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3. Lektion: Beschreibung von Tonsystemen
ohne Akustik, rein hörpsychologisch
veraltete Version
Die axiomatische Einleitung kann für das weitere Verständnis überflogen werden.
Wichtig ist hier: Jedes Intervall kann durch Vergleich mit der Oktave = 1200 Cent gemessen werden.
Zum Beispiel sind 12 Quinten ungefähr sieben Oktaven. Daraus folgt: Quinte ungefähr gleich 7/12 Oktave = 700 Cent.
Ein genauerer Wert ist: Quinte = 702 Cent.
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Lektion 4.
Bisher haben wir Töne und Intervalle durch Frequenzen
und Frequenzverhältnisse beschrieben, aber doch schon die
Grundlagen gelegt, um ohne diese Begriffe auszukommen.
Es gibt zwei wichtige Gründe, die Theorie möglichst
ohne Bezug auf die Akustik zu formulieren:
Die Anschaulichkeit und die
Interpretation
historischer Tonsystembeschreibungen.
Zwischen dem musikalischen Sachverhalt und der Akustik ist ein
ständiger Übersetzungsvorgang nötig, der
Theorien umständlich und unanschaulich macht, und bei
geschichtlichen Betrachtungen Zusammenhänge vorwegnimmt,
die damals noch nicht erforscht waren. Wir wollen nur mit
musikalischen Begriffen auskommen.
Das Verständnis über Töne und Intervalle kann ohne physikalische Begriffe
vermittelt werden. Ein Lehrer kann seinem Schüler "zeigen", was ein Oktave,
eine Quinte, eine große Terz usw. ist, ohne auf das Frequenzverhältnis der
Schwingungen einzugehen. Der Schüler kann dies wiederum seinen Schülern
weiter geben. Im Folgenden wird die zugrundeliegende Theorie erläutert. Dies
ist neben der Anschaulichkeit für die Interpretation historischer
Tonsystembeschreibungen wichtig.
Hier wird ein vereinfachtes Tonsystem nur mit dem Begriffen
"Ton" und "Intervall" verwendet, wie es ähnlich
Wilfried Neumaier beschreibt. Es kommt ohne den Begriff der
reellen Zahlen aus.
Eine exakte Beschreibung findet sich im Anhang der Abhandlung
Axiomensystem.
Man hat einen Tonvorrat (=
Menge von Tönen), zum
Beispiel: ..., c', d', e', f', ... und
eine
Menge von Intervallen zum Beispiel: Oktave, Quinte,
große Terz, ...
Töne und Intervalle sind miteinander verknüpft.
- Zwei Töne bestimmen jeweils ein Intervall, zum
Beispiel (gleich in der passenden Beschreibung):
gT = c'e' (gT ist die Abkürzung für große
Terz, siehe Lektion 1)
Qui = c'g' (Qui ist die Abkürzung für die Quinte)
...
- Umgekehrt gibt es zu jedem Ton und zu jedem Intervall
genau einen zweiten Ton, so dass die zwei Töne gerade
dieses Intervall ausmachen. Zum Beispiel (gleich in der
passenden Beschreibung):
c' + Qui = g', da Qui = c'g'.
- Intervalle kann man addieren (hintereinander
ausführen. Siehe Lektion 2) und subtrahieren.
Für diese Verknüpfung gelten die üblichen
mathematischen Regeln.
Zum Beispiel haben wir in Lektion 2 gesehen.
gSext=Ok-kT für kT=Qui-gT also
folgt gSext=Ok-(Qui-gT) =Ok-Qui+gT =Ok+gT-Qui.
In unserer Vorstellung denken wir uns etwa: c'+gSext=c'+Ok+gT-Qui
=c''+gT-Qui=e''-Qui=a'.
- Eine ganz wichtige Eigenschaft, die uns ermöglicht
Intervalle zu messen ist der
Größenvergleich:
Tönen und Intervallen kann man in ihrer Tonhöhe
bzw. Größe vergleichen. Zum Beispiel:
c'〈 d' (Interpretation:der Ton d' erklingt
höher als der Ton c') und
Qua〈 Qui ("Das Intervall der Quarte ist kleiner
als das Intervall der Quinte").
