Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

mitteltönig und wohltemperiert

Alles, was Sie über die Eulerschreibweise wissen müssen.
Man geht vom Quintenzirkel mit reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) aus:
des as es b f c g d a e h fis cis (Alle Töne werden in derselben Oktavlage betrachtet).
Dann gilt folgende Schreibweise: Ein vorangestelltes "Tiefkomma", "Hochkomma" erniedrigt bzw. erhöht den Ton um ein Komma. (Hier Komma immer syntonisch.)
Die reine C-Dur bzw. c-Moll -Tonleiter lautet dann c d ,e f g ,a ,h c bzw. c d 'es f g 'as 'b c.
Die Größe eines Intervalls ist dann eindeutig bestimmt Zum Beispiel:
c-e = 4 Quinten - 2 Oktaven = 409 Cent (≙ 81/64) pytha­goreische große Terz
c-,e  = c-e - Komma = 386 Cent (≙ 5/4) reine große Terz
c-es = -3 Quinten + 2 Oktaven = 294 Cent (≙ 32/27) pytha­goreische kleine Terz
c-'es  =  c-es + Komma  =  316 Cent (≙ 6/5) reine kleine Terz

Problem mit der 12-stufigen Tastatur

tastatur_reine_stimmung
Man sieht hier, dass für die reine Stimmung 12 Tasten nicht ausreichen, wenn man modulieren will.
Die C-Dur-Tonleiter ist als c d ,e f g ,a ,h ist punktiert unterstrichen. Nach unten bzw. oben sind die Komma-Änderungen notiert, die sich bei Modulation Richtung Subdominante bzw. Richtung Dominante ergeben.

Im Vergleich zu C-Dur benötigt man nicht nur zusätzlich "schwarze Tasten" sondern
In Richtung Subdominante:
in F-dur zu b noch ,d statt d
in B-Dur zu es noch ,g statt g
in Es-Dur zu as noch ,c statt c
in As-Dur zu des noch ,f statt f
in Des-Dur zu ges noch ,b statt b
In Richtung Dominante:
in G-Dur zu ,fis noch a statt ,a
in D-Dur zu ,cis noch e statt ,e
in A-Dur zu ,gis noch h statt ,h
in E-Dur zu ,dis noch fis statt ,fis
in H-Dur zu ,ais noch cis statt ,cis
in Fis-Dur zu ,eis noch gis statt ,gis
in Cis-Dur zu ,his noch dis statt ,dis

Von As-Dur bis H-Dur würde man 24 Tasten benötigen, wenn man den Unterschied von einem Schisma (2 Cent) vernachlässigt. Dann kann man gleichsetzten:
,fis = ges / ,cis = des / ,gis = as / ,di = es / ,ais = b / ,eis = f und ,his = c.
Das hat schon Andreas Werckmeister fasziniert! (1645–1706, siehe unten seine Stimmung).

Ausführlicher: Die reine Stimmung im Quintenzirkel
Dort ist auch das Reinharmonium von Hermann von Helmholtz mit 2 Tastaturen (=24 Tasten) beschreiben)

Es fehlen aber immer noch Tasten für die parallele Molltonleiter mit erhöhtem 7 Ton.
Von C-Dur / a-Moll aus Richtung Subdominante:
bei ,a-Moll ,,gis
bei ,d-Moll ,,cis
bei ,g-Moll ,,fis
bei ,c-Moll ,,h
bei ,f-Moll ,,e
bei ,b-Moll ,,a
In Richtung Dominante:
bei ,e-Moll ,,dis
bei ,h-Moll ,,ais,b
bei ,fis-Moll ,,eis,f
bei ,cis-Moll ,,his,c
bei ,gis-Moll ,,fisis,g
bei ,dis-Moll ,,cisis,d
bei ,ais-Moll ,,gisis,a
Bei den letzten 6 Tönen sind die nur um ein Schisma verschiedenen enharmonischen Verwechslungen angegeben. Deren Tasten sind schon vorhanden. Es bleiben zu den 24 Tasten noch 7, die man zusätzlich benötigen wurde, also insgesamt 31 Tasten.

