Einführung in den Logarithmus

Vorübung zum Zweierlogarithmus:

a) Mit welcher Zahl muss man 2 potenzieren, um 32 zu erhalten?
b) Wie wird diese Zahl geschrieben?

Schauen Sie sich dazu die folgende Tabelle an.

Tabelle zum Logarithmus der Basis 2:

lb2=1,	da 2¹ = 2
lb4=2,	da 2² = 4
lb8=3,	da 2³ = 8
lb16=4,	da 2⁴ = 16
lb32=5,	da 2⁵ = 32
lb64=6,	da 2⁶ = 64
lb128=7,	da 2⁷ = 128
lb256=8,	da 2⁸ = 256
lb512=9,	da 2⁹ = 512
lb1024=10,	da 2¹⁰ = 1024
...	...
1 lb-= - 1 2	-1 1 da 2 = - 2
1 lb-= - 2 4	-2 1 da 2 = - 4
...	...
y=lb(x)	2^y = x

y= lb(x) ist die Zahl, mit der ich zwei potenzieren muss, um x zu erhalten.

y= lb(x) 〈=〉 x=2^y

Lösung der Vorübung:
a) Die gesuchte Zahl ist 5, da 2⁵ = 32 ist.
b) Sie wird als lb(32) geschieben, da lb(32) = 5 dasselbe bedeutet wie 2⁵ = 32.

Bemerkung: Auf den üblichen Schultaschenrechnern findet man nur den 10-Logarithmus log oder den natürlichen Logarithmus ln. Den Zweierlogarithmus erhalten Sie dann mit der Formel:

        log(x)              ln(x)
lb(x) = —————  oder lb(x) = —————
        log(2)              ln(2)

                         log32   1,505
Rechnen Sie nach: lb32 = ————— = ————— = 5
                         log2    0,301

Beispiele:

Intervall	Frequenzverhältnis	Logarithmus	in Cent
Prim	1:1	lb(1 )=0	0
1 Oktav	2:1	lb(2) =1	1200
2 Oktaven	4:1	lb(4) =2	2400
3 Oktaven	8:1	lb(8) =3	3600
1 Quint	3:2	lb(³/₂) =0,585	702
2 Quinten	9:4	lb(⁹/₄) =1,170	1404
G=2Qui-1Ok (großer Ganzton)	9:8	lb(⁹/₈) =0,170	204
Quart	4:3	lb(⁴/₃) =0,415	498
große Terz	5:4	lb(⁵/₄) =0,322	386
kleine Terz	6:5	lb(⁶/₅) =0,263	316
G-=gT - G (kleiner Ganzton)	10:9	lb(¹⁰/₉) =0,152	182
Halbton	16:15	lb(¹⁶/₁₅) =0,093	112
große Sext	5:3	lb(⁵/₃) =0,737	884
kleine Sext	8:5	lb(⁸/₅) =0,678	814
große Septime	15:8	lb(¹⁵/₈) =0,907	1088
kleine Septime (in C-Dur gf)	16:9	lb(¹⁶/₉) =0,830	996

Wer sich etwas im logarithmischen Rechnen üben will, sei an folgende logarithmischen Regeln erinnert

                         
lb(u·v) = lb(u)+lb(v),
                         

   u                          
lb(-) = lb(u) - lb(v)
   v

    z
lb(u ) = z·l(u)

(Interpretation: Frequenzverhältnisse werden mulipliziert oder dividiert, die zugehörigen Intervalle aber addiert oder subtrahiert.)

Damit können Sie folgende Rechnung nachvollziehen:

        3               5                 
Qui = lb-Ok und  gT = lb-Ok 
        2               4                

                  3     5         3 5       6
 => Qui - gT = (lb- - lb-)Ok = lb(-:-)Ok = lb-Ok
                  2     4         2 4       5

Bekanntlich ist

         6
 Qua = lb-Ok. Wir haben also Qua = Qui - gT nachgerechnet.
         5


                       log(x)
Auch die Regel lb(x) = —————— läßt sich damit herleiten:
                       log(2)

Herleitung: Setze y = lb(x). Dann folgt:

 y                                         y
2 = x   Auf beiden Seiten log ... mit log(2 ) = y·log(2)

           y·log(2) = log(x)

                      log(x)
                  y = ——————
                      log(2)

                                     log(x)
Somit ist nachgewiesen, dass lb(x) = —————— ist.
                                     log(2)

Bemerkung zu Logarithmengleichungen:


                                          a  
Die Gleichung lb x = a hat die Löung x = 2 . 

                                      a
                           Probe: lb 2 = a

Beispiele:

                 3       
lb x = 3 => x = 2 = 8    

                     3
Probe: lb 8 = 3, da 2 = 8

                  -5   1   
lb x = - 5 > x = 2  = ——   
                      32   

           1            -5    1    1
Probe: lb —— = - 5, da 2  =  —— = ——
          32                  5   32
                             2