Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
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Hörbeispiele zu TTmusik



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rein
mitteltönig
gleichstufig

Einleitung: Lektionen zur Musiktheorie

Hörbeispiele: Dreiklang     mitteltönige Kadenz     Kommafalle     Obertonreihe
Einführung: rein gegenüber gleichstufig    

Wie TTMusik Berechnungen durchführt und diese hörbar macht

Beim Gebrauch von Instrumenten mit 12 Tönen in der Oktave ist man genötigt, Kompromisse einzugehen:

Rein gestimmte Instrumente können nur eine Tonart rein spielen,
mitteltönig gestimmte nur wenige Tonarten und in diesen schon gewisse Unreinheiten,
wohltemperiert gestimmte alle Tonarten, manche reiner als andere, aber alle mit Unreinheiten,
gleichstufig gestimmte oder gleichmäßig temperiert gestimmte alle Tonarten gleich unrein.

Heutzutage sind die meisten Klaviere gleichstufig gestimmt, manche Orgeln und Cembali mitteltönig oder wohltemperiert.

TTMusik macht diese Unterschiede hör- und sichtbar. Hier ein paar Demonstrationen.



Dreiklang

a cis e


Siehe: Theorie
      Frequenzen   Verhältnisse
a1c#e 440 550 660  5/4 6/5
Frequenzbild


Siehe: Theorie
       Frequenzen
a1c#e  440 554,4 659,3
Frequenzbild


Siehe: Theorie
       Frequenzen
a1c#e  440 550 658
Frequenzbild
Obertöne können in TTMusik beliebig beigemischt werden. (Hier: Grundton 100%, Obertöne 75%, 50%, 20%, 10% und 5%.)
Bei mitteltoenig und noch mehr bei gleichstufig sind Schwebungen zu hoeren";



Kadenz
Kadenz
Mitteltönig kommt der reinen Stimmung ziemlich nahe. Klingt viel farbiger als gleichstufig temperiert!

        Frequenzen             Verhältnisse
ac2#ea  220   550   660   880  5/2 6/5 4/3
d1df#a  293,3 586,7 733,3 880  2/1 5/4 6/5
e1heg#  330   495   660   825  3/2 4/3 5/4
ac2#ea  220   550   660   880  5/2 6/5 4/3
Frequenzbild

        Frequenzen
ac2#ea  220   554,4 659,3 880
d1df#a  293,7 587,3 740   880
e1heg#  329,6 493,9 659,3 830,6
ac2#ea  220   554,4 659,3 880
Frequenzbild


In Johann Sebastian Bachs (1685 - 1750) Schaffensjahre fand in Stimmungsfragen ein Umbruch statt: Von der Mitteltönigkeit zur sogenannten wohltemperierten Stimmung. Bach lernte bei seinem Aufenthalt bei Buxtehude wohl Werckmeisters Temperatur kennen und verfasste "Das Wohltemperierte Klavier". Jetzt konnte man fast eben so gut Musikstücke in As-Dur wie in F-Dur u.s.w. anhören. Dass eben dies bei den mitteltönigen Stimmungen nicht möglich war, wird hier demonstriert.
Kadenzen f-Dur As-Dur

Mitteltönig

Genauer "Viertel mitteltönig"
(gerechnet mit mitteltöniger Quinte = vierte Wurzel aus 5)


In TTMusik sind viele Temperaturen integriert und weitere können leicht eingefügt werden.)

Wohl temperiert

Genauer "Werckmeister(1645-1706) III"
(Ob Bach gerade diese Temperatur verwendete, ist unbekannt. Wenn nicht, dann bestimmt eine ähnliche.)


Wohl temperiert heißt nicht: gleichstufig.
Jede Tonart hat noch Ihr Charakteristikum.

Unterschied von DIS und ES in der reinen Stimmung?


