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Lektion 7. Modulationen in reiner Stimmung

Gleich zu Modulationen

Vorbemerkung zum Eulerschen Tonnetz

Alles, was Sie zum Eulerschen Tonnetz wissen müssen, ist die Eulersche Schreibweise.

Kurzfassung am Beispiel:

Sind die Intervalle c-g, g-d, d-a und a-e reine Quinten, so ist die große Terz (oktaviert) c-e nicht rein. Man muss den Ton e um ein syntonisches Komma tiefer stimmen, dieser Ton wird mit ,e (Tiefkomma e) bezeichnet, man beachte das Komma vor e!). Reine Durakkorde wie c-,e-g oder g-,h-d oder b-,d-f sind dann stets von der gleichen Form: Die große Terz mit Tiefkomma.
Gleich zu Modulationen
Wie wir schon gesehen haben, ändern sich bei Modulationen manche Töne um einen chromatischen Halbton 135/128entspricht92,2 Cent) und manche um ein syntonisches Komma (81/80entspricht21,5 Cent). Bei Wechsel um einen chromatischen Halbton ändert sich die Bezeichnung, zum Beispiel von f in fis. Um die Änderung auch um ein syntonisches Komma sichtbar zu machen, verwenden wir hier folgende Bezeichnung, die am besten bei Ketten von reinen Quinten gezeigt werden kann. Auf diese Weise kann man auch die Frequenzverhältnisse und das Centmaß der Töne leicht berechnen.

 ... - ,es - ,b - ,f - ,c - ,g - ,d - ,a - ... ("Tiefkomma es - Tiefkomma b - ...")

 ... -  es -  b -  f -  c -  g -  d -  a - ...

 ... - 'es - 'b - 'f - 'c - 'g - 'd - 'a - ... ("Hochkomma es - Hochkomma b - ...")
                                          (wird hier nicht benötigt)

Die Kommata stehen vor Tonbezeichnungen (Komma als Satzzeichen dahinter, falls nötig).

Es handelt sich hier um drei reine Ketten von Quinten (3/2entspricht702,0 Cent), jedoch sind alle Töne der ersten Reihe ein syntonisches Komma (81/80entspricht21,5 Cent) tiefer und die in der dritten Reihe um ein syntonisches Komma höher gesetzt. Die Frequenzverhältnisse berechnen sich dann zu:

g   3   d    3 2  a    3 3      f   2  b    2 2  es    2 3
- = -;  - = (-);  - = (-)  ...  - = -; - = (-) ; —— = (-) ; ...
c   2   c    2    c    2        c   3  c    3     c    2

,es   80  ,b   80  ,f   80       'es   81  'b   81  'f   81
——— = ——; —— = ——; —— = ——; ..., ——— = ——; —— = ——; —— = ——; ...
 es   81   b   81   f   81        es   80   b   80   f   80

In der Quintenkette c-g-d-a-e passt das e nicht in die C-Durtonleiter. Das Intervall c-e in der Quintenreihe c-g-d-a-e beträgt nämlich 407,8 Cent (4 Quinten mit 701,96 Cent aufwärts und, damit das e wieder in derselben Oktavlage wie c kommt, 2 Oktaven mit 1200 Cent abwärts), wärend das das Intervall c-,e mit dem ,e der C-Durtonleiter eine reine Terz mit 386,3 Cent bildet.

Die reine C-Durtonleiter schreibt sich als
c-d-,e-f-g-,a-,h-c.
In anderen Tonarten entsprechend der 3., 6. und 7. Ton mit Tiefkomma).

