Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
Zurück Kettenbruch
Den Beweis führe ich mit mit vollständiger Indution.

Der Induktionsanfang ist klar, somit bleibt nur noch der Induktionsschritt zu beweisen.
                            a
                             n
Sei   [v ,v , v , ...,v ] = --
        1  2   3       n    b
                             n


                                a'
                                 n
und   [v , v , v , ..., v   ] = -- .
        2   3   4        n+1    b'
                                 n
Wir setzten voraus, dass die Induktionsanahme für diese Kettenbrüche der "Länge n" gilt:
a = v ·a   + a   , b = v ·b   + b         und
 n   n  n-1   n-2   n   n  n-1   n - 2


a'= v   ·a'  + a'  , b' = v   ·b'  + b'       (Induktionsannahme)
 n   n+1  n-1   n-2   n    n+1  n-1    n - 2
Daraus müssen wir folgendes herleiten:
a    = v   ·a  + a    und b    = v   ·b  + b      .
 n+1    n+1  n    n-1      n+1    n+1  n    n - 1


Nachweis dafür:


Jetzt kommt der entscheidende Schritt (der die Vorgehensweise allein bestimmte):


a
 n+1                                          1
---- = [v , v , ... , v   ] = v + -------------------  Aha! (Der Rest ist Routine)
b        1   2         n+1     1  [v , v , ..., v   ]
 n+1                                2   3        n+1


        b'      a' ·v + b'
         n       n   1   n
= v  +  --  =  -----------. Also folgt mit Hilfe der Induktionsannahme
   1    a'         a'
         n          n


a    = a'·v + b' = (v   ·a'  + a'   )·v  + v   ·b'  + b'
 n+1    n  1   n     n+1  n-1    n-2   1    n+1  n-1    n - 2


     = v   (a'  + b'  ) + v ·a'  + b'   = v   ·a  + a    (?????)
        n+1  n-1   n-1     1  n-2   n-2    n+1  n    n-1


b   = a' = v   ·b  + b     (????)
 n+1   n    n+1  n    n-1


Die letzten Schritte folgen aus der Beziehung:


a                  v ·a' + 1
 n+1          1     1  n
---- = v1 +  --- = ---------  => a   = v ·a' + 1 und b   = a'
b             a'     a'           n+1   1  n          n+1   n
 n+1           n      n
              --
              b'
               n