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|a  b  c |
| 1  1  1|
|a  b  c | = a b c  + b c a  + c a b  - c b a  - a c b  - b a c = 0
| 2  2  2|    1 2 3    1 2 3    1 2 3    1 2 3    1 2 3    1 2 3
|a  b  c |
| 3  3  3|

Beispiel: 1 7 1 7 3 y = -x + - y= - ——x + - y = -x - 2 9 9 12 6 2 Auf die Form ax + by + c = 0 gebracht: x - 9y +7 = 0 |1 -9 7| | | x + 12y - 14 = 0 |1 12 -14| = -48 + 378 -14 -252 - 28 - 36 = 0 | | 3x - 2y - 4 = 0 |3 -2 -4| Ergebnis: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt. Schneller ist jedoch die direkte Berechnung: Der Schnittpunkt der beiden ersten Geraden errechnet sich zu S(2|1). Eingesetzt in die dritte Gleichung zeigt sich: S liegt auch auf der dritten Geraden.

Wann liegen drei Punkte auf einer Geraden?

|x  y  1|
| 1  1  |
|x  y  1| = x y  + y x  + x y  - y x - x y - y x  = 0
| 2  2  |    1 2    1 3    2 3    2 3   1 3   1 2
|x  y  1|
| 3  3  |

     1 u          1 v
x =  -·-  und y = -·-, wobei
     2 d          2 d

                2    2             2    2             2    2
u =  (y -y )·(x  + y  )+(y -y )·(x  + y  )+(y -y )·(x  + y  ),
       2  3    1    1     3  1    2    2     1  2    3    3

                2    2             2    2             2    2
v =  (x -x )·(x  + y  )+(x -x )·(x  + y  )+(x -x )·(x  + y  )  und
       3  2    1    1     1  3    2    2     2  1    3    3

d = x y  + x y  + x y  - x y  - x y  - x y .
     1 2    2 3    3 1    1 3    2 1    3 2

                            ———————————————————
                           /       2          2
Der Radius ist dann r := \/(x - x ) + (y - y )  .
                                 1          1

Herleitung:

> restart; #x1:=1;y1:=1;x2:=8; y2:=1; x3:=3;y3:=7;#Koordinaten von A1, B2 und C3
> u1:=(x1+x2)/2; v1:=(y1+y2)/2; m1z:=x1-x2; m1n:=y2-y1;#Mittelsenkrechte von AB mit Steigung m1z/m1n
u2:=(x1+x3)/2; v2:=(y1+y3)/2; m2z:=x1-x3;m2n:=y3-y1; #Mittelsenkrechte von AC mit Steigung m2z/m2n
> #Die Gerade durch M1(u1|v1) mit der Steigung m1z/m1n hat die Gleichung
#y-v1=m1z/m1n*(x-u1) bzw.m1n*(y-v1)=m1z*(x-u1) (1)
#Die Gerade durch M2(u1|v2) mit der Steigung m2z/m2n hat die Gleichung
#m2n*(y-v2)=m2z*(x-u2) (2). Die Lösung des LSG (1) und (2) ergibt den Schnittpunkt:
solve({m1n*(y-v1)=m1z*(x-u1) , m2n*(y-v2)=m2z*(x-u2)},{x,y});

x = 1/2*(y3*y2^2-y3*y1^2+y1*y3^2-y3*x1^2+y1*x3^2+y3*x2^2-y1*y2^2

    -y1*x2^2+y2*x1^2-y2*y3^2+y2*y1^2-y2*x3^2)/D

y = 1/2*(-y1^2*x2+y1^2*x3+y3^2*x2-x1^2*x2+x1*y2^2-x1*x3^2+x3^2*x2

    +x1^2*x3+x1*x2^2-x3*x2^2-x3*y2^2-x1*y3^2)/D

(x und y in eine Zeile schreiben), wobei

der Nenner D gleich der Determinante der folgenden Matrix ist:

    | x1 y1  1 |
    |          |
D=  | x2 y2  1 |  = x1y2 + x2y3 + x3y1 - x1y3 - x2y1 - x3y2.
    |          |
    | x3 y3  1 |

D ist gleich dem Doppelten des Flächeninhalts des Dreiecks ABC,

wird also nie Null, wenn nicht A, B und C auf einer Geraden liegen.

