J o a c h i m M o h r Mathematik Musik Programmieren
Forsetzung von Studien im Gebiete der reinen Stimmung
Das 53stufige Tanaka-Parallelogramm
Hier wird die Eulerschreibweise der reinen Stimmung mit Tief- und Hochkomma verwendet.Die Zahlen geben den Ort der Töne in der Mercator-Tabelle an:
,,,fis ,,,cis ,,,gis ,,,dis ,,,ais ,,,eis ,,,his ,,,fisis
24 2 33 11 42 20 51 29
/ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
,,d ,,a ,,e ,,h ,,fis ,,cis ,,gis ,,dis ,,ais
7 38 16 47 25 3 34 12 43
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
,f ,c ,g ,d ,a ,e ,h ,fis ,cis
21 52 30 8 39 17 48 26 4
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
as es b f c g d a e
35 13 44 22 0 31 9 40 18
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
'ces 'ges 'des 'as 'es 'b 'f 'c 'g
49 27 5 36 14 45 23 1 32
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
''eses ''bb ''fes ''ces ''ges ''des ''as ''es ''b
10 41 19 50 28 6 37 15 46
Enharmonische außerhalb des Parallelogramms
S=Schisma = 2 Cent K=Kleisma = 8 Centoben
Fortsetzung des Parallelogramms
,,,,dis ,,,,ais ,,,,eis ,,,,his ,,,,fisis ,,,,cisis ,,,,gisis ,,,,disis ,,,,aisis ,,,,eisis
10 41 19 50 28 6 37 15 46 24
/ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ /
/ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ /
,,,h ,,,fis ,,,cis ,,,gis ,,,dis ,,,ais ,,,eis ,,,his ,,,fisis ,,,cisis
46 24 2 33 11 42 20 51 29 7
neu alt alt neu
Enharmonische Verwechslungen:
,,,h=''b+K-S / ,,,cisis=,,d+S
,,,,dis=''eses+K / ,,,,ais=''heses+K / ,,,,eis=''fes+K / ,,,,his=''ces+K /,,,,fisis=''ges+K
,,,cisis=''des+K/ ,,,,gisis=''as+K/ ,,,,disis=''es+K/ ,,,,aisis=''b+K/ ,,,,eisis=,,,fis+S
unten
''asas ''eses ''bb ''fes ''ces ''ges ''des ''as ''es ''b ''f
32(neu) 10(alt> 41 19 50 28 6 37 15 46(alt) 24(neu)
/ \ /\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
'''feses '''ceses '''geses '''deses '''asas '''eses '''bb '''fes '''ces '''ges '''des '''as
15 46 24 2 33 11 42 20 51 29 7 38
Enharmonische Verwechslungen:
''asas='g-S / ''f=,,,fis-K+S
'''feses=''es-S / '''ceses=''b-S / '''geses=,,,fis-K / '''deses=,,,cis-K / '''asas=,,,gis-K / '''eses=,,,dis-K
''bb=,,,ais-K / '''fes=,,,eis-K / '''ces=,,,his+K / '''ges=,,,fisis+K / '''des=,,d-K+S / '''as=,,a-K+S
Tabelle
k=syntonisches Komma=21,5 Cent, K=Kleisma=8,1 Cent Nr Cent Schritt Ton + Enharmonische 00 0,000 c ,his-S 01 21,506 k 'c h-S 02 49,166 k+K-S ,,,cis '''deses+K 03 70,672 k ,,cis ''''deses+K 04 92,179 k ,cis des+S 05 111,731 k-S 'des cis-S 06 133,237 k ''des ,,,,cisis-K 07 160,897 k+K-S ,,d '''des+K-S 08 182,404 k ,d eses+S 09 203,910 k d 'eses+S 10 223,463 k-S ''eses ,,,,dis-K 11 253,076 k+K ,,,dis '''eses+K 12 274,582 k ,,dis ,es+S 13 294,135 k-S es ,dis-S 14 315,641 k 'es dis+S 15 337,148 k ''es ''''disis-K '''feses+S 16 364,807 k+K-S ,,e ,fes+S 17 386,314 k ,e fes+S 18 407,820 k e fes+S 19 427,373 k-S ''fes ,,,,eis-K 20 456,986 k+K ,,,eis '''fes+K 21 476,539 k-S ,f ,,eis-S 22 498,045 k f ,eis-S 23 519,551 k 'f eis-S 24 547,211 k+K-S ,,,fis ,,,,eisis-S ''f+K-S '''geses+K 25 568,717 k ,,fis 26 590,224 k ,fis ges+S 27 609,776 k-S 'ges fis-S 28 631,283 k ''ges ,,,fisis-K 29 660,896 k+K ,,,fisis '''ges+K 