Die reine c-molltonleiter (als Mollparallele von Es-Dur es-f-,g-as-b-,c-,d-es) schreibt sich
,c-,d-es-,f-,g-as-b-,c.
In anderen Tonarten entsprechend der 1.,2.,4, und 5. Ton mit Tiefkomma.
Diese ,c-moll Tonleiter um ein syntonischen Komma nach oben transponiert ist dann:
c-d-'es-f-g-'as-'b-c.
In anderen Tonarten entsprechend der 3., 6. und 7. Ton mit Hochkomma.
Auch hier wird die Eulersche Schreibweise verwendet: Der Quintenzirkel in reiner Stimmung
und gezeigt, dass man mit einer Tastatur von 24 Tasten alle Tonarten rein spielen kann.
Aus Wikipedia (Stand Dezember 2013).
Tabelle
Mit o=Oktave=1200 Cent q=Quinte=1200lb(3/2) Cent und k=syntonisches Komma=1200lb(81/80) Cent ergeben sich die Centwerte der Töne in der vorhergehenden Tabelle zu:
TonBerechnungCentVorkommen
,c-k-22ab Es-Dur
c00 *in C-Dur
,his12q-7o-k2 *ab Cis-Dur
des-5q+3o90 *ab As-Dur
,cis7q-4o-k92 *ab D-Dur
cis7q-4o114ab H-Dur
,d2q-o-k182ab F-Dur
d2q-o204in C-Dur
,es-3q+2o-k273ab Ges-Dur
es-3q+2o294 *ab B-Dur
,dis9q-5o-k296 *ab E-Dur
dis9q-5o318ab Cis-Dur
fes-8q+5o384 *ab Ces-Dur
,e4q-2o-k386 *in C-dur
e4q-2o408ab D-Dur
,f-q+o-k477ab As-Dur
f-q+o498 *in C-Dur
,eis11q-6o-k500 *ab Fis-Dur
ges6q+4o588 *ab Des-Dur
,fis6q-3o-k590 *ab G-Dur
fis6q-3o612ab E-Dur
,gq-k680ab B-Dur
gq702in C-Dur
,as-4q+3o-k771ab Ces-Dur
as-4q+3o792 *ab Es-Dur
,gis8q-4o-k794 *ab A-Dur
gis8q-4o816ab Fis-Dur
,a3q-o-k884in C-Dur
a3q-o906ab G-Dur
,b-2q+2o-k975ab Des-Dur
b-2q+2o996 *ab F-Dur
,ais10q-5o-k998 *ab H-Dur
ces-7q+5o1086 *ab Ges-Dur
,h5q-2o-k1088 *in C-Dur
h5q-2o1110ab A-Dur
,c'-k+o1178ab Es-Dur
c'o1200in C-Dur
Benachbarte Töne, die sich nur um das Schisma (1,954 Cent) unterscheiden, sind mit "*" markiert.
Einige ausgewählte Intervalle: * Intervall Cent des cis 23,460
Siehe auch Der Quintenzirkel in reiner Stimmung, Übersicht über alle Intervalle. und Wikipedia.

Modulationen

Bei der reinen Stimmung sind folgende Tonschritte einzuhalten:

Dur-Tonleiter G G- H G G- G H Intervall
  9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15 Frequenzverhältnis
  204 182 112 204 182 204 112 Cent
Moll-Tonleiter1 G H G- G H G G- Intervall
  9/8 16/15 10/9 9/8 16/15 9/8 10/9 Frequenzverhältnis
  204 182 112 204 182 204 112 Cent
1) Hier ist die Molltonleiter im Sinne von "melodisch absteigend" aufgeführt, im Gegensatz zu "melodisch" oder "harmonisch aufsteigend".

Bezeichnung: G=204 Cent = großer Ganzton, G-= G - K = 182 Cent = kleiner Ganzton, wobei mit K = 22 Cent das syntonische Komma bezeichnet wird und mit H = 112 Cent der diatonische Halbton.

Die C-Dur Tonleiter hat also folgende Frequenzen:
c     132    
d     148,5    
,e    165     
f     176    
g     198    
,a    220      
,h    247,5     
c'    264     
d'    297     
,e'   330      
f'    352      
g'    396     
,a'   440       
,h'   495      
c''   528      
d''   594      
,e''  660       
f''   704      
g''   792      
,a''  880       
,h''  990       
c'''  1056

Die Frequenzverhältnisse entsprechen der Dur-Tonleiter, wie man durch Nachrechnen überprüfen kann:
148,5   9    165    9   176   16
————— = -,  ————— = ——, ——— = —— ...
 132    8   148,5   10  165   15


Vergleichen wir damit nun die Frequenzen von G-Dur (Modulation zur Dominante)
g' a' ,h' c'' d'' ,e'' ,fis'' g''
396 445,5 495 528 594 660 742,5 792


Wir sehen: f hat sich zu fis um einen chromatischen Halbton D = G - H = 92 Cent erhöht, aber auch ,a hat sich um ein syntonisches Komma K = 22 Cent zu a erhöht (es liegt nicht mehr in der Quintenreihe ... ,f - ,c - ,g - ,d ...), sondern in der Quintenreihe ... f - c - g - d ...) und wird also nicht mehr mit vorangestellten Tiefkomma geschrieben.