Ergänzend sei noch bemerkt: Im Vergleich zu C-Dur wird bei ,a-Moll als 4. Ton noch zusätzlich ,d benötigt. Dieser Ton ist aber auch ein Ton der F-Dur-Skala. Entsprechend ist der 4. Ton (,g / ,c / ,f / ,b) von ,d- / ,g- /,c- und ,f-Moll vorhanden. Fehlt noch der 4. Ton ,es von ,b-Moll. Damit sind wir endgültig bei 32 Tasten.

Deshalb benützte man Jahrhunderte lang mitteltönige und wohltemperierte Stimmungen. Dabei nimmt man kleine oder größere Unreinheiten in Kauf. Bei unserer heutigen gleichstufigen Stimmung sind alle Unreinheiten gleich verteilt.

Mittelalterliche Musik

pyth_tastatur Vor dem Aufkommen der Mehrstimmigkeit im 15. Jahrhundert verwendete man die pythagoreisches Stimmung bei der die großen Terzen unrein erklangen. Die Stimmung beruhte auf lauter reine Quinten im Quintenzirkel.
(As) Es B F C G D A E Fis Cis Gis
(Frequenzverhältnis jeweils 3/2 ≙ 702 Cent)
Diese Stimmung wurde im Mittelalter verwendet. Sie ist hervorragend für Melodien, aber unbefriedigend für Harmonien.

Mit dem Aufkommen der Mehrstimmigkeit in der zweiten Hälfte des 15. Jahrhunderts setzte sich die reine Terz (Frequenzverhältnis 5/4) als konsonantes Intervall durch. Nun stimmten die Organisten ihre Quinten enger, so dass die bei der pythagoreischen Stimmung raue Terzen reiner erklangen. Diese Praxis wurde durch Musiktheoretiker untermauert, bis sich schließlich die mitteltönige Stimmung durchsetzte.
Bei der 1/4 -Komma mitteltönigen Stimmung sind die einzelnen Quinten um 1/4-Komma (ungefähr 5 Cent) vermindert.
°°°Es °°B °F C .G ..D ...A ,E .,H ..,Fis ...,Cis ,,Gis Alle Quinten um 1/4 Komma verringert.
Hier ist die Eulerschreibweise erweitert:
Ein vorangestellter "Tiefpunkt" bzw. "Hochpunkt" erniedrigt bzw. erhöht den Ton um 1/4-Komma.
Ein vorangestelltes Komma entspricht 4 vorangestellten Punkten: ....x=,x bzw. °°°°x='x.
Beispiel: Der mitteiltönige Ganzton C-..D ist 2/4 Komma kleiner als der große Ganzton C-D.
tastatur_mitteltoenig
Der Vorteil dieser Stimmung ist: Die Terzen c ,e / g ,h / °f ...a usw. sind rein (Frequenzverhältnis 5/4) und die leicht verstimmten Quinten sind nur durch ein leichtes "Vibrato" erkennbar.
Die mitteltönigen Quinten
Diese Stimmung war zwei oder drei Jahrhunderte vorherrschend. Schon 1511 schlug Arnolt Schlick in seinem Werk Spiegel der Orgelmacher und Organisten (1511) vor, vier Quinten so zu verkleinern, dass die dann entstehende Terz "anständig" klingt. Dies ist ein Vorläufer der Idee der mitteltönigen und wohltemperierten Stimmungen.
Die mitteltönige Stimmung wird heutzutage wieder häufig für eine adäquate Interpretation der Musik des 17. Jahrhunderts eingesetzt. Zum Beispiel kommt in der Stiftskirche Tübingen ein italienisches Cembalo nach Aelpidio Gregori (um 1700) des renommierten Cembalobauers Matthias Griewisch (erbaut 2017) in mitteltöniger Stimmung zum Einsatz.
Spielbar sind nur die Tonarten von °°B-Dur °F-Dur C-Dur .G-Dur ..D-Dur ...A-Dur, .g-Moll ..d-Moll und ...a-Moll. Kadenzen f-Dur As-Dur Nicht spielbar ist zum Beispiel 'As-Dur.
Hörbeispiel: Kadenzen °F-Dur und <'As-Dur ???>.

Erklärung: In mitteltöniger Stimmung wird statt 'As und °'Des das um 41 Cent zu tiefe ,,Gis bzw. ...,Cis gespielt.