Damit kann man rechnen. Zum Beispiel:
1 Okt〈 2Qui.
Um das zu verifizieren benötigt man keine Berechnungen
über Frequenzverhältnisse. Ein musikalischer
Mensch hört diese Beziehung, etwa durch
folgenden Vergleich:
c' + Ok = c'' und
c' + (Qui + Qui) = (c' + Qui) + Qui = g' + Qui = d''
d'' erklingt höher als c''. Folglich ist Ok 〈 Qui+Qui
Eines kann man jedoch nicht: Teile von Intervallen
hörpsychologisch bestimmen. Zum Beispiel kann niemand ohne
Taschenrechner und ohne (auf Rechnungen beruhenden)
Auszählen von Schwebungen eine halbe Quinte bestimmen. Diese wäre zwischen
großer und kleiner Terz anzusiedeln. (Wird in
Lektion 5 oder
hier erläutert).
Es hat jedoch Sinn zu schreiben:
Qui 〉
1/
2OK
(Die Quinte ist größer
als eine halbe Oktave).
Die Interpretation ist: 2Qui 〉 1Ok.
Wie
Wilfried Neumaier> ausführt, kann man hörpsychologisch
feststellen, dass
2Qui 〉 1Ok
5Qui 〈 3Ok
12Qui 〉 7Ok
(siehe
Pythagoreisches Komma: 12 Quinten übertreffen 7 Oktaven)
41Qui 〈 24Ok
Man kann also den Ort der Quinte innerhalb der Oktave immer
genauer angeben. Dabei ist es nützlich, die Oktave (= 12 Halbtöne) noch weiter zu unterteilen:
Ok = 1200 Cent.
1
Qui 〉-Ok = 600 Cent
2
3
Qui〈 -Ok = 720 Cent
5
7
Qui 〉——Ok = 700 Cent
12
24
Qui 〉——Ok = 702 Cent
41
Genauere Angaben sind vom Hören her nicht mehr
möglich, nur noch theoretisch.
Die modernen Mathematik macht es uns leicht:
3
Qui = lb(-)Ok = 701,955 Cent)
2
(Zweierlogarithmus:
siehe nächste Lektion)
Wir müssen nur beachten,
3
dass der Frequenzverhältnis der Quinte - ist.
2
Für Mathematiker:
Mit der Kettenbruchentwicklung
kann man immer bessere Brüche
3
als Näherungswerte für lb(-) bestimmen
2
3
(lb(-): siehe Lektion 4)
2
3 7 24 31 179
lb(-) ungefähr gleich ——, ——, ——, ———,
2 12 41 53 306
179 389 9126 18641
———, ———, —————, —————, ...
306 665 15601 31867
Jedes Intervall kann also
(hörpsychologisch ungefähr, mathematisch exakt) mit der
Oktave verglichen werden. Wir besitzen also einen
Maßstab für Intervalle. Dies wird in der
nächsten Lektion behandelt.
Hinweis für Mathematiker: Dieser Tonraum wird an anderer
Stelle
mathematisch exakt
beschrieben.
Die moderne Mathematik gibt uns die Gelegenheit, solche
Strukturen elegant zu studieren. Der Bezug zu den reellen
Zahlen (der Maßstab für ein Intervall) kann dabei
vermieden werden.
Hinweis für Nichtmathematiker: Wenn Sie gT=Qui-kT und gSext=Ok-kT=Ok-(Qui-gT)=Ok+gT-Qui
interpretieren können, haben Sie genügend
mathematisches Hintergrundwissen.
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- Lektion 1 Töne, Intervalle, Frequenzen und Frequenzverhältnisse
- Lektion 2 Hintereinanderausführung zweier Tonschritte. Reine Stimmung
- Lektion 3 Beschreibung von Tonsystemen ohne Akustik
- Lektion 4 Das Centmaß für Intervalle
- Lektion 5 Die gleichstufige Stimmung
- Lektion 6 Das pythagoreische und syntonische Komma
- Lektion 7 Eulersches Tonnetz - Modulationen
- Lektion 8 Mitteltönige und wohltemperierte Stimmungen
- Lektion 9 Der Akkord der 2. Stufe, die Kommafalle, der neapolitanische Sextakkord und die Doppeldominante