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Die Tonleiter in Kommata und Cent
Hier wird die C-Dur- und c-Molltonleiter einmal in Kommata mit k=1200/53 Cent nach Mercator aufgelistet. Hierdurch bekommt man einen guten Überblick über die Größe der Intervalle. Das andere Mal wird die Übersicht exakt in Cent dargestellt.In Kommata k = 1200/53 Cent
In der ersten Zeile steht die Tonfolge in Eulerschreibweise von C-Dur und c-moll, in der zweiten Zeile das Frequenzverhältnis der benachbarten Töne und in der dritten Zeile die Größe des Intervalls.
C D ,E F G ,A ,H c
9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15
9k 8k 5k 9k 8k 9k 5k
C D 'Es F G 'As 'B c
9/8 16/15 10/9 9/8 16/15 9/8 10/9
9k 5k 8k 9k 5k 9k 8k
Diese Verteilung gilt für alle Tonleitern des Quintenzirkels.
Mit k=1200/53 Cent ergibt sich: 9k=204 Cent, 8k=181 Cent und 5k=113 Cent. Im Vergleich zu den folgenden Werten, sieht man, dass die Mercatoreinteilung bis auf ein Cent genau ist.
Genaue Werte in Cent mit Oktave = 1200 Cent
Die genauen Werte sind 1200*lb(9/8)=204 Cent, 1200*lb(10/9)=182 Cent und 1200*lb(16/15)=112 Cent, wobei lb der Logarithmus zur Basis 2 ist.
C D ,E F G ,A ,H c
9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15
204 Cent 182 Cent 112 Cent 204 Cent 182 Cent 204 Cent 112 Cent
C D 'Es F G 'As 'B c
9/8 16/15 10/9 9/8 16/15 9/8 10/9
204 Cent 112 Cent 182 Cent 204 Cent 112 Cent 204 Cent 182 Cent
Eingeschobene Halbtöne in Kommata
Die folgenden eingefügten Halbtönen werden bei Modulationen benötigt. Beachte: diatonischer Halbton = 5k, große Terz = 17k.- ,Cis bei Modulation von C-Dur nach nach D-Dur (,Cis-D=5k)
- 'Des Bestandteil des Neapolitaners von c-moll oder Modulation von c-Moll nach 'As-dur (c-'Des=5k bzw 'Des-F = 17k)
- ,,Dis bei Modulation von C-dur nach ,e-Moll (,,Dis-,e=5k)
- ,,Dis bei Modulation nach ,E-Moll. Dann ,,Dis-,E
C ,Cis 'Des D ,,Dis 'Es ,E F 4k 1k 4k 3k 2k 3k 5kMit k=1200/53 Cent ergibt sich: 1k = 22,64 Cent, 3k = 68 Cent, 4k = 91 Cent und 5k = 113 Cent.
Eingeschobene Halbtöne in Cent
In der Mercator-Einteilung wird das Schisma nicht berücksichtigt. Deshalb wird hier die Berechnung der Frequenzverhältnisses und deshalb auch die Berechnung der Größe in Cent komplizierter. Wir rechnen mit folgenden Bezeichnung:- Ok = Oktave = 1200 Cent ((Frequenzverhältnis = 2)
- Q = Quinte = 702 Cent (Frequenzverhältnis = 3/2)
- pk = Pythagoreisches Komma = 23,46 Cent (Frequenzverhältnis = 531441/524288)
- sk = syntonisches Komma = 21,51 Cent (Frequenzverhältnis = 81/80)
- sch = Schisma = pk - sk = 1,95 Cent (Frequenzverhältnis = 32805/32768)
- Cis = C + 7Q - 4 Ok; ,Cis = C + 7Q - 4Ok -sk;
Großes Chroma = Großer chromatischer Halbton = 7Q - 4Ok -sk = 92 Cent (Frequenzverhältnis = 135/128) - Cis = Des + 12Q - 7Ok = Des + pk
,Cis = Des + pk-sk
,Cis = 'Des + pk - 2sk oder 'Des = ,Cis + 2sk -pk
Diaschisma = 2sk-pk = 19,55 Cent (Frequenzverhältnis = 2048/2025) - D = Des + 7Q - 4Ok; D = 'Des + 7Q - 4Ok -sk;
Großer chromatischer Halbton = 7Q-4Ok-sk = 92,18 Cent (Frequenzverhältnis = 135/128) - Dis = D + 7Q - 4Ok; ,,Dis = D + 7Q - 4Ok - 2sk;
Kleines Chroma = Kleiner chromatischer Halbton = 7Q - 4Ok - 2sk = 70,67 Cent (Frequenzverhältnis = 25/24) - Dis = Es + 12Q - 7ok = Es +pk; ,,Dis = 'Es + pk - 3sk; 'Es = ,,Dis + 3sk -pk;
Kleine Diesis = 3sk-pk := 41,06 Cent (Frequenzverhältnis = 128/125) - E = Es + 7Q - 4Ok; ,E='Es + 7Q - 4Ok - 2sk
Kleiner chromatischer Halbton = 7Q - 4Ok - 2sk = 70,67 Cent (Frequenzverhältnis = 25/24)
C ,Cis 'Des D ,,Dis 'Es ,E F 135/128 2048/2025 135/128 25/24 128/125 25/24 16/15 92 Cent 20 Cent 92 Cent 71 Cent 41 Cent 71 Cent 112 Cent