Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
Viele Musikinstrumente und vor allem Sängerinnen und Sänger können feine Tonhöhennuancen von Intervallen abweichend von der gleichstufigen Stimmung realisieren. Sie können durch genaues Aufeinanderhören reine Oktaven, Quinten, Quarten, Terzen usw. verwirklichen. Je besser dies gelingt, umso besser ist der Klang. Sie intonieren in der reinen Stimmung.

Inhaltsverzeichnis

Die reine Stimmung

Die reine C-Dur Tonleiter schreibt sich in der Eulerschen Schreibweise
c d ,e f g ,a ,h c. Hier haben die Dreiklänge
c-,e-g
f-,a-c
g-,h,d
reine große Terzen (Frequenzverhältnis 5/4), reine kleine Terzen (6/5) und reine Quinten (3/2).
Alle Durtonleitern schreiben sich nach dem selben Schema:
3. 6. und 7. Ton ein syntonisches Komma tiefer. Beispiele:

Ton 1 2 ,3 4 5 ,6 ,7 8
...
D-Dur: d e ,fis g a ,h ,cis d
G-Dur: g a ,h c d ,e ,fis g
C-Dur: c d ,e f g ,a ,h c
F-Dur: f g ,a b c ,d ,e f
B-Dur: b c ,d es f ,g ,a b
...
Der Molldreiklang c-es-g enthält die unreine große Terz es-g. Wenn wir das es um ein syntonisches Komma erhöhen, wird der Dreiklang rein. Für das erhöhte es schreiben wir 'es ("Hochkomma es"). Der Ton 'e erklingt also ein syntonisches Komma höher als der Ton es.
Die reine C-moll Tonleiter (c-moll natürlich) schreibt sich dann
c d 'es f g 'as 'b c. Hier haben die Dreiklänge
c-'es-g
f-'as-c
g-'b-d
reine kleine Terzen (6/5), reine große Terzen (5/4) und reine Quinten (3/2).
Alle Molltonleitern schreiben sich nach dem selben Schema:
3. 6. und 7. Ton ein syntonisches Komma höher. Beispiele:
...
Ton      1  2    '3  4  5  '6   '7   8 

g-Moll:  g  a    'b  c  d  'es  'f   g 

f-Moll:  f  g    'as b  c  'des 'es  f 
...
Die Paralleltonart und Gegentonart von C-Dur: 

,a-Moll: ,a ,h   c  ,d ,e   f    g   ,a 

,e-Moll: ,e ,fis g  ,a ,h   c    d   ,e  
In alten Singschulen konnte man mit den theoretischen Verhältnissen der Intervalle wenig anfangen. Die multiplikativen Größenverhältnisse zum Beispiel zwischen den Ganztönen mit den Verhältnissen 9/8 und 10/9 waren zu abstrakt. Seit Guido von Arrezzo (992 bis 1050) kannte man die arithmetische Einteilung. Hier hatte man eine gute Vorstellung der Größen der Intervalle.
Großer Ganzton (c-d) = 9 Teile
Kleiner Ganzton (d-,e) = 8 Teile
Diatonischer Halbton (,e-f) = 5 Teile
Chromatischer Halbton ('b-h oder f-,fis) = 4 Teile
Große Terz (c-,e) = 17 Teile
Quinte (c-g) = 31 Teile
Oktave (c-c') = 53 Teile

Dies stellt die Größenverhältnisse in hervorragender Weise dar. Der Fehler zum exakten Wert liegt in der Größenordnung von einem Schisma (2 Cent).
Die Abstände der Töne der C-Dur-Tonleiter sind den alten Singschulen wohlbekannt:
c   d  ,e   f   g  ,a  ,h   c
  9   8   5   9   8   9   5
Die Oktave hat dann nach Mercator den Abstand von 53 Teilen.

Die Vollkadenz in allen drei Lagen

In f-Dur: f g ,b c ,d ,e f (siehe unten "Modulationen")
vollkadenza.png
rein
gleichstufig

Modulationen

Bekanntlich ändern sich bei Modulationen die Vorzeichen. In reiner Stimmung gibt es aber eine Besonderheit, die die Theorie kompliziert macht.
Faustregel: Bei einer Modulation in eine Nachbartonart ändern sich zwei Töne, einer davon erkennbar mit Vorzeichenwechsel, der andere geringfügig um ein syntonisches Komma mit der Größe von 22 Cent, etwa ein Fünftel Halbton.

Modulation in die Dominante

Vergleicht man die
C-Dur-Tonleiter c d ,e f g ,a ,h c mit der
G-Dur-Tonleiter g a ,h c d ,e ,fis g, so sieht man:
Das f hat sich mit Vorzeichenwechsel um einen Halbton zu ,fis erhöht, das ,a um ein syntonisches Komma zu a (im Notenbild unsichtbar) erhöht.
Beispiel: Obwohl ,Fis in der folgenden Melodie nicht vorkommt, klingt sie wegen des Tones a verschieden. In C-Dur hat ,a die Frequenz von 440 Hz, in G-Dur hat a die Frequenz von 445,5 Hz. Diese Melodie bestimmt also schon - unter dem Gesichtspunkt der reinen Stimmung - die Tonart, ohne dass das Fis erklingen muss.
1mel_inc.gif Spiele in C-Dur
1mel_ing.gif Spiele in G-Dur
1in_c.gif Spiele in C-Dur
1in_c.gif Spiele in G-Dur
Spiele a' in C-Dur (440 Hz), in G-Dur (445,5 Hz) und beide und zusammen

Modulation in die Subdominante

Vergleicht man die
C-Dur-Tonleiter c d ,e f g ,a ,h c mit der
F-Dur-Tonleiter f g ,a b c ,d ,e f, so sieht man:
Das h hat sich mit Vorzeichenwechsel um einen Halbton zu b erniedrigt, das d um ein syntonisches Komma zu ,d (im Notenbild unsichtbar) erniedrigt.

Modulation in den Tonikagegenklang

Vergleichen wir jetzt die
C-Dur-Tonleiter c d ,e f g ,a ,h c mit der
e-Moll-Tonleiter ,e fis g ,a ,h c d ,e.
Hier hat sich nur ein Ton geändert: das f zu fis erkennbar mit Vorzeichenwechsel um einen Halbton.

Modulation in die Tonikaparallele

Vergleichen wir nun die
C-Dur-Tonleiter c d ,e f g ,a ,h c mit der
a-Moll--Tonleiter ,a ,h c ,d ,e f g ,a.
Hier hat sich ebenfalls nur ein Ton geändert: das d hat sich um ein syntonisches Komma zu ,d erniedrigt.
Der Akkord auf der 2. Stufe in C-Dur ist deshalb mit ,d zu intonieren: ,d-f-,a. Sonst klingt der Akkord d-f-,a mit unreiner Terz d-f und unreiner Quinte d-,a.
Weiter: Die mitteltönige Stimmung

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