Joachim Mohr Mathematik Musik
Diese Version von 2008 ist veraltet. Mit der Eulerschen Schreibweise kann es einfacher erklärt werden.
Version 2019
Die mitteltönige Stimmung von Gioseffo Zarlino (1577)
Zur Bestimmung dieses Systems benötigt man die zwei reinen Intervalle Oktave und große Terz. Weitere Intervalle werden durch "Mittelungen" bestimmt. Diesen gemittelten Tönen kann kein rationales Frequenzverhältnis zugeordnet werden. Deshalb steht in Klammer die Centangabe):
(a) Die Oktave Ok (1200 Cent) (b) Die große Terz gT ( 386 Cent) (c) Der mitteltönige Ganzton mG mit mG+mG = gT ( 193 Cent) (d) Die mitteltönige Quinte mQ mit mQ+mQ = Ok + mG ( 697 Cent) Für den Mathematiker: Ok = 1200 Cent (Festlegung, Frequenzverhältnis 2) gT = lb(5/4)*Ok = 386,314 Cent (Frequenzverhältnis 5/4) mQ = (2*Ok + gT)/4 = 696,578 Cent (Frequenzverhältnis 5^(1/4)) Als Grundintervalle in diesem System genügen: (1) Die Oktave Ok (1200 Cent) (2) Der mitteltönige Ganzton mG ( 193 Cent) (3) Die mitteltönige Quinte mQ ( 697 Cent) Die weiteren Intervalle sind dann: die große Terz gT=2·mG die mitteltönige Quarte mq=Ok-mQ der mitteltönige Halbton mH=mq-gTDrei reine Terzen ergeben keine exakte Oktave. Der Unterschied - die kleine Diesis - ist 3gT-Ok (41 Cent).
Die mitteltönige Stimmung systematisch
Bei der mitteltönigen Stimmung werden 11 Quinten des Quintezirkels um je 1/4 des syntonischen Kommas verkleinert. Statt 702 Cent der reinen Quinte haben die Quinten den Abstand 697 Cent. Für die 12. Quinte, die Wolfsquinte, in Wahrheit eine verminderte Sexte, ergibt sich dann das unbrauchbare Intervall von 738 Cent.Mit o=1200 (Oktave) und q=696,57 (mitteltönige Quinte) errechnen sich aus den elf Quinten die Töne zu
(alles in Cent):
es=-3q+2o = 310 b=-2q+2o =1007 f=-q+o = 503 c=0 = 0 g=q = 697 d=2q-o = 193 a=3q-o = 890 e=4q-2o = 386 h=5q-2o =1083 fis=6q-3o = 579 cis=7q-4o = 76 gis=8q-4o = 773Neu geordnet:
c=0 = 0 cis=7q-4o = 76 d=2q-o = 193 es=-3q+2o = 310 e=4q-2o = 386 f=-q+o = 503 fis=6q-3o = 579 g=q = 697 gis=8q-4o = 773 a=3q-o = 890 b=-2q+2o =1007 h=5q-2o =1083Spielbar sind alle Tonleitern mit maximal 2 B's (B-Dur / g-moll) oder maximal 3 Kreuze (A-Dur / fis-moll, natürliches moll, nicht harmonisch moll mit dis und eis).
Rechnung dazu:
B-Dur / g-moll (bezogen auf den Grundton) b_=-2q+2o-b = 0 c_=0+o-b = 193 d_=2q-o+o-b = 386 es_=-3q+2o+o-b= 503 f_=-q+o+o-b = 697 g_=q+o-b = 890 a_=3q-o+o-b =1083 F-Dur / d-moll (bezogen auf den Grundton) f_=o-q-f = 0 g_=q-f = 193 a_=3q-o-f = 386 b_=2o-2q-f = 503 c_=0+o-f = 697 d_=2q-o+o-f = 890 e_=4q-2o+o-f =1083 C-Dur / a-moll c=0 = 0 d=2q-o = 193 e=4q-2o = 386 f=o-q = 503 g=q = 697 a=3q-o = 890 h=5q-2o =1083 G-Dur / e-moll g_=q-g = 0 a_=3q-o-g = 193 h_=5q-2o-g = 386 c_=0+o-g = 503 d_=2q-o+o-g = 697 e_=4q-2o+o-g = 890 fis_=6q-3o+o-g=1083 D-Dur / h-moll d_=d-d =0 e_=e-d =193 fis_=fis-d =386 g_=g-d =503 a_=a-d =697 h_=h-d =890 cis_=cis+o-d =1083 A-Dur / fis-moll a_=3q-o-a = 0 h_=5q-2o-a = 193 cis_=7q-4o+o-a= 386 d_=2q-o+o-a = 503 e_=4q-2o+o-a = 697 fis_=6q-3o+o-a= 890 gis_=8q-4o+o-a=1083
Die schwarzen Tasten doppelt belegt (fünf Subsemitonien)
Mehr Tonarten können gespielt werden, wenn die schwarzen Tasten doppelt belegt werden.Cis/Des, Dis/Es, Fis/Ges, Gis/As und Ais/B. In diesem Fall wird der mitteltönige Quintenzirkel um fünf weitere Quinten erweitert. Man benützt dann also insgesamt die folgeden 17 (=12+5) Töne.
