Joachim Mohr Mathematik Musik
Für das Verständnis dieser Seite wird die Kenntnis des Fundamentalsatztes der Algebra (Analysis), Kenntnis in der Gruppentheorie und Kenntnis über Körpererweiterungen vorausgesetzt.
Die geniale Idee von
Évariste Galois ist: Bei der Lösung von Polynomgleichungen durch Radikale können wir uns auf Ergebnisse der Gruppentheorie stützen.
Satz: Ein irreduzibles Polynom 5. Grades mit drei reellen und zwei komplexen Nullstellen ist
nicht durch Radikale darstellbar.
Durch Radikale darstellbar heißt: die Nullstellen lassen sich darstellen als Kombination von rationalen Zahlen und √, ∛, ∜, usw.
Damit ist gezeigt: Es gibt keine allgemeine Lösungsformel für die Nullstelle eines Polynoms 5. Grades.
Beweisidee: Sei L der Zerfällungskörper von f (L⊂ℂ). Wir betrachten die Automorphismengruppe G vo L.
Da die Gruppe G die Nullstellen
N={x
1,x
2,x
3,x
4,x
5} permutiert, kann G als eine Untergruppe der Symmetriegruppe S
5 betrachtet werden. Man kann zeigen, dass G einen Fünferzyklus und einen Zweierzyklus enthält - zum Beispiel den 5-Zyklus (1→2→3→4→5) und den Zweierzyklus (4→5). Daraus folgt, dass G=S
5 ist.
Jetzt kommt der
Haupsatz der Galoistheorie ins Spiel. Dieser besagt:
f ist durch Radikale darstellbar, wenn seine Galoisgruppe auflösbar ist.
Dabei heißt eine Gruppe G auflösbar, wenn die Folge G
1={aba
-1b
-1|a,b∈G} , G
2={aba
-1b
-1|a,b∈G
1}, ..., bei G
n={e} für ein n∈ℕ endet, wobei e das neutale Element von G ist. (Siehe unten).
Man nennt {aba
-1b
-1|a,b∈G} die Kommutatorgruppe von G.
Man kann nachrechnen dass für G=S
5 gilt: A
5=G
1=G
2=.... Die Kette der Kommutatorengruppen endet nie bei {e}.
S
5 enhält 5!=120 Element und A
5 enthält 60 Elemente.
Damit ist gezeigt, dass das oben genannte Plynom nicht durch Radikale lösbar ist.
Galoisgruppe der allgemeinen Gleichung n-ten Grades
Wir betrachten die allgemeine Polynomleichung n-ten Grades.
f(X)=a
nX
n+a
n-1X
n-1+...+a
2X
2+a
1X+a
0
(a
n, a
n-1, ... , a
2, a
1, a
0∈ℚ).
Aus algebraischer Sicht existiert dazu ein bis auf Isomorphie eindeutig bestimmter Zerfällungskörper
L=ℚ(x
1, x
2, ... , x
n), wobei x
1, x
2, ... , x
n die formal ausgedrückte Nullstellen sind. Dessen Automrphismengruppe ist dann die Galoisgruppe Gal(f,ℚ).
2
Zum Beipiel ist für n=2 für f(X)=X +pX+q der Zerfällungskörper L=ℚ(x ,x ) = ℚ(r)
1 2
p — p 2
für x = - ±√r mit r= (—) -q .
1,2 2 2
Die Automorhismen von L permutieren die Nullstellen von f, ist also isomorph zu einer Untergruppe von S
n.
Für n=2 sind die Automorphismen von L die Identität und der Atomorhismus
a+b√
r→a-b√
r (a,b∈ℚ).
Ein Satz Gruppentheorie besagt, dass S
n nur für n≤4 auflösbar ist. Folgerung:
Satz: Die Nullstellen der allgemeine Gleichung
f(X)=a
nX
n+a
n-1X
n-1+...+a
2X
2+a
1X+a
0
sind nur für n≤4 durch Radikale darstellbar.
Auflösbare Gruppen
Ein zenrales Thema der Galoistheorie betrifft den Begriff der auflösbaren Gruppe.
Definition: Eine Gruppe G heißt auflösbar, wenn die Folge G1={aba-1b-1|a,b∈G} , G2={aba-1b-1|a,b∈G1}, ..., bei Gn={e} für ein n∈ℕ endet, wobei e das neutale Element von G ist.
Gleichwertig mit dieser Definition ist auch folgende Definition möglich:
Definition: Eine Gruppe G heißt auflösbar, wenn eine Subnormaleneihe mit abelschen Faktorgruppen existiert.
Eine Faktorgruppe ist nämlich genau dann abelsch, wenn der zugehörige Normlteiler die Kommutatorgruppe enhält.
Satz: Die Nullstellen eines irreduzieblen Polynoms f sind durch Radikale darstellbar, wenn seine Galoisgruppe auflösbar ist.