Ausführlich: Das erweiterte Eulerschen Tonnetz im Quintenzirkel
Passen dazu: Das Archicembalo nach Nicola Vicentino
Und: Die 2/7-Komma mittelttönige Stimmung nach
"Institutioni harmoniche" von Gioseffo Zarlino

Die 19-Stufige Tastatur

Schon bald versuchte man den Beschränkungen des 12-stufigen mitteltönigen Tastatur durch hinzufügen weitere Tasten zu entkommen. Geteilte Tasten waren häufig bei Orgeln im 16. Jahrhundert anzutreffen. Michael Prætorius (ca 1571 bis 1621) besaß zum Beispiel ein 19-tönige "Cimbalo cromatico", in dem der mitteltönige Quintenzirkel erweitert wurde. first_manual

Quelle: WP

°°'Ges °'Des 'As °°°Es °°B °F C .G ..D ...A ,E .,H ..,Fis ...,Cis ,,Gis .,,Dis ..,,Ais ...,,Eis ,,,His
first_manual
Die Töne auf den geteilten Tasten, sowie ...,,Eis und °F bzw. ,,,His und C unterscheiden sich um die kleine Diesis.
kleine Diesis=3*syntonisches Komma - pythagoreisches Komma =41 Cent
Deshalb klingt beim obigen Hörbeispiel mit der 12-Stufigen Tastatur, bei dem statt 'As C Es der Dreiklang ,,Gis C °°Es gespielt wird, so falsch.
Berechnung der Größe der kleinen Diesis: Des und Cis / Dis und Es / ... / His und C sind "enharmonische Verwechslungen" (12 Quinten hoch und 7 Oktaven tief) und unterscheiden sich um das pythagoreische Komma.
Da die beiden mitteltönigen enharmonischen Töne sich zusätzlich um 3 syntonische Kommata unterscheiden, folgt:

°'Des - ...,Cis = .,,Dis - °°°Es = ... = ,,,His - C
= 3syntonische Kommata - pythagoreisches Komma
= 3·21,5 Cent - 23,5 Cent = 41 Cent.

Wohltemperierte Stimmungen

Mehr dazu: hier

Geteilte Tastaturen waren zum Spielen unhandlich und so versuchte man durch temperierte Stimmungen das Erklingen von allen Tonarten des Quintenzirkels zu ermöglichen.
Man versuchte die "Unreinheiten" in den Tonleitern des Quintenzirkels möglichst gleichmäßig zu verteilen.
Zunächst klangen bei den "wohltemperierten" Stimmungen die C-Dur-nahen Tonarten reiner als die übrigen. Man erhielt so eine ausgeprägte Tonartencharakteristik für jede Tonart. Schließlich wurden die Unreinheiten bei der heute üblichen "gleichstufigen Stimmung" gleichmäßig auf alle Tonarten verteilt - mit dem Nachteil zu großer (geschäfter) großen Terzen.
Betrachte bei den folgenden Stimmungen die großen Terzen
Die reinen goßen Terzen sind von der Form X ,Y oder auch zum Beispiel ...X ...,Y oder °°X ..Y (im Quintenzirkel um ein ," = "...." eniedrigt). Zum Beispiel C -,E oder °F ...A oder .G .,H.

Schisma

Noch folgendes ist hier anzumerken: Die enharmonischen Töne ,Cis und Des / ,Dis und Es / ,Fis und Ges / ,Gis und As sowie ,Ais und B erklingen gleich. Sie unterscheiden sich nur um das sogenannte Schisma (2 Cent). Diese Abweichung ist so klein, dass sie unsere Ohren nicht wahrnehmen.
Johann Philipp Kirnberger (1721-1783) war Schüler J. S. Bachs (1685-1750) und veröffentlichte nach dem Tod Bachs musiktheoretische Texte mit Stimmanweisungen. In diesem Zusammenhang ist als Vorgänger noch Andreas Werckmeisters (1645-1706) zu nennen, der für Dietrich Buxtehude arbeitete. Großen Einfluss hatte seine "III. Temperatur" von 1691. Schließlich sei noch an Johann Georg Neidhardt (ca. 1685-1739) erinnert, der 1706 die gleichstufige Stimmung vorstellte. Die gleichstufige Stimmung konnte mit dem Gehör kaum verwirklicht werden, erst ab 1917 mit physikalischen Geräten. tastatur_werckmeister3

Hier soll gezeigt werden, wie man die Reinheit der großen Terzen erkennen kann.
c ...e: Fast rein (1/4 Komma zu groß).
.g ...h: Etwas unreiner (1/2 Komma zu groß).
es .g: Rau (3/4 Komma zu groß, vergleichbar der gleichstufigen Terz) usw.

