Sind die Intervalle c-g, g-d, d-a und a-e reine Quinten, so ist die große Terz (oktaviert) c-e nicht rein. Man muss den Ton e um ein syntonisches Komma tiefer stimmen, dieser Ton wird mit ,e (Tiefkomma e) bezeichnet, man beachte das Komma vor e!). Reine Durakkorde wie c-,e-g oder g-,h-d oder b-,d-f sind dann stets von der gleichen Form: Die große Terz mit Tiefkomma.
Wie wir schon gesehen haben, ändern sich bei Modulationen manche Töne um einen chromatischen Halbton
135/12892,2 Cent)
und manche um ein syntonisches Komma (81/8021,5 Cent). Bei Wechsel um einen chromatischen
Halbton ändert sich die Bezeichnung, zum Beispiel von f in fis. Um die Änderung auch um ein syntonisches Komma sichtbar zu machen,
verwenden wir hier folgende Bezeichnung, die am besten bei Ketten von reinen Quinten gezeigt werden kann.
Auf diese Weise kann man auch die Frequenzverhältnisse und das Centmaß der Töne leicht berechnen.
... - ,es - ,b - ,f - ,c - ,g - ,d - ,a - ... ("Tiefkomma es - Tiefkomma b - ...")
... - es - b - f - c - g - d - a - ...
... - 'es - 'b - 'f - 'c - 'g - 'd - 'a - ... ("Hochkomma es - Hochkomma b - ...")
(wird hier nicht benötigt)
Die Kommata stehen vor Tonbezeichnungen (Komma als Satzzeichen dahinter, falls nötig).
Es handelt sich hier um drei reine Ketten von Quinten
(3/2702,0 Cent), jedoch sind alle Töne der ersten Reihe
ein syntonisches Komma (81/8021,5 Cent) tiefer und die
in der dritten Reihe um ein syntonisches Komma höher gesetzt.
Die Frequenzverhältnisse berechnen sich dann zu:
g 3 d 3 2 a 3 3 f 2 b 2 2 es 2 3
- = -; - = (-); - = (-) ... - = -; - = (-) ; —— = (-) ; ...
c 2 c 2 c 2 c 3 c 3 c 2
,es 80 ,b 80 ,f 80 'es 81 'b 81 'f 81
——— = ——; —— = ——; —— = ——; ..., ——— = ——; —— = ——; —— = ——; ...
es 81 b 81 f 81 es 80 b 80 f 80
In der Quintenkette c-g-d-a-e passt das e nicht in die C-Durtonleiter. Das Intervall c-e in der Quintenreihe c-g-d-a-e
beträgt nämlich 407,8 Cent (4 Quinten mit 701,96 Cent aufwärts und, damit das e wieder in derselben Oktavlage wie c
kommt, 2 Oktaven mit 1200 Cent abwärts), wärend das das Intervall c-,e mit dem ,e der C-Durtonleiter eine reine Terz mit
386,3 Cent bildet.
Die reine C-Durtonleiter schreibt sich als
c-d-,e-f-g-,a-,h-c.
In anderen Tonarten entsprechend der 3., 6. und 7. Ton mit Tiefkomma).
Die reine c-molltonleiter (als Mollparallele von Es-Dur es-f-,g-as-b-,c-,d-es)
schreibt sich
,c-,d-es-,f-,g-as-b-,c.
In anderen Tonarten entsprechend der 1.,2.,4, und 5. Ton mit Tiefkomma.
Diese ,c-moll Tonleiter um ein syntonischen Komma nach oben transponiert ist dann:
c-d-'es-f-g-'as-'b-c.
In anderen Tonarten entsprechend der 3., 6. und 7. Ton mit Hochkomma.
Auch hier wird die Eulersche Schreibweise verwendet: Der Quintenzirkel in reiner Stimmung
und gezeigt, dass man mit einer Tastatur von 24 Tasten alle Tonarten rein spielen kann.
