Joachim Mohr Mathematik Musik Delphi
Zeichnungen mit TTGeo2
Konstruktion mit Zirkel und Lineal
Komplexe Zahlen werden mit Punkten identifiziert.
Allgemein gilt:
Addition und Subtraktion als Vektoraddition und -Subtraktion.
Multiplikation und Kehrwert reeller Zahlen mit Hilfe des Strahlensatzes
Multiplikation komplexer Zahlen über Polarkoordinaten:
acis(α)·bcis(β)=abcis(α+β) Kehrwert von acis(α)=
1/
acis(-α) (a,b∈ℝ).
Winkeladdition mit Zirkel und Lineal: Über Kreisabschnitt
Punkte auf der komplexen Zahlenebene, die mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können:
Hier komplizierter
Ausgehend von den Punkten 0 und 1 kann konstruiert werden
(a) Der Punkt i (senkrechte auf Geraden durch 0 und 1 und Strecke 01 übertragen auf 0i
(b) Alle Punkte
z/
n (z∈ℤ, n∈ℕ) auf der Re-Achse und alle Punkte
z/
ni (z∈ℤ, n∈ℕ)
auf der Im-Achse.
Konstruktion zum Beispiel von 5/3
Konstruktion der Parallelen:
(1)Senkrechte durch i zur Geraden durch 3i und 5.
(2)Senkrechte zur Senkrechten durch i.
(c) Alle Punkte auf K
1=ℚ(i)={a+bi|a,b∈ℚ} (Schnittpunkte von Parallelen zur Re- und Im-Achse).
(d) Außerdem können noch Quadratwurzeln √
a (∈ℚ
+) konstruiert werden
und man kann dann alle Punkte von K
2=ℚ(i,√
a) (a∈ℚ
+) konstruieren.
Kontruktion von √a (a›0)
Nach dem Höhensatz ergibt sich mit
den Hypothenusenabschnitten 1 und a (a›0)
die Höhe h=√a
(e) In dieser Körpererweiterung und allen weiteren können Zahlen als Vektoren addiert und subtrahiert werden.
Auf diese Weise kann man weitere Wurzeln konstruieren und entsprechende Körpererweiterungen erhalten.
Beispiel: Konstruktione von √z für z=r·cis(φ) (r∈ℝ):
√z=√r·cis(φ/2)
bzw. √z=√r·cis(φ/2+180°)
(f) Mit diesen Konstruktionen sind alle Konstruktionen mit Zirkel und Lineal erfaßt.
Zusammenfassung
Ein Punkt x∈ℂ in der komplexen Zahlenebene ist mit Zirkel und Lineal dann und nur dann konstruierbar, wenn es eine Folge von Körpererweiterungen
von K
0=ℚ(i) gibt mit
K
0
⊆K
1=K
0(√a
1)
⊆K
2=K
1(√a
2)
⊆...
⊆K
n =K
n-1(√a
n)
gibt so, dass x∈K
n=ℚ(i,a
1,a
1,...,a
n) ist, wobei a
1∈K
0 , a
2 ∈K
1, ... ,
a
n∈K
n-1 ist.
Grad(K ,K )=2 (2≤j≤n), falls a keine Quadratzahl in K ist.
j j-1 j j-1
k
auf jeden Fall ist Grad(K ) = 2 für ein k∈ℕ.
n
Satz: Die Menge der konstruierbaren Punkte in in ℂ ist ein Körper.
Hinweis: Mit Zirkel und Lineal heißt: Das Lineal darf keine Markierungen besitzen. Wie man mit Zirkel und
Lineal Senkrechte und Parallelen zeichnet und Strecken mit dem Zirkel übeträgt, wird als bekannt vorausgesetzt.
Bemerkungen: Alle konstruierbaren Punkte sind algebraisch.
Der Grad des Minimalpolynoms eine konstruierbaren komplexen Zahl hat den Grad 2n.
*
Die drei Konstruktioneprobleme des klassischen Altertums. Siehe
hier
Delische Problem (einfach, da [ℚ(∛2):ℚ]=3)
Einschub: Was sind algebraische und transzendente Zahlen?
Quadratur des Kreises (einfach, da Lindemann bewies, dass π transzendent ist).
Dreiteilung des Winkels. (
g28)
Aus
Wikipedia:
Dreiteilung des Winkels: Ein Winkel mit dem Gradmaß 60° kann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, da cos(60°)=
1/
2,
aber nicht in drei gleiche Teile geteilt werden. Wäre dieser Winkel – also 20° – konstruierbar, dann könnte man auch die reelle Zahl ξ=cos(20°) konstruieren. Für jeden Winkel α gilt das Additionstheorem
cos(3α)=4(cos(α))
3-3cos(α). Also löst unsere Zahl ξ die Gleichung
1/
2=4x
3-3x und ist daher eine Nullstelle von p(x)=8x
3-6x-1. Da dieses Polynom über ℚ irreduzibel ist (sonst hätte es eine Nullstelle in ℚ), ist [ℚ(ξ):ℚ]=3.
Das Polynom p hat keine
Wurzel w=z/n in ℚ, denn dann müßte
z=±1 und n=1,2,4 oder 8 sein, was durch Nachrechnen keine Nullstelle ergibt.
Dreiteilung als Neusis-Konstruktion.
Siehe g03.php g51.php
Läßt man weiter Kontruktionsschritte wie die Technik des Papierfaltens oder
Neusis-Knstruktionen zu zu so sind zumindest
die Winkeldreiteilung und die Duplikation des Volumens eines Würfels lösbar. (Siehe
Diplomarbeit von Denise MESIC an der Karl-Franzens-Universität in Graz.)