Quadratische, kubische und höhere Gleichungen

Quadratische Gleichung x²+px+q=0

In der Schule lernt man die Lösungsformel

Herleitung

      
 2                                       p 2
x +px+q=0     Addiere auf beiden Seiten (—) und subtrahiere q
                                         2

    2     p  2    p 2 
⇔ x +px+(—)   = (—) -q   Links steht ein Quadrat!
          2       2

     p 2   p 2
⇔(x+—)  =(—) -q      Wurzelziehen ergibt:
     2     2
     
               ———————
       p      / p 2 
⇒ x + —  = ± √(—) -q
       2        2

               ———————
         p    / p 2 
⇔ x = - — ± √ (—) -q  Zwei Lösungen x  und x .
         2      2                     1      2

.

   
Anzumerken ist: x + x = -p und x x = q (Satz von Vieta)
                 1   2          1 2

Beispiel 1: x²-2x-15=0
Lösung: x_1,2=1±√1+15 ⇒ x₁=5 und x_s=-3

Beispiel 2: x²+2x+3=0
Lösung: x_1,2=-1±√-2 ⇒ x₁=-1+i√2 und x₂=-1-i√2
Die Lösungen sind nicht reell, sondern komplex mit i²=-1.

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Kubische Gleichungen Klassische Lösung nach Cardano: Siehe hier Formel der reduzierte kubische Gleichung x3+a1x+a0=0 siehe hier... Formel der allgemeine kubische Gleichung x3+a2x2+a1x+a0=0 siehe hier...

Gleichung 4. Grades x4+ax3+bx2+cx+d=0 Formel siehe hier...

Gleichung 5. Grades und höher Dafür gibt es nach der Galoistheorie keine allgemeine Formel. Kurzfassung der Galoistheorie: hier