Mit o=Oktave=1200 Cent q=Quinte=1200lb(3/2) Cent und k=syntonisches Komma=1200lb(81/80) Cent ergeben sich
die Centwerte der Töne in der vorhergehenden Tabelle zu:
Ton
Berechnung
Cent
Vorkommen
,c
-k
-22
ab Es-Dur
c
0
0 *
in C-Dur
,his
12q-7o-k
2 *
ab Cis-Dur
des
-5q+3o
90 *
ab As-Dur
,cis
7q-4o-k
92 *
ab D-Dur
cis
7q-4o
114
ab H-Dur
,d
2q-o-k
182
ab F-Dur
d
2q-o
204
in C-Dur
,es
-3q+2o-k
273
ab Ges-Dur
es
-3q+2o
294 *
ab B-Dur
,dis
9q-5o-k
296 *
ab E-Dur
dis
9q-5o
318
ab Cis-Dur
fes
-8q+5o
384 *
ab Ces-Dur
,e
4q-2o-k
386 *
in C-dur
e
4q-2o
408
ab D-Dur
,f
-q+o-k
477
ab As-Dur
f
-q+o
498 *
in C-Dur
,eis
11q-6o-k
500 *
ab Fis-Dur
ges
6q+4o
588 *
ab Des-Dur
,fis
6q-3o-k
590 *
ab G-Dur
fis
6q-3o
612
ab E-Dur
,g
q-k
680
ab B-Dur
g
q
702
in C-Dur
,as
-4q+3o-k
771
ab Ces-Dur
as
-4q+3o
792 *
ab Es-Dur
,gis
8q-4o-k
794 *
ab A-Dur
gis
8q-4o
816
ab Fis-Dur
,a
3q-o-k
884
in C-Dur
a
3q-o
906
ab G-Dur
,b
-2q+2o-k
975
ab Des-Dur
b
-2q+2o
996 *
ab F-Dur
,ais
10q-5o-k
998 *
ab H-Dur
ces
-7q+5o
1086 *
ab Ges-Dur
,h
5q-2o-k
1088 *
in C-Dur
h
5q-2o
1110
ab A-Dur
,c'
-k+o
1178
ab Es-Dur
c'
o
1200
in C-Dur
Benachbarte Töne, die sich nur um das Schisma (1,954 Cent) unterscheiden, sind mit "*" markiert.
Bei der reinen Stimmung sind folgende Tonschritte
einzuhalten:
Dur-Tonleiter
G
G-
H
G
G-
G
H
Intervall
9/8
10/9
16/15
9/8
10/9
9/8
16/15
Frequenzverhältnis
204
182
112
204
182
204
112
Cent
Moll-Tonleiter1
G
H
G-
G
H
G
G-
Intervall
9/8
16/15
10/9
9/8
16/15
9/8
10/9
Frequenzverhältnis
204
182
112
204
182
204
112
Cent
1) Hier ist die Molltonleiter im Sinne von "melodisch
absteigend" aufgeführt, im Gegensatz zu "melodisch" oder
"harmonisch aufsteigend".
Bezeichnung: G=204 Cent = großer Ganzton, G-= G - K = 182
Cent = kleiner Ganzton, wobei mit K = 22 Cent das syntonische Komma bezeichnet wird und mit H
= 112 Cent der diatonische Halbton.
Die C-Dur Tonleiter hat also folgende Frequenzen:
c 132
d 148,5
,e 165
f 176
g 198
,a 220
,h 247,5
c' 264
d' 297
,e' 330
f' 352
g' 396
,a' 440
,h' 495
c'' 528
d'' 594
,e'' 660
f'' 704
g'' 792
,a'' 880
,h'' 990
c''' 1056
Die Frequenzverhältnisse entsprechen der Dur-Tonleiter,
wie man durch Nachrechnen überprüfen kann:
Vergleichen wir damit nun die Frequenzen von G-Dur (Modulation
zur Dominante)
g'
a'
,h'
c''
d''
,e''
,fis''
g''
396
445,5
495
528
594
660
742,5
792
Wir sehen: f hat sich zu fis um einen chromatischen Halbton D = G - H = 92
Cent erhöht, aber auch ,a hat sich um ein syntonisches Komma K = 22 Cent
zu a erhöht
(es liegt nicht mehr in der Quintenreihe ... ,f - ,c - ,g - ,d ...),
sondern in der Quintenreihe ... f - c - g - d ...) und wird also nicht
mehr mit vorangestellten Tiefkomma geschrieben.