Vom Himmel hoch

Tonart Akkord Eulerbezeichnung     Frequenzen
c      ce1gc  ,e  g  c             132   330 396 528
       eegh    ,e  ,e  g  ,h       165   330 396 495
       fcfa    f  c  f  ,a         176   264 352 440
e      d#hf#h  ,,dis  ,h  ,fis  ,h 154,7 248 371 495
                                   Terzverwandschaft mit C-Dur
       eheg    ,e  ,h  ,e  g       165   248 330 396
c                                  Im Quintenzirkel...
f                                  ... fortschreiten
b      e*cfa   es  c  f  ,a        156,4 264 352 440
f
c      ddfh    d  d  f  ,h         149   297 352 495
       ce1gc   c  ,e  g  c         132   330 396 528

d#=DIS e*=ES (Unterschied 20 Cent)


   Akkord Frequenzen
   ce1gc  132 333 396 528
   eegh   166 333 396 498
   fcfa   176 264 352 444
   d#hf#h 157 249 373 498
   eheg   166 249 333 396
   e*cfa  157 264 352 444
   ddfh   148 296 352 498
   ce1gc  132 333 396 528
Hier d#=e*, d.h. DIS=ES

Was klingt besser? Mit großem oder mit kleinem Ganzton?


Diskantklausel
fg eg f

Frequenzen  Verhältnis
f1g1 352 396  9/8
e1g1 330 396  6/5
f1f1 352 352  1/1


Frequenzen     Verhältnis
f1g1 352 391,1 10/9
e1g1 330 391,1 32/27
f1f1 352 352   1/1

Im Gegensatz zur gleichstufig temperierten Stimmung gibt es in der reinen Stimmung zwei Ganztoene. Hier hoert man deutlich, dass in der Diskantklausel der grosse Ganzton (Verhaeltnis 9:8) benoetigt wird. Der kleine Ganzton (Verhaeltnis 10:9) klingt fade. Ausserdem ist die anschliessende Aufloesung der Dissonanz zur kleinen Terz nicht rein. (Verhaeltnis sollte 6:5 sein, ist aber um ein Terzkomma 81:80 zu klein und wird zu 32:27). Beim naechsten Beispiel (sixte ajoutee) hoert man es aehnlich beim Vergleich rein und gleichstufig temperiert.


Sixte Ajoutée

Sixte ajoutee

Akkord Frequenzen     Fr.-Verh.
cg1ce 132 396 528 660 3/1 4/3 5/4
fa1cd 176 440 528 594 5/2 6/5 9/8
gghd  198 396 495 594 2/1 5/4 6/5
cg1ce 132 396 528 660 3/1 4/3 5/4
Frequenzbild

Akkord  Frequenzen
cg1ce 132   395,6 528   665,2
fa1cd 176,2 444   528   592,7
gghd  197,8 395,6 498,4 592,7
cg1ce 132   395,6 528   665,2
Frequenzbild
Nebenbei bemerkt:
Im Schlussakkord hat der Sopran die große Terz zum Grundton (Das Intervall c-e). In der reinen Stimmung hat e'' die Frequenz 660 Hz. In der gleichstufigen ist die Frequenz von e'' mit 665,2 Hz etwas höher. Die Terz ce ist "geschärft".
Dem an die gleichstufige Stimmung gewöhnte Ohr kommt zunächst diese große Terz bei der reinen Stimmung zu tief vor im Vergleich zur gleichstufigen Stimmung. Höre dazu jedoch das Beispiel c2e2.


Harmonisierung einer zweistimmige Klausel

Zweistimmige Klausel Zweistimmige Klausel.


Anhören: mp3       ogg

Domininat Quartvorbehalt Die zweistimmige Klausel wird nun mit einem Bass versehen und harmonisiert: Dominant Quart-Vorbehalt


Anhören: mp3       ogg

Mit Akkord der II Stufe Der Akkord auf der II. Stufe f-d'-c'' Subdominantisch (Das d' im 2. Takt zunächst ein syntonisches Komma dann wieder höher)


Anhören: mp3       ogg

Mit Akkord der II Stufe Der Akkord auf der II. Stufe f-d'-c'' doppeldominatisch (Das d' im 2. Takt wie in C-Dur).


