Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

Forsetzung von Studien im Gebiete der reinen Stimmung

Das 53stufige Tanaka-Parallelogramm

Hier wird die Eulerschreibweise der reinen Stimmung mit Tief- und Hochkomma verwendet.
Die Zahlen geben den Ort der Töne in der Mercator-Tabelle an:
    ,,,fis ,,,cis  ,,,gis   ,,,dis  ,,,ais   ,,,eis ,,,his  ,,,fisis
     24       2      33      11      42      20      51      29 
     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
    /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
   /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
  ,,d    ,,a     ,,e     ,,h     ,,fis   ,,cis   ,,gis   ,,dis   ,,ais  
  7      38      16      47      25       3      34      12      43      
   \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
    \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
     ,f       ,c      ,g      ,d      ,a     ,e      ,h      ,fis     ,cis 
      21     52      30       8      39      17      48      26       4    
       \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \ 
        \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
         \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
          as      es      b       f       c       g       d       a       e
          35      13      44      22      0      31       9      40       18
           \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
            \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
             \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
            'ces     'ges    'des    'as     'es     'b      'f      'c      'g 
              49     27       5       36     14      45      23       1      32
               \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
                \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
                 \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
                ''eses   ''bb    ''fes   ''ces   ''ges   ''des   ''as    ''es    ''b   
                 10      41      19      50       28       6      37      15      46

Enharmonische außerhalb des Parallelogramms

S=Schisma = 2 Cent K=Kleisma = 8 Cent

oben

      Fortsetzung des Parallelogramms
     ,,,,dis  ,,,,ais ,,,,eis ,,,,his ,,,,fisis ,,,,cisis ,,,,gisis ,,,,disis ,,,,aisis ,,,,eisis     
        10      41     19       50      28       6          37         15        46     24
       /  \    / \    /  \     /  \    /  \     /  \       / \        /   \    /    \   /
      /    \  /   \  /    \   /    \  /    \   /    \     /   \      /     \  /      \ /
   ,,,h ,,,fis ,,,cis  ,,,gis     ,,,dis  ,,,ais   ,,,eis      ,,,his   ,,,fisis ,,,cisis 
    46    24       2      33        11       42       20        51          29       7
   neu   alt                                                                alt     neu 
Enharmonische Verwechslungen:
,,,h=''b+K-S / ,,,cisis=,,d+S
,,,,dis=''eses+K / ,,,,ais=''heses+K / ,,,,eis=''fes+K / ,,,,his=''ces+K /,,,,fisis=''ges+K
,,,cisis=''des+K/ ,,,,gisis=''as+K/ ,,,,disis=''es+K/ ,,,,aisis=''b+K/ ,,,,eisis=,,,fis+S

unten

         ''asas  ''eses   ''bb   ''fes   ''ces  ''ges   ''des   ''as  ''es   ''b     ''f
         32(neu)  10(alt>  41     19      50      28      6      37     15    46(alt) 24(neu)
        /  \      /\      / \    /  \     / \     / \    / \    / \   /  \   /  \    /  \
       /    \    /  \    /   \  /    \   /   \   /   \  /   \  /   \ /    \ /    \  /    \
'''feses '''ceses '''geses '''deses '''asas '''eses '''bb '''fes '''ces  '''ges '''des '''as
     15      46       24       2       33       11    42    20      51      29     7      38
Enharmonische Verwechslungen:
''asas='g-S / ''f=,,,fis-K+S
'''feses=''es-S / '''ceses=''b-S / '''geses=,,,fis-K / '''deses=,,,cis-K / '''asas=,,,gis-K / '''eses=,,,dis-K
''bb=,,,ais-K / '''fes=,,,eis-K / '''ces=,,,his+K / '''ges=,,,fisis+K / '''des=,,d-K+S / '''as=,,a-K+S

