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Sinus- und Kosinussatz

Alle Sätze und Beweise sind "Folklore"

Vorbemerkungen:

sin2pluscos2

     a        b       b
sinα=— , cosα=—, tanα=— 
     c        c       a

sin²α+cos²α=1

Beweis:

                 2    2    2   2
   2       2    a    b    a + b
sin α + cos α = —— + —— = —————— = 1, 
                 2    2      2
                c    c      c

                                 2   2   2 
da nach dem Satz von Pythagoras a + b = c

sincos_allg

Die Werte von sin, cos und tan werden zunächst im rechtwinkligen Dreieck
für Winkel zwischen 0° und 90° definiert.
In der Figur ist gezeigt, wie der Definitionsbereich im Einheitskreis für beliebige Winkel erweitert wird.


sin(180°-α)=sin(α)     sin(180°+α)=-sin(α)   sin(360°-α)=-sin(α)

cos(180°-α)=-cos(α)    cos(180°+α)=-cos(α)   cos(360°-α)=cos(α)
             
tan(18°-α)=-tan(α)     tan(180°+α)=tan(α)    tan(360°-α)=-tan(α)

Zum Beispiel:

sin(150°)=sin(30°)     sin(210°)=-sin(30°)   sin(330°)=-sin(30°)
                                   
cos(150°)=-cos(30°)    cos(210°)=-cos(30°)   cos(330°)=cos(30°)

tan(150°)=-tan(150°    tan(210°)=tan(30°)    tan(330°)=-tan(30°)

Weiter gilt natürlich: sin(360°+α)=sin(α)    cos(360°+α)=cos(α) 

                       tan(360°+α)=tan(α)    usw.

sinussatz

Sinussatz

In dem eingezeichneten Dreieck gilt

 
    sinα   sinβ   sinγ  
    ———— = ———— = ————  
      a      b     c

Beweis: Mit der eingezeichneten Höhe h_c auf c folgt

kreuzprodukt

     h           h
      c           c
sinα=—— und sinβ=——  
      b           a

⇒ h_c=b·sinα=a·sinβ


sinα   sinβ
———— = ———— ∎ 
 a      b

Ganz ähnlich kann man zeigen:

sinα   sinγ
———— = ————. 
 a      c

sinussatz

Für stumpfe Winkel, zum Beispiel α›90°, gilt:

            h           h
             c           c
sin(180°-α)=—— und sinβ=——
             b           a

Da sin(180°-α)=sinα kann man wieder zeigen

sinα   sinβ
———— = ————. 
 a      b

Kosinussatz

kosinussatz

 2   2  2
a = b +c -2bcsinα

Beweis:
Durch die Höhe auf c wird das Dreieck in zwei rechtwinlige Dreiecke geteilt.

Im linken rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten
bsinα und bcosα.

Im rechten rechtwinligen Dreieck Dreieck sind die Katheten
bsinα und c-bcosα.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:


 2   2   2              2   
a = b sin α + (c-b·cosα)    ⇒

  
 2   2   2     2            2   2
a = b sin α + c -2cb·cosα +b cos α

 2   2    2       2       2
a = b (sin α + cos α)  + c - 2bccosα

 2   2    2 
a = b  + c - 2bccosα  ∎ 

Entsprechnend gelten die Formeln:

 2   2    2 
b = a  + c - 2accosβ und

 2   2   2
c = a + b  - 2abcosγ

cuxhafen

Aufgabe1

Entfernung Büsum-Cuxhafen BC=29,3km
Winkel von Schiff nach Cuxhafen und Büsum: ∠CSB=90°
Winkel aus Cuxhaven zwischen dem Hafen Büsum und dem Schiff: ∠SCB=43°
Frage: Wie weit ist das Schiff von Büsum enrtfernt: SB=???
Lösung:

                         SB     SB
Dann sieht man sin(43°)= —— = —————— 
                         BC   29,3km

Also: SB=29,3km·sin(43°) = 20,0 km

cuxhafen

Aufgabe 2

Entfernung Büsum-Cuxhafen BC=29,3km
Winkel von Schiff nach Cuxhafen und Büsum: ∠CSB=47°
Winkel aus Cuxhaven zwischen dem Hafen Büsum und dem Schiff: ∠SCB=71°
Frage: Wie weit ist das Schiff von Büsum enrtfernt: SB=???
Lösung: Sinussatz


sin(47°)   sin(71°) 
———————— = ———————— ⇒ sin(47°)*SB = sin(71°)*29,3km
 29,3km      SB
                            (Kreuzprodukt)   

        sin(71°)
⇒ SB = ————————*29,3km = 37,9 km 
        sin(47°)

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Berechne die fehlenen Seitengrößen und Winkel

Faustregel: Die Rechnung erfolgt mit 4 geltenden Ziffern. Das Endergebnis wird dann mit 3 geltenden Ziffern angegeben.

SSS Gegeben: Alle drei Seiten

Gegeben (in cm): a=4, b=5 und c=6

Berechnung:

     2   2  2
Aus a = b +c -2bc·cos(α) folgt
  
        2   2   2 
       b + c - a 
cos(α)=————————— = 0,75 ⇒ α=41,41°
        2bc

    sin(α)   sin(β)
Aus —————— = —————— folgt
      a        b

       b  
sin(β)=—sin(α)=0,8268 ⇒ β=55,77° und γ=180°-α-β=82,82°
       a

Ergebnis: α=41,4°, β=55,8°, γ=82,8°

SWS Gegeben Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel

Gegeben (in cm):b=4, c=5 und α=120°.

Berechnung:


 2   2  2
a = b +c -2bc·cos(α)=61 ⇒ a=7,810

    sin(β) sin(α)              b
Aus ——————=—————— folgt sin(β)=—sin(α)=0,4435
      b      a                 a

⇒ β=26,33° und γ=180°-α-β=33,67°

Ergebnis: a=7,81 β=26,3°, γ=33,7°

WSW Gegeben Eine Seiten und zwei anliegende Winkel

Gegeben (in cm):c=6, α=32°, β=85°
Berechnung:
γ=180°-α-β=63°


       a        c
Aus —————— = —————— folgt
    sin(α)   sin(γ)

  sin(α) 
a=——————c=3,568
  sin(γ)

       b        c
Aus —————— = —————— folgt
    sin(β)   sin(γ)

  sin(β) 
b=——————c=6,708
  sin(γ)

Ssw Gegeben Zwei Seiten gegenüber der größeren Seite den Winkel

Gegeben (in cm):a=5, b=6, β=40°
Berechnung:


    sin(α)   sin(β)
Aus —————— = —————— folgt
      a        b

       a 
sin(α)=—sin(β)=0,5357 ⇒ α=32,39°
       b

γ=180°-α-β=107,61°

      c         b           sin(γ)
Aus —————— = —————— folgt c=——————b=8,897
    sin(γ)   sin(β)         sin(β)

Ssw Gegeben Zwei Seiten gegenüber der kleineren Seite den Winkel

Gegeben (in cm):a=12, b=10, β=42°
Rechnung:

   sin(α)   sin(β)           
Aus —————— = —————— 
      a        b                

             a
folgt sin(α)=—sin(β)=0,7972
             b

α =52,86° und α =180°-α =127,14° 
 1             2       1

γ =85,51°      γ =11,23°
 1              2

       c       b
Aus —————— = —————— folgt 
    sin(γ)   sin(β)

  sin(γ)
c=——————b
  sin(β)

Also c =15,01 und c =2,932
      1            2