Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
Siehe auch Direkte Berechnung des Zweierlogarithmus

Einführung in den Logarithmus

Vorübung zum Zweierlogarithmus:

a) Mit welcher Zahl muss man 2 potenzieren, um 32 zu erhalten?
b) Wie wird diese Zahl geschrieben?

Schauen Sie sich dazu die folgende Tabelle an.

Tabelle zum Logarithmus der Basis 2:

lb2=1,da 21 = 2
lb4=2,da 22 = 4
lb8=3,da 23 = 8
lb16=4,da 24 = 16
lb32=5,da 25 = 32
lb64=6,da 26 = 64
lb128=7,da 27 = 128
lb256=8,da 28 = 256
lb512=9,da 29 = 512
lb1024=10,da 210 = 1024
......

  1
lb-= - 1
  2
    -1  1
da 2  = -
        2

  1
lb-= - 2
  4
    -2  1
da 2  = -
        4
......
y=lb(x) 2y = x


y= lb(x) ist die Zahl, mit der ich zwei potenzieren muss, um x zu erhalten.

y= lb(x) 〈=〉 x=2y

Lösung der Vorübung:
a) Die gesuchte Zahl ist 5, da 25 = 32 ist.
b) Sie wird als lb(32) geschieben, da lb(32) = 5 dasselbe bedeutet wie 25 = 32.

Bemerkung: Auf den üblichen Schultaschenrechnern findet man nur den 10-Logarithmus log oder den natürlichen Logarithmus ln. Den Zweierlogarithmus erhalten Sie dann mit der Formel:
        log(x)              ln(x)
lb(x) = —————  oder lb(x) = —————
        log(2)              ln(2)

                         log32   1,505
Rechnen Sie nach: lb32 = ————— = ————— = 5
                         log2    0,301

Beispiele:
IntervallFrequenzverhältnisLogarithmusin Cent
Prim1:1lb(1 )=00
1 Oktav2:1lb(2) =11200
2 Oktaven4:1lb(4) =22400
3 Oktaven8:1lb(8) =33600
1 Quint3:2lb(3/2) =0,585702
2 Quinten9:4lb(9/4) =1,1701404
G=2Qui-1Ok (großer Ganzton)9:8lb(9/8) =0,170204
Quart4:3lb(4/3) =0,415498
große Terz5:4lb(5/4) =0,322386
kleine Terz6:5lb(6/5) =0,263316
G-=gT - G (kleiner Ganzton)10:9lb(10/9) =0,152182
Halbton16:15lb(16/15) =0,093112
große Sext 5:3lb(5/3) =0,737884
kleine Sext8:5lb(8/5) =0,678814
große Septime15:8lb(15/8) =0,9071088
kleine Septime (in C-Dur gf)16:9lb(16/9) =0,830996



Wer sich etwas im logarithmischen Rechnen üben will, sei an folgende logarithmischen Regeln erinnert

                         
lb(u·v) = lb(u)+lb(v),
                         

   u                          
lb(-) = lb(u) - lb(v)
   v

    z
lb(u ) = z·l(u)

(Interpreation: Frequenzverhältnisse werden mulipliziert oder dividiert, die zugehörigen Intervalle aber addiert oder subtrahiert.)

Damit können Sie folgende Rechnung nachvollziehen:

        3               5                 
Qui = lb-Ok und  gT = lb-Ok 
        2               4                

                  3     5         3 5       6
 => Qui - gT = (lb- - lb-)Ok = lb(-:-)Ok = lb-Ok
                  2     4         2 4       5

Bekanntlich ist

         6
 Qua = lb-Ok. Wir haben also Qua = Qui - gT nachgerechnet.
         5


                       log(x)
Auch die Regel lb(x) = —————— läßt sich damit herleiten:
                       log(2)

Herleitung: Setze y = lb(x). Dann folgt:

 y                                         y
2 = x   Auf beiden Seiten log ... mit log(2 ) = y·log(2)

           y·log(2) = log(x)

                      log(x)
                  y = ——————
                      log(2)

                                     log(x)
Somit ist nachgewiesen, dass lb(x) = —————— ist.
                                     log(2)

Bemerkung zu Logarithmengleichungen:

                                          a  
Die Gleichung lb x = a hat die Löung x = 2 . 

                                      a
                           Probe: lb 2 = a

Beispiele:

                 3       
lb x = 3 => x = 2 = 8    

                     3
Probe: lb 8 = 3, da 2 = 8

                  -5   1   
lb x = - 5 > x = 2  = ——   
                      32   

           1            -5    1    1
Probe: lb —— = - 5, da 2  =  —— = ——
          32                  5   32
                             2

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