Tabelle

k=syntonisches Komma=21,5 Cent, K=Kleisma=8,1 Cent
Nr Cent     Schritt Ton + Enharmonische
00   0,000          c        ,his-S 
01  21,506  k       'c       h-S
02  49,166  k+K-S   ,,,cis   '''deses+K
03  70,672  k       ,,cis    ''''deses+K
04  92,179  k       ,cis     des+S            
05 111,731  k-S     'des     cis-S 
06 133,237  k       ''des    ,,,,cisis-K     
07 160,897  k+K-S   ,,d      '''des+K-S
08 182,404  k       ,d       eses+S
09 203,910  k       d        'eses+S
10 223,463  k-S     ''eses   ,,,,dis-K      
11 253,076  k+K     ,,,dis   '''eses+K
12 274,582  k       ,,dis    ,es+S
13 294,135  k-S     es       ,dis-S
14 315,641  k       'es       dis+S
15 337,148  k       ''es     ''''disis-K  '''feses+S
16 364,807  k+K-S   ,,e      ,fes+S
17 386,314  k       ,e       fes+S
18 407,820  k       e        fes+S
19 427,373  k-S     ''fes    ,,,,eis-K     
20 456,986  k+K     ,,,eis   '''fes+K
21 476,539  k-S     ,f       ,,eis-S
22 498,045  k       f        ,eis-S
23 519,551  k       'f       eis-S
24 547,211  k+K-S   ,,,fis   ,,,,eisis-S  ''f+K-S      '''geses+K
25 568,717  k       ,,fis
26 590,224  k       ,fis     ges+S
27 609,776  k-S     'ges     fis-S
28 631,283  k       ''ges    ,,,fisis-K    
29 660,896  k+K      ,,,fisis '''ges+K
30 680,449  k-S      ,g           
31 701,955  k        g       ,fisis-S
32 723,461  k        'g      ''asas+S
33 751,121  k+K-S    ,,,gis  '''asas+K
34 772,627  k        ,,gis   ,as+S
35 792,180  k-S      as      ,gis-S  (genau 792,179996538)
36 813,686  k        'as     gis-S
37 835,193  k        ''as    ,,,,gisis-K
38 862,852  k+K-S    ,,a     '''as+K-S
39 884,359  k        ,a      ''''as+K-S
40 905,865  k        a       'bb+S (bb=heses)
41 925,418  k-S      ''bb    ,,,,ais-K      
42 955,031  k+K      ,,,ais  '''bb+K
43 976,537  k        ,,ais   ''''bb+K
44 996,090  b         ,ais-S (genau 996,089998269)
45 1017,596 k-S       'b     ais-S
46 1039,103 k         ''b    ,,,h-K+S ,,,,aisis-K '''ceses+S
47 1066,762 k+K-S     ,,h
48 1088,269 k         ,h     ces+S
49 1107,821 k-S       'ces   h-S
50 1129,328 k         ''ces  ,,,,his-K      
51 1158,941 k+K       ,,,his '''ces+K
52 1178,494 k-S       ,c
53 1200,000 k
Summe 53k+12K-19S=1200 Cent
Probe mit k=4Q-gT-2Ok=21,5 Cent, K=6gT+Ok-5Q=8,1 und S=8Q+gT-5Ok=1,95 Cent
Summe = 53*(4Q-gT-2Ok)+12*(6gT+Ok-5Q)-19*(8Q+gT-5Ok)=1Ok

Fortsetzung der Quintenreihe

f        c        g        d        a        e        h 
22       0        31       9        40       18       49 

fis      cis      gis      dis      ais      eis      his=c
27       5        36       14       45       23       1
 
fisis    cisis    gisis    disis    aisis    eisis    hisis
32       10       41       19       50       28       6
'g       ''eses   ''bb     ''fes    ''ces    ''ges    ''des 
+S        +2S     +2S      +2S      +2S       +2S     +2S
 
fisisis     cisisis      gisisis      disisis ...      
37          15           46           24       
''as        ,,es         ''b          ,,,fis-2,246116498 Cent   
+2S         +2S          +2S     

disisis=23*Q-13*Ok 
,,,fis=6*Q-3*Ok-3k
,,,fis-disisis=10*Ok-17*Q-3k=2,246116498 

Fortsetzung derTerzreihe

c ,e ,,gis ,,,his
0 17 34    51

,,,,d2# ,,,,,f3# ,,,,,,a3# ,,,,,,,c4#  (4,5,6,7 Kommata)
15      32       49        13
''es+K  'g+K    'ces+K+S  es+K+S

