Joachim Mohr Mathematik Musik
Mathematische Vertiefung zur reinen Stimmung
Die
Reine Stimmung entstand mit dem Aufkommen der Mehrstimmigkeit. In den Akkordverbindungen werden die reinen Intervalle Oktave, Quinte und Terz benutzt. Sie erfordert für die Harmonie der Akkorde beim Übergang zu anderen Tonarten eine Flexibilität in der Anpassung der Tonhöhe, die nur Sänger oder vergleichbare Instrumente aufbringen können. Die Stimmung (Temperierung) für Tasteninstrumenten wandelte sich deshalb über die
mitteltönigen Stimmungen und wohltemperierten Stimmungen zur
gleichstufige Stimmung.
Satz: Die Oktave Ok, die Quinte Qui und die große Terz gT sind die Grundintervalle der reinen Stimmung.
Deshalb nennt man dieses System auch das
Quint-Terz-System
Näheres dazu im Abschnitt
Die reine Stimmung
Das heißt: Alle in Lektion 1 erwähnten Intervalle kann man damit zusammensetzen.
Beweis :
Die Oktave |
Ok Grundintervall |
Die Quinte |
Qui Grundintervall |
Die Quarte |
Qua = Ok - Qui |
Die große Terz |
gT Grundintervall |
Die kleine Sext |
kSext = Ok - gT |
Die kleine Terz |
kT = Qui - gT |
Die große Sext |
gSext = Ok - (Qui -gT) = Ok + gT - Qui |
Der große Ganzton |
G = Qui + Qui - Ok |
Der kleine Ganzton |
G- = gT - G = Ok + gT - Qui - Qui |
Die kleine Septime |
kSept = Ok - G = 2Ok - 2Qui |
Die kleine Septime |
kSept+ = Ok - (G-) = Qui + Qui - gT |
Der Halbton |
H = Qua - gT = Ok - Qui -gT |
Die große Septime |
gSept = Ok - H = Qui + gT |
Mit diesen Intervallen kann man die reine Dur- und Molltonleiter aufbauen.
Reine Tonleiter heißt: Die Dreiklänge der Tonika, Dominante und Subdominante sind aus reinen großen und kleinen Terzen aufgebaut.
Zum Beispiel berechnen sich in der C-Durtonleiter mit dem Grundton c' mit 264 Hz die übrigen Töne mit ihren Frequenzen folgendermaßen:
Ton + Intervall |
Berechnung der Frequenz Bemerkung |
c' + gT = e' |
264·5/4 = 330 |
e' + kT = g' |
330·6/5 = 396 |
g' + gT = h' |
396·5/4 = 495 |
h' + kT - Ok = d' |
495·6/5:2 = 297 |
c' + Ok = c'' |
264·2 = 528 |
c'' - kT = a' |
528:(6/5) = 440 |
a' - gT = f' |
440:(5/4) = 352 |
Zur C-Dur-Tonleiter gehören folglich folgende Frequenzen:
c' |
d' |
e' |
f' |
g' |
a' |
h' |
c'' |
264 |
297 |
330 |
352 |
396 |
440 |
495 |
528 |
Entsprechend kann man die c-Moll-Tonleiter so berechnen, dass die Mollakkorde c'es'g', g'b'd'' und f'as'c' aus kleiner Terz und großer Terz aufgebaut sind.
Zur C-Moll-Tonleiter (harmonisch absteigend) gehören folglich folgende Frequenzen:
c' |
d' |
es' |
f' |
g' |
as' |
b' |
c'' |
264 |
297 |
316,8 |
352 |
396 |
422,4 |
475,2 |
528 |