Anhören: mp3       ogg

Doppeltdominantisch Der Akkord auf der II. Stufe fis-d'-c'' echt doppeldominatisch


Anhören: mp3       ogg

Der Akkord der II. Stufe

Jetzt wird gezeigt, wie der Dreiklang auf der II. Stufe der Tonleiter zur Kommafalle werden kann. Wie soll man die Folge Subdominantenparallele - Dominante - Tonika im Chor singen?

Das Problem ist, dass die Quinte D-A bzw. die Quarte A-D in der C-Durtonleiter nicht rein ist. Der Ganzton von C nach D hat in C-Dur das Verhältnis 8:9 ("großer Ganzton" 203,9 Cent). Für einen reinen D-A-Klang müsste das Verhältnis vom Ton C zum Ton D C:D=9:10 ("kleiner Ganzton" 182,4 Cent) wie in F-Dur sein. Oder der Ganzton G-A müsste das Verhältnis G:A=8:9 wie in G-Dur statt das Verhältnis 9:10 haben. (Die Verhältnisse werden in TTMusik automatisch berechnet.)

Lassen Sie unten das erstes Beispiel erklingen und horchen Sie auf die unschönen Schwebungen im dritten Akkord!.

Im zweiten Beispiel intoniert der Sopran das D etwas tiefer. Dies ist eine (Fein-)Modulation nach dem D der F-Dur-Tonleiter. Beim neapolitanischen Sextakkord Des-F-As wird diese Modulation in den Subdominantenbereich betont.

Im dritten Beispiel intonieren Alt und Tenor das F und A ein Komma höher. Dies wiederum ist eine (Fein-)Modulation nach G-Dur. Der Akkord FAD wäre dann die Doppel(moll)dominante. Bei der Doppel-Dur-Dominante mit Fis wird diese Modulation in den Dominantenbereich betont.


Diese Version scheint mir angebracht. Vergleiche den vorhergenden Abschnitt "Harmonisierung einer zweistimmige Klausel".

Dann ist auch das Problem der "Kommafalle" umgangen.

Die Bezeichnung "Parallele der Subdominante" ist dann aber unzufreffend. Besser würde dieser Akkord als "Doppeldominante (in moll)" bezeichnet werden müssen.



Hinweis: Der höchste Ton E (kleine Terz zu C) im letzten Akkord wird dem an die gleichstufig temperierte Stimmung gewöhnten Ohr zunächst etwas zu tief erklingen.
Das Problem der
Subdominantparallele
oder Doppel(moll)dominante.
Betrifft den Akkord:
  F-A-D
Subdominatenparallel

Akkord Frequenzen     Fr.-Verh.
e1gc   330 396 528    6/5 4/3
f1ac   352 440 528    5/4 6/5
f1ad   352 440 594    5/4 27/20
                     (unrein!)
g1hd   396 495 594    5/4 6/5
g1ce   396 528 660    4/3 5/4


Akkord  Frequenzen    Fr.-Verh.
e1gc    330 396 528   6/5 4/3
f1ac    352 440 528   5/4 6/5
f1ad    352 440 586,7 5/4 4/3
                =====
             (d tiefer)
g1hd    396 495 594   5/4 6/5
                ====
d wieder höher)
g1ce    396 528 660   4/3 5/4


Akkord  Frequenzen      Fr.-Verh.
e1gc    330   396   528 6/5 4/3
f1ac    352   440   528 5/4 6/5
f1ad    356,4 445,5 594 5/4 4/3
                    ===
       (f und a höher)
g1hd    396   495   594   5/4 6/5
                    ===
                 (d bleibt)
g1ce    396   528   660   4/3 5/4