Rechenschema: x1= y1= x2= (Hier die Koordinaten von A, B und C einsetzten) y2= x3= y3= D=x1*y2+x2*y3+x3*y1-x1*y3-x2*y1-x3*y2 x0=1/2*(y3*y2^2-y3*y1^2+y1*y3^2-y3*x1^2+y1*x3^2+y3*x2^2-y1*y2^2-y1*x2^2+y2*x1^2-y2*y3^2+y2*y1^2-y2*x3^2)/D y0=1/2*(-y1^2*x2+y1^2*x3+y3^2*x2-x1^2*x2+x1*y2^2-x1*x3^2+x3^2*x2+x1^2*x3+x1*x2^2-x3*x2^2-x3*y2^2-x1*y3^2)/D r=sqrt((x1-x0)^2+(y1-y0)^2) Probe r=sqrt((x2-x0)^2+(y2-y0)^2) r=sqrt((x3-x0)^2+(y3-y0)^2) Beispiel (mit Rechenblatt aus TTMathe berechnet): x1=6 y1=-1 x2=2 y2=4 x3=4 y3=3 D=...=-6 x0=...=2/3 y0=...=-1 1/6=-1,166666667 r=sqrt((x1-x0)^2+(y1-y0)^2)=5/6*sqrt(41)=5,335936865 Probe r=sqrt((x2-x0)^2+(y2-y0)^2) =5/6*sqrt(41)=5,335936865 r=sqrt((x3-x0)^2+(y3-y0)^2) =5/6*sqrt(41)=5,335936865

Die Koordinaten der Punkte P(x|y) auf dem Kreisbogen kann man in der "Parameterdarstellung" folgendermaßen angeben: x=x0 + r·cos(φ) y=y0 + r·sin(φ) wobei der Winkel φ das Intervall von α bis β durchläuft.

          y1 - y0
tan(α) =  ———————  nach α auflösen:
          x1 - x0

Eine Schwierigkeit besteht darin, dass die Funktionen tan nicht umkehrbar ist. Die Umkehrfunktion arctan von tan liefert nur Werte von -90° bis +90°. y Ist zum Beispiel tanα = - für α aus dem Intervall [0;360°] und x y α1 = arctan(-), dann gilt: x α = α1, falls x > 0 und y > 0, (α im I. Quadranten) α = α1 + 180° falls x < 0 und y > 0 (α im II. Quadranten), α = α1 + 180° falls x < 0 und y < 0 (α im III. Quadranten) oder α = α1 + 360° falls x > 0 und y < 0 (α im IV. Quadranten).

Berechnung des Winkels α, der Winkel M(3|1)A(7|4) zur Horizontalen yd=y1-y0=3 xd=x1-x0=4 xd>0 yd>0 also α=arctan(yd/xd)=36,87° Berechnung des Winkels β, der Winkel M(3|1)B(-1|4) zur Horizontalen yd=y2-y0=3 xd=x2-x0=-4 xd>0 yd>0 also β=arcta(yd/xd)+180°=143,13° Der Kreisbogen von A nach B mit Mittelpunkt M hat dann die Parameterdarstellung: x= 3 + 5cos(φ) (36,87° ≤ φ ≤ 143,13°) y= 1 + 5sin(φ)

a1=3 + 5*cos(α + dφ/n)
b1=1 + 5*sin(α + dφ/n)

a2=3 + 5*cos(α + 2*dφ/n)
b2=1 + 5*sin(α + 2*dφ/n)

a3=3 + 5*cos(α + 3*dφ/n)
b3=1 + 5*sin(α + 3*dφ/n)

...

x= 3 + 5cos(φ)
                    (143,13° ≤ φ ≤  396,87°=36,87°+360°)
y= 1 + 5sin(φ)

Aufgabe: Der Kreisbogen von A(6|-1) nach C(4|3) über B(2|4) soll in 10 gleiche Abschnitte geteilt werden. Versuche, bevor Du die Lösung anschaust, Dir zunächst vorzustellen, wie die Lösung ausschauen könnte. Die folgende Rechnung zeigt das Rechenschema für das Rechenblatt von TTMathe. Bei anderen Werten müssen nur die Anfangszeilen entsprechend geändert werden. (Die gesamte Rechnung wird im Bogenmaß durchgeführt. Zur Veranschaulichung habe ich die Winkel noch ins Gradmaß umgerechnet.)