Beispiel: Obwohl ,Fis in der folgenden Melodie nicht vorkommt, klingt sie wegen des Tones a verschieden. In C-Dur hat ,a die Frequenz von 440Hz, in G-Dur hat a die Frequenz von 445,5 Hz. Diese Melodie bestimmt also schon - unter dem Gesichtspunkt der reinen Stimmung - die Tonart, ohne dass das Fis erklingen muß.
1mel_inc.gif


1mel_ing.gif


1in_c.gif


1in_c.gif"






Ähnlich sieht der Vergleich bei Modulation in die Subdominante aus.
f g ,a b c' ,d ,e f
176 198 220 234,7 264 293,3 330 352


Wir sehen: ,h hat sich um eine halben Ton G - H in b und d um ein Komma in ,d erniedrigt.

Wir können die groben und feinen Änderungen bei der Modulation von C-Dur in G-Dur folgendermaßen eindeutig kennzeichnen. (Dies erledigt übrigens das Programm TTMusik).

C d ,e f g ,a ,h c Dur
G a ,h c d ,e ,fis g / Durtonleiter (eine Quinte höher)

(Damit werden die groben, im Notenbild sichtbaren, und die feinen, im Notenbild unsichtbaren, Änderungen eindeutig gekennzeichnet.

Hier noch die Modulation von C-Dur nach F-Dur.
C d ,e f g ,a ,h c / Durtonleiter
F g ,a b c ,d ,e f / Durtonleiter (eine Quinte tiefer)


Wir können die Modulation in die Tonart "eine Quinte höher/tiefer" auch über zwei Modulationen "eine Terz höher oder tiefer" erreichen. Das sind dann jeweils die Tonarten der Moll- bzw. Durparallelen.
C d ,e f g ,a ,h ,c / Durtonleiter C-Dur
,e ,fis g ,a ,h c d ,e / Molltonleiter (eine Terz höher) e-moll
G a ,h c d ,e ,fis g / Durtonleiter (eine Terz höher) G-Dur


C d ,e f g ,a ,h c / Durtonleiter C-Dur
,a ,h c ,d ,e f g ,a / Molltonleiter (eine Terz tiefer) a-moll
F g ,a b c ,d ,e f / Durtonleiter (eine Terz tiefer) F-Dur


Wir erkennen: Bei Modulation um eine Terz tiefer (C-Dur in a-moll) oder um eine Terz höher (C-Dur in e-moll) ändert sich genau ein Ton. Nochmals um eine Terz nach oben oder unten moduliert ergibt sich die Modulation in die Dominante bzw. Subdominante.

Zum Weiterlesen:
Studieren wir diesem System die folgende Harmonisierung:
1mus_vom_himmel.gif



spiele auch gleichstufig
Zunächst in C-Dur (c d ,e f g ,a ,h c)
die Tonika (c ,e g),
der Akord auf der 3. Stufe ,e-moll (,e g ,h)
und die Subdominante (f ,a c).
Dann in ,e-moll-harmonisch (,e ,fis g ,a ,h ,,cis ,,dis e,)
zunächst die Dominante (,h ,,dis ,fis),
dann die Tonika (,e g ,h).
Modulation nach 'b-Dur (b c ,d es f ,g ,a b),
hier den Dominantseptakkord (f ,a c es)
und Tonika (b ,d f) und zurück nach c-Dur.

Man sieht: Die Melodie c ,h ,a ,h g ,a ,h c ("Vom Himmel hoch da komm ich her") ist dieselbe, als wäre sie in C-Dur harmonisiert, keine Komma geändert. Vergleicht man die übrigen Noten im Satz, dann sieht man, dass außer Dis und Es einzig im 3-letzten Akkord dd'a'h' die beiden d's um ein Komma zu ,d erniedrigt wurde.
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