ges=-6q+4o = 621 des=-5q+3o = 117 as=-4q+3o = 814 es=-3q+2o = 310 b=-2q+2o =1007 f=-q+o = 503 c=0 = 0 g=q = 697 d=2q-o = 193 a=3q-o = 890 e=4q-2o = 386 h=5q-2o =1083 fis=6q-3o = 579 cis=7q-4o = 76 gis=8q-4o = 773 dis=9q-5o = 269 ais=10q-5o = 966Neu geordnet:
c=0 = 0 cis=7q-4o = 76 des=-5q+3o = 117 d=2q-o = 193 dis=9q-5o = 269 es=-3q+2o = 310 e=4q-2o = 386 f=-q+o = 503 fis=6q-3o = 579 ges=-6q+4o = 621 g=q = 697 gis=8q-4o = 773 as=-4q+3o = 814 a=3q-o = 890 ais=10q-5o = 966 b=-2q+2o =1007 h=5q-2o =1083 c=o =1200 (entspricht 0 Cent)Man sieht, dass sich die "schwarzen" Tasten erheblich unterscheiden:
Des-Cis=Es-Des=Fis-Ges=Gis-As=H-B=41 Cent. Spielbar sind alle Tonleitern mit maximal 5 B's (Des-Dur / b-moll) oder maximal 5 Kreuze (H-Dur / gis-moll, natürliches Moll).
Rechnung dazu:
Es-Dur /c-moll es_=es-es = 0 f_=f-es = 193 g_=g-es = 386 as_=as-es = 503 b_=b-es = 697 c_=c+o-es = 890 d_=d+o-es =1083 As-Dur /f-moll as_=as-as = 0 b_=b-as = 193 c_=c+o-as = 386 des_=des+o-as = 503 es_=es+o-as = 697 f_=f+o-as = 890 g_=g+o-as =1083 Des-Dur /b-moll des_=des-des = 0 es_=es-des = 193 f_=f-des = 386 ges_=ges-des = 503 as_=as-des = 697 b_=b-des = 890 c_=c+o-des =1083 E-dur / cis-moll e_=e-e = 0 fis_=fis-e = 193 gis_=gis-e = 386 a_=a-e = 503 h_=h-e = 697 cis_=cis+o-e = 890 dis_=dis+o-e =1083 H-dur / gis-moll h_=h-h = 0 cis_=cis+o-h = 193 dis_=dis+o-h = 386 e_=e+o-h = 503 fis_=fis+o-h = 697 gis_=gis+o-h = 890 ais_=ais+o-h =1083
Sieben Subsemitonien
(c) siehe Wikipedia mitteltönige Stimmung
Erweitert man die bisherigen mitteltönigen Quinten noch um zwei weitere, das Eis und das His, die sich von F bzw. C ebenfalls um 41 Cent unterscheiden, so erhält man folgende Töne (gleich geordnet):
c=0 = 0 cis=7q-4o = 76 des=-5q+3o = 117 d=2q-o = 193 dis=9q-5o = 269 es=-3q+2o = 310 e=4q-2o = 386 eis=11q-6o =462 f=-q+o = 503 fis=6q-3o = 579 ges=-6q+4o = 621 g=q = 697 gis=8q-4o = 773 as=-4q+3o = 814 a=3q-o = 890 ais=10q-5o = 966 b=-2q+2o =1007 h=5q-2o =1083 his=12q-6o =1159 c=o =1200Spielbar sind alle Tonleitern mit maximal 5 B's (Des-Dur / b-moll) oder maximal 7 Kreuze (Cis-Dur / ais-moll, natürliches Moll).
Rechnung dazu:
Fis-dur / dis-moll fis_=fis-fis = 0 gis_=gis-fis = 193 ais_=ais-fis = 386 h_=h-fis = 503 cis_=cis+o-fis= 697 dis_=dis+o-fis= 890 eis_=eis+o-fis=1083 Cis-dur / ais-moll cis_=cis-cis = 0 dis_=dis-cis = 193 eis_=eis-cis = 386 fis_=fis-cis = 503 gis_=gis-cis = 697 ais_=ais-cis = 890 his_=his-cis =1083Wichtig: Cis ist um 41 Cent tiefer als Des und damit die Cis-Dur und die Des-Durtonleiter um 41 Cent - fast ein Viertel Ton -verschoben, eine enharmonische Verwechslung also nicht möglich.