x1=6
y1=-1
x2=2
y2=4
x3=4
y3=3

D=x1*y2+x2*y3+x3*y1-x1*y3-x2*y1-x3*y2
x0=1/2*(y3*y2^2-y3*y1^2+y1*y3^2-y3*x1^2+y1*x3^2+y3*x2^2-y1*y2^2-y1*x2^2+y2*x1^2-y2*y3^2+y2*y1^2-y2*x3^2)/D
y0=1/2*(-y1^2*x2+y1^2*x3+y3^2*x2-x1^2*x2+x1*y2^2-x1*x3^2+x3^2*x2+x1^2*x3+x1*x2^2-x3*x2^2-x3*y2^2-x1*y3^2)/D
r=sqrt((x1-x0)^2+(y1-y0)^2)
  Probe
r=sqrt((x2-x0)^2+(y2-y0)^2)
r=sqrt((x3-x0)^2+(y3-y0)^2)

  Berechnung des Winkels MA zur Horizontalen
yd=y1-y0
xd=x1-x0
    xd>0 yd>0 also
wa=arctan(yd/xd)
  Berechnung des Winkels MB zur Horizontalen
yd=y2-y0
xd=x2-x0
    xd>0 yd>0 also
wb=arctan(yd/xd)
  Berechnung des Winkels MC zur Horizontalen
yd=y3-y0
xd=x3-x0
    xd>0 yd>0 also
wc=arctan(yd/xd)

x=x0 + r*cos(φ)
                     wc ≤ φ ≤ wa'
y=y0 + r*sin(φ)

  Die Winkeldifferenz  wa' - wc
  (in TTMathe ist 360° erlaubt, in Maple dafür 2*Pi
wd=wa+360° - wc
  Probe: P0=C P10=D
a0=x0+r*cos(wc+0*wd/10) =4
b0=y0+r*sin(wc+0*wd/10) =3
a1=x0+r*cos(wc+wd/10) =1,37374796
b1=y0+r*sin(wc+wd/10)=4,122213958
a2=x0+r*cos(wc+2*wd/10) =-1,455064799
b2=y0+r*sin(wc+2*wd/10) =3,729298796
a3=x0+r*cos(wc+3*wd/10) =-3,676055721
b3=y0+r*sin(wc+3*wd/10) =1,933814664
a4=x0+r*cos(wc+4*wd/10) =-4,652967675
b4=y0+r*sin(wc+4*wd/10) =-0,749878124
a5=x0+r*cos(wc+5*wd/10) =-4,105940354
b5=y0+r*sin(wc+5*wd/10) =-3,552970177
a6=x0+r*cos(wc+6*wd/10) =-2,191683105
b6=y0+r*sin(wc+6*wd/10) =-5,672447266
a7=x0+r*cos(wc+7*wd/10) =0,541418298
b7=y0+r*sin(wc+7*wd/10) =-6,501133376
a8=x0+r*cos(wc+8*wd/10) =3,310400158
b8=y0+r*sin(wc+8*wd/10) =-5,801631117
a9=x0+r*cos(wc+9*wd/10) =5,322019943
b9=y0+r*sin(wc+9*wd/10) =-3,774330007
a10=x0+r*cos(wc+10*wd/10) =6
b10=y0+r*sin(wc+10*wd/10)=-1

Ergebnis: Die Teilpunkte sind: P0(4|3) = C P1( 1,373747960| 4,122213958) P2(-1,455064799| 3,729298796) P3(-3,676055721| 1,933814664) P4(-4,652967675|-0,749878124) P5(-4,105940354|-3,552970177) P6(-2,191683105|-5,672447266) P7( 0,541418298|-6,501133376) P8( 3,310400158|-5,801631117) P9( 5,322019943|-3,774330007) P10(6|-1) = A

Wie berechnet man die Ausgleichsgerade durch viele Punkte (Lineare Regression)

-9 -2,5
-7 -2
-5 -1,5
-3,5 -0,5
-1,5 0
0,5 0,5
3 0
4 1
5 0
6 0,5
7 2
8 2,5
10 1,5
11 2,5