Joachim Mohr Mathematik Musik
Vorbereitungskurs Actuar
Teil 1: Lineare Algebra
Lerneinheit 1: Vektorrechnung, lineare Gleichungssysteme, Matrizenrechnung, komplexe Zahlen, Vektor- und Untervektorräume, Kern, Bild, RangLerneinheit 2: Basis und Dimension, Determinanten, Orthogonalität, Gram-Schmidt, Hauptachsentransformation, Eigenwerte, Eigenvektoren, Diagonalisierung
Lerneinheit 3: Lineare Abbildung, Basiswechsel, Jordansche Normalform, Hermitesche und Unitäre Matrizen Grundlagen vollständige Induktion
Teil 2: Analysis
Lerneinheit 4: Grundlagen, Elementare Funktionen, Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Taylorpolynome, Mittelwertsätze, Extrema von Funktionen einer Variablen,Lerneinheit 5: das bestimmte Integral, das unbestimmte Integral, Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, Anwendungen, Integrationstechniken, uneigentliche Integration
Lerneinheit 6: Inverse Funktionen, L’Hospitalsche Regeln, Parameterdarstellung von Kurven, Folgen und Reihen, Potenzreihen, Satz von Taylor, Funktionenfolgen und Funktionenreihen
Lerneinheit 7: Funktionen mehrerer Variablen (Stetigkeit, Differenzierbarkeit, …), Extrema von Funktionen mehrerer Variablen
Lerneinheit 8: Vektorfunktionen, mehrdimensionale Integration (Oberflächenintegrale, …)
Actuar
Actuar onlineSkript WTH und Stat.
Aufg
Formelsammlung
Kapitel I Grundlagen
"-": K. schon geläufig "+" bitte anschauen§1 ℕ ℤ ℚ ℝ
§1.2 -Was sind und was sollen Zahlen
§1.3 -Rechengesetze
§1.4 -ℚ und ℝ als Körper
§1.5 Ordnungsrelationen
+ transitiv a‹b ⇒ a+c‹b+c, a·c⇒b·c für 0‹c. Dto. für "≤"
|a·b|=|a|·|b|, |a+b|≤|a|·|b|
§1.6 Vollständige Induktion
Jede Teilmenge A≠{} von ℕ hat ein kleinsten Element: min(A)
⇒ Induktionsprinzip: Für M⊆ℕ, 1∈M und falls mit k∈M
auch k+1k∈M ⇒ M=ℕ Bew.:?
§1.7 -Intervalle
§1.8 -Beschränkte Mengen, obere und untere Schranken
§1.9 -Maximum und Minimum
§1.10 Archimedische Anordnung (0‹p‹q∈ℤ ⇒ ∃n∈ℕ so, dass np›q).
Dichtigkeit von ℚ
§1.11 -Die Abzählbarkeit von ℚ
§1.12 -Die Lückenhaftigkeit von ℚ
§2 Vollständigkeit von ℝ, konvergente Folgen
S.28
§2.1 Supremum und Infimum
Supremungsaxiom. Z.B. sup{2-1/n|n∈ℕ}=2
§2.2 Folgerungen aus dem Supremungsaxiom
§2.3 Folgen
§2.4 Nullfolgen
§2.5 Sätze über Nullfolgen
§2.6 Grenzwerte von Folgen. Def.
Für alle ε›0 ∃N∈ℕ so, dass ∀n›N gilt |a-an|<ε
§2.6 Existenz der m-ten Wurzel, rationale Potenzen
§2.7 Intervallschachtelungen n+1-tes Intervall ⊂ n-ten Intervall ...
