimmung von Orgeln, Spinetten usw. von der pythagoreischen Stimmung in die mitteltönige Stimmung. Ein sehr guter Kompromiss, der sich bewährte, solange man nicht in alle Tonarten des Quintenzirkels modulierte.
Inhaltsverzeichnis

mitteltönig und wohltemperiert

Die mitteltönige Stimmung

1619 schreibt Michael Praetorius, „wie man ein Regal, Clavicymbel, Symphonien und dergleichen Instrument vor sich selbst accomodiren und rein stimmen könne.“
Hier beschreibt er das Prinzip der mitteltönigen Stimmung: Vier Quinten etwas zu klein, so dass die entstehende Terz oktaviert rein erklingt. Die restlichen Töne werden als reine Terzen eingestimmt. Diese Stimmung war aufgrund ihrer einfachen Ausführbarkeit im 16. und 17. Jahrhundert und darüber hinaus sehr weit verbreitet. Die "unreinen" Quinten erkennt man an den für die mitteltönige Stimmung typischen Schwebungen. Dieses "Vibrato" ist durchaus tolerierbar im Gegensatz zu den rauen Terzen der gleichstufigen Stimmung.
Die mitteltönigen Quinten
spiele die vier mitteltönige Quinten c-.g / .g-..d / ..d-...a und ...a-,e und die reine Terz c-,e. Notation .x ("Tiefunkt x" = x um 1/4 Komma erniedrigt): Siehe unten.
Man stimmt also vier aufeinanderfolgende Quinten um 1/4 syntonisches Komma zu tief. Die restlichen 7 Töne der 12-stufigen Tastatur stimmte man dann mit reinen Terzen und Oktaven.
Der Nachteil der mitteltönigen Stimmung sind die schrecklich klingenden "Wolfsquinten" und "Wolfsterzen". Zum Beispiel kann die Quinte as-es nur als vermindert Sexte gis-es und die Terz cis-eis nur als verminderte Quarte cis-f auf der Tastatur gegriffen werden ... es sei denn, und das wurde auch versucht, mehr als 12 Tasten in die Tastatur einzufügen.
Bei der mitteltönigen Stimmung mit Cis, Es, Fis, Gis und B auf den schwarzen Tasten sind immerhin folgende Tonleitern spielbar:
B-Dur: B C D Es F G A B
F-Dur: F G A B C D E F
C-Dur: C D E F G A H C
G-Dur: G A H C D E Fis G
D-Dur: D E Fis G A H Cis D
A-Dur: A H Cis D E Fis Gis A
Bei Es-Dur fehlt das As, bei E-Dur das Dis.
g-Moll: G A B D Es/E F/Fis G
d-Moll: D E F G A B/H C/Cis D
a-Moll: A H C D E F/Fis G/gis A
Bei c-moll fehlt das As, bei e-Moll das Dis.
Diese Akkorde wurden in der Lasso-Palestrina-Lechner-Cavelieri-Zeit (um 1600) voll ausgeschöpft, aber ganz selten zum Beispiel der As-Dur- oder der f-Moll-Dreiklang.
Hörbeispiel: Kadenzen F-Dur und As-Dur
Kadenzen f-Dur As-Dur
In mitteltöniger Stimmung wird statt As und Des
das um 41 Cent tiefere Gis bzw. Cis gespielt.
Spiele F-Dur und As-Dur

mitteltönig
Um diesen Nachteil auszugleichen, veränderte man die Stimmung auf Kosten der reinen Terz in C-Dur-fernen Tonarten. Es gibt unzählige Variationen dieser wohltemperierten Stimmungen. Dadurch bekamen die Tonarten verschiedenartige Färbungen, als Tonartencharakteristik bezeichnet.

wohltemperiert ("Werkmeister III" siehe unten)

Weiter: Hörbeispiele und Lektion 8

Erweiterte Eulerschreibweise

Nach Jochim Mohr

Die ersten 4 Quinten c g d a e werden bei der mitteltönigen Stimmung um 1/4 (synthonisches) Komma erniedrigt. Dafür schreibe ich
c .g ..d ...a ,e (Tiefpunkt bedeutet: 1/4 Komma tiefer. Dann ist ....e=,e siehe Eulerschreibweise)
Die übrigen Töne der 12-Tastatur sind durch reine Terzen festgelegt:
..d-..,fis / °°°es-.g / ,e-,,gis / °f-...a / .g-.,h / ...a-...,cis und °°b-..d
(Hochpunkt °cis bedeutet cis 1/4-Komma höher)

Damit sind die 12 Töne einer Tastatur festgelegt.
  ...,cis        °°°es           ..,fis     ,,gis       °°b
c          ..d         ,e    °f         .g        ...a       .,h   c
Im Quintenzirkel sind es die 12 Töne:

°°°es °°b °f c .g ..d ...a ,e .,h ..,fis ...,cis ,,gis

Enharmonische Verwechslungen
..,fis statt °°'ges oder
...,cis statt °'des oder
,,gis statt 'as oder
.,,dis statt °°°es oder
..,,ais statt °°b oder
...,,eis statt °f oder
,,,his statt c
unterscheiden sich um 3Kommasyntonisch-Kommapythagoreisch=41,06 Cent (kleine Diesis). Deshalb ist zum Beispiel ,,gis keine Ersatz für 'as. (Siehe Beispiel oben).

