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FLA 380 ausführlich
aber gut zu lesen

Würfelverdopplung

Es handelt sich hier um die Aufgabe, zu einem gegebenen Würfel einen Würfel mit doppelten Volumen mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.
Algebraisch bedeutet dies: w=(∛3) liegt in einem Teilkörper von ℂ, der aus ℚ durch sukzessive Adjunktion von (komplexen) Quadratwurzeln gewonnen werden kann.

Quadratur des Kreises

Dreiteilung des Winkels

Das Problem lässt sich zurückführen, ob ich aus bekannten cos(α) die Strecke cos(α/3) konstruieren kann.
Nun gilt: cos(α)=4cos3(α/3)-3cos(α/3). Es handelt sich also um die Lösung einer Gleichung 3. Grades. Und dies ist für zum Beispiel α=40° geometrisch mit Zirkel und Lineal nicht möglich.

Parallelenaxiom

(BAE 195) Lange war umstritten, ob man nicht in einem geeigneten System das Parallelenaxiom beweisen könnte. Erst die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrien zeigte, das dies ein echtes Axiom ist (Nikolai Lobatschewski 1826).
Nebenbei bemerkt: Die Große Fermatsche Vermutung: Es gibt keine ganzen Zahlen a, b und c so, dass für n größer 2 gilt

 n   n    n               3   3    3
a + b  = c  . Also schon a + b  = c  ist unmöglich.

Die Vermutung wurde erst 1994 von Andrew Wiles bewiesen.