,,,,,,,,e4# ,,,,,,,,,g5# ,,,,,,,,,,h5# (8,9,10 Kommata)
30          47           11
,g+K+S      ,,h+K+S      ,,,dis+K+S

,,,,,,,,,,,d6# (8 Kommata)
28                      näher bei 29
''ges+2K+S              ,,,fisis-11,445289947 Cent
''ges+18,168278512 Cent

Das 53stufige Tanaka-Parallelogramm mathematisch

(x y) bedetet: von c aus x große Terzen plus y Quinten: (x y)=c+xkT+yQ
Zum Beispiel: (0 0)=c
(2 -4)=c+2gT-4Q=,,e nämlich c ,e (2 Terzen aufwärts, dann 4 Quinten abwärts) ,,gis ,,cis ,,fis ,,h ,,e
(-2 4)=-2*gT+4*Q=''as nämlich c 'as ''fes (2 Terzen abwärts, dann 4 Quinten aufwärts) ''ces ''ges ''des ''as
        ,,,fis  ,,,cis  ,,,gis  ,,,dis  ,,,ais  ,,,eis  ,,,his  ,,,fisis   
        ( 3 -6) ( 3 -5) ( 3 -4) ( 3 -3) ( 3 -2) ( 3 -1) ( 3  0) ( 3  1)
Nr.      24      2       33      11      42      20      51      29      

,,d     ,,a     ,,e      ,,h     ,,fis  ,,cis   ,,gis   ,,dis   ,,ais 
( 2 -6) ( 2 -5) ( 2 -4) ( 2 -3) ( 2 -2) (-2 -1) ( 2  0) ( 2  1) ( 2  2)
 7       38      16      47      25      3       34      12      43 

,f      ,c      ,g      ,d      ,a      ,e      ,h      ,fis    ,cis
( 1 -5) ( 1 -4) ( 1 -3) ( 1 -2) ( 1 -1) ( 1  0) ( 1  1) ( 1  2) ( 1  3)
 21      52      30      8       39      17      48      26      4

as      es      b       f       c       g       d       a       e  
( 0 -4) ( 0 -3) ( 0 -2) ( 0 -1) ( 0  0) ( 0  1) ( 0  2) ( 0  3) ( 0  4)
 35      13      44      22      0       31      9       40      18 

'ces    'ges    'des    'as     'es     'b      'f      'c      'g
(-1 -3) (-1 -2) (-1 -1) (-1  0) (-1  1) (-1  2) (-1  3) (-1  4) (-1  5)
 49      27      5       36      14      45      23      1       32

''eses  ''heses ''fes   ''ces   ''ges   ''des   ''as    ''es    ''b
(-2 -2) (-2 -1) (-2  0) (-2  1) (-2  2) (-2  3) (-2  4) (-2  5) (-2  6)
 10      41      19      50      28      6       37      15      46
Vergleich von: ,,,,cisis=,,d+S /,,,,disis=''eses+K / ,,,h=''b+K-S(siehe oben) hier:
(3 2)=(2 -6)+S, ⇒ S=(1 8) d.h. S=gT+8q (-5Ok, Darstellung mod. Oktave)
(4 -7)=(-2 -2)+K ⇒ K=(6 -5) d.h. K=6gT-5q (+Ok)
(3 -7)=(-2 6)+K-S ⇒ K-S=(5 -13)
S=(1 8) K=(6 -5) oder S=gT+8Q(-5Ok) und K=6gT-5Q(+Ok)

Wichtig

Kleisma=6gT5Q+Ok = 8,10727886207182 Cent ist das Intevall von