Folgende Tonleiter sind spielbar und klingen gut (besser als gleichstufig gestimmt:
Dur:
B-Dur: °°b c ..d °°°es °f .g ...a °°b
F-Dur: °f .g °°b c ..d ,e °f
C-Dur: c ..d ,e °f .g ...a .,h c
G-Dur: .g ...a .,h c ..d ,e ..,fis .g
D-Dur: ..d ,e ..,fis .g ...a .,h ...,cis ..d
A-Dur: ...a .,h ...,cis ..d ,e ..,fis ,,gis ...a

Moll Tonika, Subdominante Moll, Dominante Dur:
G-Moll: .g ...a °°b c ..d °°°es (,e) ..,fis .g
D-Moll: ..d ,e °f .g ...a °°b (.,h) ...,cis ..d
A-Moll: ...a .,h c ..d ,e °f (..,fis) .g (,,gis) a
Um mehr Tonarten spielen zu können wurden früher weitere Tasten eingefügt:

       °'des   .,,dis    ...,,eis       °°'ges     'as    ..,,ais      ,,,his   
  ...,cis         °°°es            ..,fis      ,,gis           °°b
c          ..d          ,e     °f           .g        ...a         .,h       c
Siehe auch die Darstellung in der 53-Merkator-Skala mit k=Mercatorkomma=1200/53=22,6 Cent:
kleine Diesis (enharmonisches Komma)=...,cis-°des=2k,
chrom. Halbton=c-...,cis=3,25k,
diatonischer Halbton=c-°des=5,25k,
Ganzton=8,5k,
Terz=c-,e=17k,
Quinte=c-.g=30,75k,
Oktave c-c=53k
Man erkennt gut die folgenden Zusammenhänge:
Mitteltönigen Quinte=reine Quinte-1/4synt.Komma=697 Cent (rein 702 Cent):
c-.g / ...,cis-,,gis / ..d-...a / °°°es-°°b / ,e-.,h / °f-c / ..,fis-...,cis / .g-..d / ...a-,e / °°b-°f / .,h-..,fis
Mitteltönige Tritonus=reiner Tritonus-1/2k=579 Cent (rein 590 Cent):
c-..,fis / ..d-,,gis / °°°es-...a / °f-.,h / .g-...,cis / °°b-,e
Mitteltönige verminderte Quinte=reine verminderte Quinte+1/2k=621 Cent (rein 610 Cent):
...,cis-.g / ,e-°°b / ..,fis-c / ,,gis-..d / ...a-°°°es / .h-°f
Mitteltönige Quarte=reine Quarte+1/4 synt. Komma=503 Cent (reine Quarte=498 Cent):
c-°f / ...,ci-..,fis / ..d-.g / ,e-...a / °f-°°b/ ..,fis-,h / .g-c / ,,gis-...,cis / ...a-..d / °°b-°°°es /.,h-,e
Mitteltönige große Terz=Reine große Terz (386 Cent): c-,e / ..d-..,fis / °°°es-.g / ,e-,,gis / °f-...a / .g-.,h / ...a-...,cis / °°b-..d
Mitteltönige kleine Terz=reine kleine Terzen+1/4synt.Komma=310 Cent (reine kl. Terz=316 Cent):
c-°°°es / ...,cis-,e / ..d-°f / ,e-.g / ..fis-...a / .g-°°b / ,,gis-.,h / ...a-c / .,h-..d
Mitteltönige Ganzton mittelt.Ganzton=reiner großer Ganzton-1/2synt. Komma=reiner kleiner Ganzton +1/2 synt.Komma=193 Cent (großer Ganzton=204 Cent, kleiner Ganzton=182 Cent):
c-..d / ..d-,e / °°°es-°f / ,e-..,fis / °f-.g / ..,fis-,,gis / ...a-.,h / °°b-c
Mitteltönige diatonische Halbton (117 Cent; rein 112 Cent):
...,cis-..d / ..d-°°°es / ,e-°f / ..,fis-.g / ,,gis-...a / ...a-°°b / .,h-c
Mitteltönige chromatische Halbton (76 Cent; rein 92 Cent):
c-...,cis / °°°es-,e / °f-..,fis / .g-,,gis / °°b-.,h

Um weiter Tonleitern des Quintenzirkels spielen zu Können, wurden extra Tasten (hier fett gedruckt) eingefügt.
Dur:
Des-Dur: des es f ges as b c des
As-Dur: as b c des es f g as
Es-Dur: es f g as b c d es
B-Dur: b c d es f g a b
F-Dur: f g b c d e f
C-Dur: c d e f g a h c
G-Dur: g a h c d e fis g
D-Dur: d e fis g a h cis d
A-Dur: a h cis d e fis gis a
E-Dur: e fis gis a h cis dis e
H-Dur: h cis dis e fis gis ais h
Fis-Dur: fis gis ais h cis dis eis fis
Cis-Dur: cis dis eis fis gis ais his cis