§2.8 Grenzwertfreie Konvergenzkriterien
monotone und beschränkte Folgen
Satz von Bolzano-Weierstraß
Cauchy-Kriterium
§2.9 Cauychy-Kriterium, Satz von Bolzano-Weierstraß
§3 Elementare Funktionen
§3.1 die Folge (1+x/n)n
§3.2 Die Exponentialfunktion
Radioaktiver Zerfall
§3.3 Funktionen (Abbildungen)
§3.4 Die Logarithmusfunktion
§3.5 Die allgemeine Potenz und der Zehnerlogarithmus
§3.6 Zusammengesetzte Funktionen
§3.7 Polynome
§3.8 Die trigonometrischen Funktionen
§4 Mengen und Wahrscheinlichkeit §4.1 Einfache Mengenalgebra §4.2 Exkurs über logisches Schließen und Beweistechnik §4.3 Notwendige und hinreichende Bedingungen, Schlußrichtung §4.4 Beliebige Vereinigungen und Durchschnitte §4.5 Beispiele zur Wahrscheinlichkeit §4.6 Das math. Modell endlicher Zufallsexperimente §4.7 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten §4.8 Kombinatorische Grundformeln I §4.9 Die Binomialverteilung §4.10 Kombinatorische Grundformeln II
Kapitel II Vektorrechnung in ℝn
§5 Vektorrechnung in ℝ2
$5.1 Vektorielle Größen in der Physik $5.2 Vektoren in der ebenen Geometrie §5.3 Koordinatendarstellung von Punkten und Vektoren §5.4 Punkte und Vektoren §5.5 Geraden und Strecken, Schnitt von 2 Geraden §5.6 Lineare 2x2-Gleichungssysteme §5.7 Abstand, Norm, Winkel, ebene Drehungen §5.8 Komplexe Zahlen (als Vektoren) §5.9 Die komplexe RExperimentalfunktion §5.10 Der Fundamentalsatz der Algebra, Beispiele $5.11 Drehungen und Spiegelungen in ℝ2
§6 Vektorrechnung in ℝn
§6.1 Der Vektorraum ℝn §6.2 Skalarprodukt, Längen, Winkel §6.3 Das Vektorprodukt in ℝ3 §6.4 Entwicklung nach Orthonormalsystem, Orthonormalbasen §6.5 Das Spatprodukt
Kapitel III Analysis einer Veränderlichen
§7 Unendliche Reihen
$7.1 Reihen im Reellen §7.2 Konvergenzkriterien für Reihen §7.3 Reihen mit komplexen Gliedern §7.4 Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern §7.5 Cauchy- und Majorantenkriterium §7.6 Umordnung von Reihen §7.7 Das Cauchy-Produkt
§8 Grenzwert von Funktionen und Stetigkeit
§8.1 Grenzwerte von Funktionen §8.2 Stetigkeit §8.3 Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen §8.4 Hauptsätze über stetige Funktionen §8.5 S. 172 und 173 fehlen §8.6 Der Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit
§9 Differenzialrehnung
§9.1 Vorbemerkung §9.2 Differenzierbarkeit und Ableitung §9.3 Differenzierbarkeit zusammengesetzter Funktionen §9.4 Mittelwertsätze und Folgerungen §9.5 Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion §9.6 Höhere Ableitungen und ℂn-Funktionen §9.7 Die Taylorentwicklung §9.8 Lokale Minima und Maxima §9.9 Bestimmung des Grenzwertes nach de l'Hospital
§10 Reihenentwicklung und Schwingungen
§10.1 Die Taylorreihe §10.2 Potenzreihen §10.3 Gliedweise Differnzierbarkeit und Identitätssatz §10.4 Theorie der Schwingungsgleichung §10.5 Lösung der Schwingungsgleichung durch komplexen Ansatz
§11 Integralrechnung
§11.1 Treppenfunktionen und ihr Integral §11.2 Der gleichmäßige Abstand zweier beschränkter Funktionen §11.3 Integrierbare Funktionen und Eigenschaften des Integrals §11.4 Integrierbarkeit stückweise stetiger Funktionen und monotoner Funktionen §11.5 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung §11.6 Partielle Integration §11.7 Die Substitutionsregel §11.8 Integration rationaler Funktionen §11.9 Intergration von √x2+αx+β §11.10 Übergang zum halben Winkel
§12 Vertauschung von Grenzprozessen, uneigentliche Integrale
§12.1 Problemstellung, Beispiele §12.2 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen §12.3 Vertauschen von Grenzübergängen §12.4 Uneigentliche Integrale §12.5 Substitution und partielle Integration, Gamma-Funktion
§13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen
§13.1 Die lineare Differentialgleichung y'=a(x)y+b(x) §13.2 Beispiel Riccati-Gleichung und auslafender Becher §13.3 Die separierte DGL y'=a(x)·b(y) §13.4 Zurückführen auf getrennte Variable §13.10 Übergang zum halben Winkel §13.11 Schlußbemerkung und Literatur
Kapitel IV Lineare Algebra
§14 Vektorräume
§14.1 Wovon handelt die lineare Algebra §14.2 Vektorräume §14.3 Teilräume §14.4 Linearkombinationen, Erzeugendensystem §14.5 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit §14.6 Basis
§15 Lineare Abbildungen und Matrizen
§15.1 Beispiele §15.2 Die Dimensionsformel §15.3 Verknüpfung linearer Abbildungen §15.4 Lineare Abbildungen und Matrizen §15.5 Matrizenrechnungen §15.6 Invertierbare lin. Abb. und reguläre Matrizen §15.7 Basiswechsel und Koordinatentransformation
§16 Lineare Gleichungen
§16.1 Problemstellung und Beispiele §16.2 Allgemeines zur Lösbarkeit und Lösungsmenge §16.3 Rangbedingungen §16.4 Eliminationsverfahren §16.5 Interpolation und numerische Quadratur §16.6 Die Methode der kleinsten Quadrate
§17 Determinanten
§17.1 Beispiele §17.2 Definition der n-Determinante §17.3 Eigenschaften der Determinante §17.4 Volumen von Parallelflachen §17.5 *Orientierung und Determinante
§18 Eigenwerte und Eigenvektoren
§18.1 Diagonalisierbarkeit und Eigenwertproblem §18.2 Eigenwerte und Eigenvektoren §18.3 Das charakteristische Polynom §18.4 Diagonalisierbarkeit von Operatoren §18.5 Entkopplung von Systemen linearer DGLen