J o a c h i m   M o h r           Mathematik Musik Programmieren
Zurück

BAE 68
Siehe auch WP...

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bedeutet:

Übersetzung in die komplexe Zahlenebene

  • Ausgangspunkt Zahl 0 und Zahle 1.
  • Dann kann Zahl i konstruiert werden
  • Alle komplex-rationalen Zahlen {a+bi|a,b∈ℚ} können konstruiert werden.

    Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

    |———————————————————|a
    \  /   /   /   /   /
     \1   /   /   /   /
      \  /   /   /   /
       \2   /   /   /       Zum Beispiel a/5
        \  /   /   /        Teilung durch Parallelenschaar
         \3   /   /   
          \  /   /
           \4   /
            \  /
             \5 
    
  • Quadratwurzeln √a nicht-negativer Zahlen a∈ℚ können konstruiert werden.

    Mit dem Höhensatz: Grundstrecke 1+a, Höhe über 1 schneidet den Umkreis in X.
    Dann ist die Strecke von 1 nach X ist √a lang.
  • Mehrfach geschachtelter Quadratwurzeln. Zum Beispiel:
      
        —
    √2+√3
    
    
  • Also alle komplexen Zahlen in ℚ adjungiert Quadrqtwurzeln und mehrfach geschachtelte Quadratwurzen
  • Satz: Eine mit Zirkel und Lineal konstruierte Zahl in ℂ ist in einem Körper, der aus {a+bi|a,b∈ℚ} durch Adjunktion von Wurzeln und mehrfach geschachtelten Wurzeln entsteht.

    Satz 3.3.2 (Konstruierbarkeit und quadratische Erweiterungen). Quelle S.484.
    Die folgenden beiden Teilmengen K und Q von C stimmen überein:
    1. Die kleinste Teilmenge K ⊂ ℂ, die 0 und 1 enthält und stabil ist unter elementaren Konstruktionen;
    2. Der kleinste Teilkörper Q ⊂ ℂ, der stabil ist unter dem Bilden von Quadratwurzeln.
    a ist eine konstruierbare Zahl genau dann, wenn es ineinander geschachtelte Körpererweiterungen gibt mit ℚ⊂K1⊂K2⊂K3⊂...⊂Kn, so dass a∈Kn und jedes Ki+1 von der Form Ki+1=Ki(√b) für b∈Ki ist. (Quelle).
    Der Grad der Körpererweiterung ist dann 2n (Kunz S.29).
    Bew.: Bei Adjunktion von Wurzeln multipliziert sich der Grad der Erweiterung mit 2.