Mit TTmusik können Sie die Intervalle statt mit den Frequenzverhältnissen auch mit dem Centmaß angeben lassen:
            gleichstufig temperiert (Zum Vergleich)
            Frequenzen in Cent    Intervalle in Cent
              ( c = 0 Cent)       (Oktave = 1200 Cent)
      e1gc  400   700     0       300    500
      f1ac  500   900     0       400    300
      f1ad  500   900   200       400    500
      g1hd  700  1100   200       400    300
      g1ce  700     0   400       500    400
              1. Beispiel
            Frequenzen in Cent    Intervalle in Cent
      e1gc  386,3 702     0       315,6  498,0
      f1ac  498,0 884,4   0       386,3  315,6
      f1ad  498,0 884,4 203,9     386,3  519,6
      g1hd  702  1088,3 203,9     386,3  315,6
      g1ce  702     0   386,3     498,0  386,3
              2. Beispiel
            Frequenzen in Cent    Intervalle in Cent
      e1gc  386,3 702     0       315,6  498,0
      f1ac  498,0 884,4   0       386,3  315,6
      f1ad  498,0 884,4 182,4     386,3   498
      g1hd  702  1088,3 203,9     386,3  315,6
      g1ce  702     0   386,3     498,0  386,3
              3. Beispiel
            Frequenzen in Cent    Intervalle in Cent
      e1gc  386,3 702     0       315,6  498,0
      f1ac  498,0 884,4   0       386,3  315,6
      f1ad  519,6 905,9 203,9     386,3 498,0
      g1hd  702  1088,3 203,9     386,3  315,6
      g1ce  702     0   386,3     498,0  386,3

Die Kommafalle

Wird im 2. Beispiel das Sopran-d im 4. Akkord mit 587 Hz statt mit 594 Hz gesungen, dann erklingt die Dominante und der Schlussakkord zu tief. Wegen der Feinmodulation muss das "d" im 4. Akkord ein Komma höher sein wie im 3. Akkord. (vergleiche Beispiel "erstes d tiefer").

           Frequenzen     in Cent
e1gc       330 396 528    386  702   0
f1ac       352 440 528    498  884   0
f1ad-      352 440 587    680  884 182
g1-h-d-    391 488 587    680 1066 182
g1-c-e-    391 521 652    680 1178 364
("-" in TTMusik: Ein Komma tiefer)
e1-g-c-    326 391 522    364  680 1179
f1-a-c-    348 435 522    477  863 1179
f1-a-d——   348 435 579    477  863  161
g1——h——d—— 386 482 579    659 1045  161
g1——c——e—— 386 515 644    659 1157  343
  (Sollfrequenz)
g1ce       396 528 660    702 1200  386


Dominantseptakkord

Dominantseptakkord
Im folgenden können Sie den Dominantseptakkord vergleichen: (In hoher Lage hört man den Unterschied besonders gut)
  • gleichstufig (Notbehelf. Beachte jedoch die Schwebung.)
  • rein mit großem Ganzton F-G (optimal zur Tonika strebend)
  • mit kleinem Ganzton F-G (unschön: siehe Diskantklausel)
  • mit reiner Naturseptime (der beste Wohlklang, dann aber schon keine Dissonanz mit dem Bedürfnis nach Auflösung mehr. Außerdem ist die Melodiefolge F-E vom Dominatseptimakkord zur Tonika unrein.)
Spielen Sie nach jedem Septakkord die Tonika als Auflösung!









