Joachim Mohr Mathematik Musik
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Kettenbruch
Den Beweis führe ich mit mit vollständiger Indution.
Der Induktionsanfang ist klar, somit bleibt nur noch der
Induktionsschritt zu beweisen.
a
n
Sei [v ,v , v , ...,v ] = --
1 2 3 n b
n
a'
n
und [v , v , v , ..., v ] = -- .
2 3 4 n+1 b'
n
Wir setzten voraus, dass die Induktionsanahme für diese Kettenbrüche der "Länge n" gilt:
a = v ·a + a , b = v ·b + b und
n n n-1 n-2 n n n-1 n - 2
a'= v ·a' + a' , b' = v ·b' + b' (Induktionsannahme)
n n+1 n-1 n-2 n n+1 n-1 n - 2
Daraus müssen wir folgendes herleiten:
a = v ·a + a und b = v ·b + b .
n+1 n+1 n n-1 n+1 n+1 n n - 1
Nachweis dafür:
Jetzt kommt der entscheidende Schritt (der die Vorgehensweise allein bestimmte):
a
n+1 1
---- = [v , v , ... , v ] = v + ------------------- Aha! (Der Rest ist Routine)
b 1 2 n+1 1 [v , v , ..., v ]
n+1 2 3 n+1
b' a' ·v + b'
n n 1 n
= v + -- = -----------. Also folgt mit Hilfe der Induktionsannahme
1 a' a'
n n
a = a'·v + b' = (v ·a' + a' )·v + v ·b' + b'
n+1 n 1 n n+1 n-1 n-2 1 n+1 n-1 n - 2
= v (a' + b' ) + v ·a' + b' = v ·a + a (?????)
n+1 n-1 n-1 1 n-2 n-2 n+1 n n-1
b = a' = v ·b + b (????)
n+1 n n+1 n n-1
Die letzten Schritte folgen aus der Beziehung:
a v ·a' + 1
n+1 1 1 n
---- = v1 + --- = --------- => a = v ·a' + 1 und b = a'
b a' a' n+1 1 n n+1 n
n+1 n n
--
b'
n