Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bedeutet:

Zeichne Kreis, wobei Mittelpunkt und Radius schon vorliegen.
Zeichne Gerade durch zwei bekannte Punkte.
Schnittpunkte von solch konstruierten Geraden und Kreise gelten als bekannt.

Siehe auch hier S. 122

Übersetzung in die komplexe Zahlenebene

Ausgangspunkt Zahl 0 und Zahle 1.

Dann kann Zahl i konstruiert werden

Alle komplex-rationalen Zahlen {a+bi|a,b∈ℚ} können konstruiert werden.

Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

|———————————————————|a
\  /   /   /   /   /
 \1   /   /   /   /
  \  /   /   /   /
   \2   /   /   /       Zum Beispiel ^a/₅
    \  /   /   /        Teilung durch Parallelenschaar
     \3   /   /   
      \  /   /
       \4   /
        \  /
         \5

Quadratwurzeln √a nicht-negativer Zahlen a∈ℚ können konstruiert werden.

Mit dem Höhensatz: Grundstrecke 1+a, Höhe über 1 schneidet den Umkreis in X.
Dann ist die Strecke von 1 nach X ist √a lang.

Mehrfach geschachtelter Quadratwurzeln. Zum Beispiel:

  
    —
√2+√3

Also alle komplexen Zahlen in ℚ adjungiert Quadrqtwurzeln und mehrfach geschachtelte Quadratwurzen

Satz: Eine mit Zirkel und Lineal konstruierte Zahl in ℂ ist in einem Körper, der aus {a+bi|a,b∈ℚ} durch Adjunktion von Wurzeln und mehrfach geschachtelten Wurzeln entsteht.

Satz 3.3.2 (Konstruierbarkeit und quadratische Erweiterungen). Quelle S.484.
Die folgenden beiden Teilmengen K und Q von C stimmen überein:
1. Die kleinste Teilmenge K ⊂ ℂ, die 0 und 1 enthält und stabil ist unter elementaren Konstruktionen;
2. Der kleinste Teilkörper Q ⊂ ℂ, der stabil ist unter dem Bilden von Quadratwurzeln.

a ist eine konstruierbare Zahl genau dann, wenn es ineinander geschachtelte Körpererweiterungen gibt mit ℚ⊂K₁⊂K₂⊂K₃⊂...⊂K_n, so dass a∈K_n und jedes K_i+1 von der Form K_i+1=K_i(√b) für b∈K_i ist. (Quelle).
Der Grad der Körpererweiterung ist dann 2ⁿ (Kunz S.29).
Bew.: Bei Adjunktion von Wurzeln multipliziert sich der Grad der Erweiterung mit 2.