Beispiel: Obwohl ,Fis in der folgenden Melodie
nicht vorkommt, klingt sie wegen des Tones a verschieden. In
C-Dur hat ,a die Frequenz von 440Hz, in G-Dur hat a die Frequenz von
445,5 Hz. Diese Melodie bestimmt also schon - unter dem
Gesichtspunkt der reinen Stimmung - die Tonart, ohne dass das
Fis erklingen muß.
Ähnlich sieht der Vergleich bei Modulation in die
Subdominante aus.
f
g
,a
b
c'
,d
,e
f
176
198
220
234,7
264
293,3
330
352
Wir sehen: ,h hat sich um eine halben
Ton G - H in b und d um ein Komma in ,d erniedrigt.
Wir können die groben und feinen Änderungen bei der
Modulation von C-Dur in G-Dur folgendermaßen eindeutig
kennzeichnen. (Dies erledigt übrigens das Programm
TTMusik).
C d ,e f g ,a ,h c Dur
G a ,h c d ,e ,fis g / Durtonleiter (eine Quinte höher)
(Damit werden die groben, im Notenbild sichtbaren, und die
feinen, im Notenbild unsichtbaren, Änderungen eindeutig
gekennzeichnet.
Hier noch die Modulation von C-Dur nach F-Dur.
C d ,e f g ,a ,h c / Durtonleiter
F g ,a b c ,d ,e f / Durtonleiter (eine Quinte tiefer)
Wir können die Modulation in die Tonart "eine Quinte
höher/tiefer" auch über zwei Modulationen "eine Terz
höher oder tiefer" erreichen. Das sind dann jeweils die
Tonarten der Moll- bzw. Durparallelen.
C d ,e f g ,a ,h ,c / Durtonleiter
C-Dur
,e ,fis g ,a ,h c d ,e / Molltonleiter (eine Terz höher)
e-moll
G a ,h c d ,e ,fis g / Durtonleiter (eine Terz höher)
G-Dur
C d ,e f g ,a ,h c / Durtonleiter
C-Dur
,a ,h c ,d ,e f g ,a / Molltonleiter (eine Terz tiefer)
a-moll
F g ,a b c ,d ,e f / Durtonleiter (eine Terz tiefer)
F-Dur
Wir erkennen: Bei Modulation um eine Terz tiefer (C-Dur in
a-moll) oder um eine Terz höher (C-Dur in e-moll)
ändert sich genau ein Ton. Nochmals um eine Terz nach oben
oder unten moduliert ergibt sich die Modulation in die
Dominante bzw. Subdominante.
Studieren wir diesem System die folgende Harmonisierung:
Zunächst in C-Dur (c d ,e f g ,a ,h c)
die Tonika (c ,e g),
der Akord auf der 3. Stufe ,e-moll (,e g ,h)
und die Subdominante (f ,a c).
Dann in ,e-moll-harmonisch (,e ,fis g ,a ,h ,,cis ,,dis e,)
zunächst die Dominante (,h ,,dis ,fis),
dann die Tonika (,e g ,h).
Modulation nach 'b-Dur (b c ,d es f ,g ,a b),
hier den Dominantseptakkord (f ,a c es)
und Tonika (b ,d f) und zurück nach c-Dur.
Man sieht: Die Melodie c ,h ,a ,h g ,a ,h c ("Vom Himmel hoch
da komm ich her") ist dieselbe, als wäre sie in C-Dur
harmonisiert, keine Komma geändert. Vergleicht man die
übrigen Noten im Satz, dann sieht man, dass außer Dis
und Es einzig im 3-letzten Akkord dd'a'h' die beiden d's um ein
Komma zu ,d erniedrigt wurde.