Mit historischer Erklärung

kirnberger2
kirnberger3

Wie stimmte J. S. Bach sein Instrument?

Es wird berichtet, dass J. S. Bach sein Clavichord in weniger als 15 Minuten stimmte. Lange rätselte man, wie er seine Quinten stimmte. Es gibt hierüber von Bach selbst oder seinen Zeitgenossen keine brauchbaren Aufzeichnungen.

Andreas Sparschuh entdeckte 1998 (und berichtete 1999 bei der Jahrestagung der Deutschen Mathematiker Vereinigung darüber) , dass man die Girlande auf dem Titelblatt von Bachs wohltemperierten Klavier, I. Teil, 1722 als Stimmungsanweisung interpretieren könnte.
Siehe: Sparschuh, Andreas "Stimm-Arithmetik des wohltemperierten Klaviers von J.S. Bach" in Deutsche Mathematikervereinigung Jahrestagung, Band 1999 (1999), pp. 154-155.

Bachs Girlande


Die Girlande kann als Vorschrift zum Stimmen des Quintenzirkels gesehen werden, war es doch damals üblich, die Quinten, die im Quintenzirkel ja angepasst werden müssen, zu verengen.
Der Quintenzirkel könnte dann vielleicht folgendermaßen konstruiert werden.
3as   2es   2b   2f   c   2g   4d   6a   8e   8h   8fis   8cis
Die Indexzahlen geben an, um wieviel 1/12 pyth. Komma der Ton erniedrigt bzw erhöht werden müssen.
Stimmung j_s_bach
Die Tabelle ist zum Beispiel folgendermaßen zu lesen: c-8e ist ein Mittelwert zwischen der reinen Terz c-12e (Schisma wird vernachlässigt) und der gleichstufigen c-4e. Die Terzen 4d-8fis und 4des-f sind gleichstufig.
Diese "J.S.Bach-Stimmung" oder ähnliche sind nicht unbestritten. Es gibt darüber eine umfangreiche Diskussion. Siehe ↑Wikipedia.

Gleichstufige Stimmung

Unseren heutigen Klavieren sind meist gleichstufig gestimmt.
Dabei werden die 12 Quinten As Es B F C G D A E H Fis Cis Gis um 1/12 pythagoreisches Komma (ca 2 Cent) vermindert. Dann ist nämlich Gis identisch mit As und nicht mehr um das pythagoreische Komma zu groß.
tastatur_gleichstufig
Tief-bzw. hochgestellte Ziffer: um diesen Betrag 1/12-pyth. Komma tiefer bzw. höher als im Quintenzirkel mit reinen Quinten.
Der große Nachteil sind die zu großen Terzen (400 Cent statt 386 Cent). Da man nun beliebig modulieren kann, ohne Einschränkung Töne harmonisch verwechseln kann usw. wird dies in Kauf genommen. Es betrifft jedoch nur Instrumente mit 12 Tasten. A-Capella-Chöre usw. können rein intonieren.

Die Entwicklung der wohltemperierten Stimmungen zur gleichstufigen Stimmung dauerte auch deshalb so lang, da es ohne physikalische Hilfsmittel nicht möglich war, exakt die gleichstufige Stimmung herzustellen. Außerdem hat man bei der gleichstufigen Stimmung keine Tonartencharakteristik für die einzelnen Tonarten mehr.
Andreas Werckmeister (1645-1706) preist die Vorzüge solcher Stimmungen mit Vorbehalt: Die Menschen würden "jubiliren" "wenn ... ein accurates Ohr dieselbe auch ... zu stimmen weiss".

Weiter: Hörbeispiele