Moll Tonika, Subdominante Moll, Dominante Dur:
B-Moll: b c des es f ges (g) as (a) b
F-Moll: f g as b c des es f
C-Moll: c d es f g as (a) b (h) c
G-Moll: g a b c d es (e) f (fis) g
D-Moll: d e f g a b (h) c (cis) d
A-Moll: a h c d e f (fis) g (gis) a
E-Moll: e fis g a h c (cis) d (dis) e
H-Moll: h cis d e fis g (gis) a (ais) h
Fis-Moll: fis gis a h cis d (dis) e (eis) fis
Cis-Moll: cis dis e fis gis a (ais) h (his) cis Klaviatur mit unterteilten schwarzen Tasten sowie Eis und His
(c) siehe Wikipedia mitteltönige Stimmung Tastatur mit 7 Subsemitonien (Zarlino Mitte 16. Jahrhundert)
Im 16. Jahrhundert gab es noch keine Tonhöhennorm - keinen Kammerton - und die Tasteninstrumente waren unterschiedlich gestimmt. Deshalb war es notwendig - auch wenn noch nicht "wild" moduliert wurde -, Musikstücke zu transponieren, um Chöre in einer geeigneten Tonlage zu begleiten.

Wohltemperierte Stimmungen

Tasteninstrumente mit mehr als 12 Tasten waren unhandlich. Und so kam man zu den wohltemperierten Stimmungen. Es wurden unzählige Vorschläge dafür gemacht. Damit es keine unbrauchbaren Intervalle am Ende des Quintenzirkels gab, wurden die Intervalle auf Kosten der reinen Terzen verändert. Hier wird zum Beispiel eine Stimmung von Andreas Werckmeister (1645-1506) vorgestellt.

Die Wohltemperierte Stimmung von Werckmeister III

Wir verwenden hier wieder die Bezeichnungen:
.x (Tiefpunkt x) bzw. °x (Hochpunkt x) der Ton x um 1/4 Komma erniedrigt bzw. erhöht.
,x (Tiefkomma x) bzw. 'x (Hochkomma x) der Ton x um ein (syntonisches) Komma erniedrigt bzw. erhöht.
Da sich ,cis und des sowie ,dis und es sowie ,fis und ges sowie ,gis und as sowie b und 'ais nur um ein Schisma=2 Cent unterscheiden, werden sie hier identifiziert. Die 12-stufige Tastatur wird dann folgendermaßen gestimmt (siehe Neumaier S. 226).

   ,cis=des     ,dis=es            ,fis=ges        ,gis=as        b=,ais 
c         ..d          ...e    f             .g           ...a         ...h     c
  4    4,5   4,5   4,25    4,75  4       4,75   4,25    4,25   4,25  4,25   4,75
In der 3. Zeile sind die Abstände der Halbtöne in der 53-Mercatorskala dargestellt.

Der Quintenzirkel lautet hier:
b f c .g ..d ...a ...e ...h ,fis ,cis ,gis ,dis ,ais=b
Die reinen Quinten des Quintenzirkels wurden bei den 4 Quinten c-.g und .g-..d und ..d-...a und ...h-,fis um 1/4 Komma erniedrigt. Damit wurde das pythagoreische Komma ausgeglichen (bis auf das Schisma=2 Cent).
An Hand dieser Schreibweise erkennt man gut die Abweichungen von der reinen Terz.
Große Terzen (rein 386 Cent, gleichstufig 400 Cent, pythagoreisch 408 Cent):
Nur um 1/4 Komma zu groß (392 Cent, fast rein): c-...e und f-...a
Um 1/2 Komma zu groß (397 Cent): b-..d und .g-...h und ..d-,fis
Um 3/4 Komma zu groß (402 Cent, fast wie gleichstufig): es-.g und ..d-,fis und ...a-,cis und ...e-,gis und ...h-,dis
Um ein Komma zu groß (408 Cent, pythagoreisch): as-c und des-f und ,fis-,ais=ges-b

Die wohltemperierte Stimmung Kirnberger III


   ,cis=des     ,dis=es          ,fis=ges          ,gis=as            b=,ais 
c         ..d           ,e   f              .g                ...a           h  c
  4    4,5   4,5       4   5   4        4,75   4,25       4,25    4,75     5   4
In der 3. Zeile sind die Abstände der Halbtöne in der 53-Mercatorskala dargestellt.
Qualifizierung der Terzen (17=rein):
c-,e=17 rein
des-f=18 rein+k=pythagoreisch
..d-,fis=17,5 rein+1/2k (k=syntonisches Komma)
es-.g=17,75 rein+3/4k
,e-,gis=18 pythagoreisch
f-...a=17,25 rein+1/4k
ges-b=18 pythagoreisch
.g-h=18,25 pythagoreisch+1/4k
as-c=18 pythagoreisch
...a-c=17,25 rein+1/4k
b-des=18 pythagoreisch
h-..d=17,5 rein+1/2k
Weiter: Hörbeispiele und Lektion 8

W3C

Kommentieren