Sept
Septakkord gleichstufig intoniert f=698 Hz
Sept rein
reiner Septakkord f=704 Hz
Natursept. Septakkord mit Naturseptime f=693 Hz


Die Obertonreihe


Obertöne
Angaben in Cent mit Identifikation:
Oktave = Prim , 1200 Cent = 0 Cent)
1:1  Grundton C  = 0
1:2  Oberton  c  = 0
1:3  Oberton  g  = 702
1:4  Oberton  c1 = 0
1:5  Oberton  e1 = 386
1:6  Oberton  g1 = 702
1:7  Oberton  b1x= 969 (Naturseptime)
             (b rein = 1018)
1:8  Oberton  c2 = 0
1:9  Oberton  d2 = 204
1:10 Oberton  e2 = 386
1:11 Oberton  f2xx = 551 (Alphorn-Fa)
(f rein =498 fis rein =590)
1:12 Oberton  g2 = 702
1:13 Oberton  axxx = 840
(as rein = 813 a rein = 884)
1:14 Oberton  b2*= 969
1:15 Oberton  h  = 1088
1:16 Oberton  c3 = 0

Obertöne

 









Die Obertöne innerhalb der Tonleiter in Cent (100 Cent = 1 Halbton)
("Rein" bezogen auf die diatonische Tonleiter)

    Cent nächster Ton
  1:1 0 c rein
  1:2 1200 c rein
1. Oktave      
  1:2 0 c rein
  1:3 702 g rein
  1:4 1200 c rein
2. Oktave      
  1:4 0 c rein
  1:5 386,3 e rein
  1:6 702 g rein
  1:7 968,8 b (Naturseptime)
  1:8 1200 c rein
3. Oktave      
  1:8 0 c rein
  1:9 203,9 d rein
  1:10 386,3 e rein
  1:11 551,3 f-fis (Alphorn-Fa)
  1:12 702 g rein
  1:13 840,5 as-a
  1:14 968,8 b (Naturseptime)
  1:15 1088,3 h rein
  1:16 1200 c
4. Oktave      
  1:16 0 c rein
  1:17 105 des
  1:18 203,9 d rein
  1:19 297,5 es
  1:20 386,3 e rein
  1:21 470,8 e-f
  1:22 551,3 f-fis (Alphorn-Fa)
  1:23 628,3 fis
  1:24 702 g rein
  1:25 772,6 as
  1:26 840,5 as-a
  1:27 905,9 a
  1:28 968,8 b (Naturseptime)
  1:29 1029,6 b
  1:30 1088,3 h rein
  1:31 1145,0 h-c
  1:32 1200 c rein
5. Oktave   Cent nächster Ton
  1:32 0 c rein
  1:33 53,3 c-des
  1:34 105 des
  1:35 155,1 des-d
  1:36 203,9 d rein
  1:37 251,3 d-es
  1:38 297,5 es
  1:39 342,5 es-f
  1:40 386,3 e rein
  1:41 429,1 e
  1:42 470,8 e-f
  1:43 511,5 f
  1:44 551,3 f-fis (Alphorn-Fa)
  1:45 590,2 fis
  1:46 628,3 fis
  1:47 665,5 fis-g
  1:48 702 g rein
  1:49 737,7 g
  1:50 772,6 as
  1:51 806,9 as
  1:52 840,5 as-a
  1:53 873,5 as
  1:54 905,9 as-a
  1:55 937,6 a-b
  1:56 968,8 b (Naturseptime)
  1:57 999,5 b
  1:58 1029,6 b
  1:59 1059,2 b-h
  1:60 1088,3 h rein
  1:61 1116,9 h
  1:62 1145,0 h-c
  1:63 1172,7 c
  1:64 1200 c rein


Schwebungen 440 Hz und 440,5 Hz


Reine Sinusschwingung

(4 Sek.)
Schwebung: Reine Sinusschwingung
Sinusschwingung mit 50%+25%-Obertönen


(4 Sek.)
Schwebung: Sinusschwingung mit Obertoenen


Alle Hörbeispiele und Frequenz(verhältnis)berechnungen wurden mit TTmusik (Downloadseite) erzeugt (Menü "Spielen|Speichere als Wav-Datei"). Anschließend wurden die Wav-Dateien mit in MP3-Dateien komprimiert.

Interessiert an weiteren Beispielen? Dann schreiben sie mir (Kontakt).
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