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Alle Sätze und Beweise sind "Folklore"
a b b sinα=— , cosα=—, tanα=— c c a
2 2 2 2 2 2 a b a + b sin α + cos α = —— + —— = —————— = 1, 2 2 2 c c c 2 2 2 da nach dem Satz von Pythagoras a + b = c
Die Werte von sin, cos und tan werden zunächst im rechtwinkligen Dreieck
sin(180°-α)=sin(α) sin(180°+α)=-sin(α) sin(360°-α)=-sin(α) cos(180°-α)=-cos(α) cos(180°+α)=-cos(α) cos(360°-α)=cos(α) tan(18°-α)=-tan(α) tan(180°+α)=tan(α) tan(360°-α)=-tan(α) Zum Beispiel: sin(150°)=sin(30°) sin(210°)=-sin(30°) sin(330°)=-sin(30°) cos(150°)=-cos(30°) cos(210°)=-cos(30°) cos(330°)=cos(30°) tan(150°)=-tan(150° tan(210°)=tan(30°) tan(330°)=-tan(30°) Weiter gilt natürlich: sin(360°+α)=sin(α) cos(360°+α)=cos(α) tan(360°+α)=tan(α) usw.
sinα sinβ sinγ ———— = ———— = ———— a b c
h h c c sinα=—— und sinβ=—— b a⇒ hc=b·sinα=a·sinβ
sinα sinβ ———— = ———— ∎ a b Ganz ähnlich kann man zeigen: sinα sinγ ———— = ————. a c
Für stumpfe Winkel, zum Beispiel α›90°, gilt:
h h c c sin(180°-α)=—— und sinβ=—— b a Da sin(180°-α)=sinα kann man wieder zeigen sinα sinβ ———— = ————. a b
2 2 2 a = b +c -2bcsinα
2 2 2 2 a = b sin α + (c-b·cosα) ⇒ 2 2 2 2 2 2 a = b sin α + c -2cb·cosα +b cos α 2 2 2 2 2 a = b (sin α + cos α) + c - 2bccosα 2 2 2 a = b + c - 2bccosα ∎ Entsprechnend gelten die Formeln: 2 2 2 b = a + c - 2accosβ und 2 2 2 c = a + b - 2abcosγ
SB SB Dann sieht man sin(43°)= —— = —————— BC 29,3km Also: SB=29,3km·sin(43°) = 20,0 km
sin(47°) sin(71°) ———————— = ———————— ⇒ sin(47°)*SB = sin(71°)*29,3km 29,3km SB (Kreuzprodukt) sin(71°) ⇒ SB = ————————*29,3km = 37,9 km sin(47°)
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2 2 2 Aus a = b +c -2bc·cos(α) folgt 2 2 2 b + c - a cos(α)=————————— = 0,75 ⇒ α=41,41° 2bc sin(α) sin(β) Aus —————— = —————— folgt a b b sin(β)=—sin(α)=0,8268 ⇒ β=55,77° und γ=180°-α-β=82,82° a
Ergebnis: α=41,4°, β=55,8°, γ=82,8°
2 2 2 a = b +c -2bc·cos(α)=61 ⇒ a=7,810 sin(β) sin(α) b Aus ——————=—————— folgt sin(β)=—sin(α)=0,4435 b a a ⇒ β=26,33° und γ=180°-α-β=33,67°
Ergebnis: a=7,81 β=26,3°, γ=33,7°
a c Aus —————— = —————— folgt sin(α) sin(γ) sin(α) a=——————c=3,568 sin(γ) b c Aus —————— = —————— folgt sin(β) sin(γ) sin(β) b=——————c=6,708 sin(γ)
sin(α) sin(β) Aus —————— = —————— folgt a b a sin(α)=—sin(β)=0,5357 ⇒ α=32,39° b γ=180°-α-β=107,61° c b sin(γ) Aus —————— = —————— folgt c=——————b=8,897 sin(γ) sin(β) sin(β)
sin(α) sin(β) Aus —————— = —————— a b a folgt sin(α)=—sin(β)=0,7972 b α =52,86° und α =180°-α =127,14° 1 2 1 γ =85,51° γ =11,23° 1 2 c b Aus —————— = —————— folgt sin(γ) sin(β) sin(γ) c=——————b sin(β) Also c =15,01 und c =2,932 1 2