30 680,449 k-S ,g 31 701,955 k g ,fisis-S 32 723,461 k 'g ''asas+S 33 751,121 k+K-S ,,,gis '''asas+K 34 772,627 k ,,gis ,as+S 35 792,180 k-S as ,gis-S (genau 792,179996538) 36 813,686 k 'as gis-S 37 835,193 k ''as ,,,,gisis-K 38 862,852 k+K-S ,,a '''as+K-S 39 884,359 k ,a ''''as+K-S 40 905,865 k a 'bb+S (bb=heses) 41 925,418 k-S ''bb ,,,,ais-K 42 955,031 k+K ,,,ais '''bb+K 43 976,537 k ,,ais ''''bb+K 44 996,090 b ,ais-S (genau 996,089998269) 45 1017,596 k-S 'b ais-S 46 1039,103 k ''b ,,,h-K+S ,,,,aisis-K '''ceses+S 47 1066,762 k+K-S ,,h 48 1088,269 k ,h ces+S 49 1107,821 k-S 'ces h-S 50 1129,328 k ''ces ,,,,his-K 51 1158,941 k+K ,,,his '''ces+K 52 1178,494 k-S ,c 53 1200,000 kSumme 53k+12K-19S=1200 Cent
Probe mit k=4Q-gT-2Ok=21,5 Cent, K=6gT+Ok-5Q=8,1 und S=8Q+gT-5Ok=1,95 Cent
Summe = 53*(4Q-gT-2Ok)+12*(6gT+Ok-5Q)-19*(8Q+gT-5Ok)=1Ok
Fortsetzung der Quintenreihe
f c g d a e h 22 0 31 9 40 18 49 fis cis gis dis ais eis his=c 27 5 36 14 45 23 1 fisis cisis gisis disis aisis eisis hisis 32 10 41 19 50 28 6 'g ''eses ''bb ''fes ''ces ''ges ''des +S +2S +2S +2S +2S +2S +2S fisisis cisisis gisisis disisis ... 37 15 46 24 ''as ,,es ''b ,,,fis-2,246116498 Cent +2S +2S +2S disisis=23*Q-13*Ok ,,,fis=6*Q-3*Ok-3k ,,,fis-disisis=10*Ok-17*Q-3k=2,246116498
Fortsetzung derTerzreihe
c ,e ,,gis ,,,his 0 17 34 51 ,,,,d2# ,,,,,f3# ,,,,,,a3# ,,,,,,,c4# (4,5,6,7 Kommata) 15 32 49 13 ''es+K 'g+K 'ces+K+S es+K+S ,,,,,,,,e4# ,,,,,,,,,g5# ,,,,,,,,,,h5# (8,9,10 Kommata) 30 47 11 ,g+K+S ,,h+K+S ,,,dis+K+S ,,,,,,,,,,,d6# (8 Kommata) 28 näher bei 29 ''ges+2K+S ,,,fisis-11,445289947 Cent ''ges+18,168278512 Cent
Das 53stufige Tanaka-Parallelogramm mathematisch
(x y) bedetet: von c aus x große Terzen plus y Quinten: (x y)=c+xkT+yQZum Beispiel: (0 0)=c
(2 -4)=c+2gT-4Q=,,e nämlich c ,e (2 Terzen aufwärts, dann 4 Quinten abwärts) ,,gis ,,cis ,,fis ,,h ,,e
(-2 4)=-2*gT+4*Q=''as nämlich c 'as ''fes (2 Terzen abwärts, dann 4 Quinten aufwärts) ''ces ''ges ''des ''as
,,,fis ,,,cis ,,,gis ,,,dis ,,,ais ,,,eis ,,,his ,,,fisis
( 3 -6) ( 3 -5) ( 3 -4) ( 3 -3) ( 3 -2) ( 3 -1) ( 3 0) ( 3 1)
Nr. 24 2 33 11 42 20 51 29
,,d ,,a ,,e ,,h ,,fis ,,cis ,,gis ,,dis ,,ais
( 2 -6) ( 2 -5) ( 2 -4) ( 2 -3) ( 2 -2) (-2 -1) ( 2 0) ( 2 1) ( 2 2)
7 38 16 47 25 3 34 12 43
,f ,c ,g ,d ,a ,e ,h ,fis ,cis
( 1 -5) ( 1 -4) ( 1 -3) ( 1 -2) ( 1 -1) ( 1 0) ( 1 1) ( 1 2) ( 1 3)
21 52 30 8 39 17 48 26 4
as es b f c g d a e
( 0 -4) ( 0 -3) ( 0 -2) ( 0 -1) ( 0 0) ( 0 1) ( 0 2) ( 0 3) ( 0 4)
35 13 44 22 0 31 9 40 18
'ces 'ges 'des 'as 'es 'b 'f 'c 'g
(-1 -3) (-1 -2) (-1 -1) (-1 0) (-1 1) (-1 2) (-1 3) (-1 4) (-1 5)
49 27 5 36 14 45 23 1 32
''eses ''heses ''fes ''ces ''ges ''des ''as ''es ''b
(-2 -2) (-2 -1) (-2 0) (-2 1) (-2 2) (-2 3) (-2 4) (-2 5) (-2 6)
10 41 19 50 28 6 37 15 46
Vergleich von: ,,,,cisis=,,d+S /,,,,disis=''eses+K / ,,,h=''b+K-S(siehe oben) hier:
(3 2)=(2 -6)+S, ⇒ S=(1 8) d.h. S=gT+8q (-5Ok, Darstellung mod. Oktave)
(4 -7)=(-2 -2)+K ⇒ K=(6 -5) d.h. K=6gT-5q (+Ok)
(3 -7)=(-2 6)+K-S ⇒ K-S=(5 -13)
S=(1 8) K=(6 -5) oder S=gT+8Q(-5Ok) und K=6gT-5Q(+Ok)
Wichtig
Kleisma=6gT5Q+Ok = 8,10727886207182 Cent ist das Intevall von- '''fes nach ,,,eis oder
- von c nach ,,,,,,hisis