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Für das Verständnis dieser Seite wird die Kenntnis des Fundamentalsatztes der Algebra (Analysis), Kenntnis in der Gruppentheorie und Kenntnis über Körpererweiterungen vorausgesetzt.
Die geniale Idee von Évariste Galois ist: Bei der Lösung von Polynomgleichungen durch Radikale können wir uns auf Ergebnisse der Gruppentheorie stützen.

Satz: Ein irreduzibles Polynom 5. Grades mit drei reellen und zwei komplexen Nullstellen ist nicht durch Radikale darstellbar.

Durch Radikale darstellbar heißt: die Nullstellen lassen sich darstellen als Kombination von rationalen Zahlen und √, ∛, ∜, usw.
Damit ist gezeigt: Es gibt keine allgemeine Lösungsformel für die Nullstelle eines Polynoms 5. Grades.

Beweisidee: Sei L der Zerfällungskörper von f (L⊂ℂ). Wir betrachten die Automorphismengruppe G vo L.
Da die Gruppe G die Nullstellen N={x1,x2,x3,x4,x5} permutiert, kann G als eine Untergruppe der Symmetriegruppe S5 betrachtet werden. Man kann zeigen, dass G einen Fünferzyklus und einen Zweierzyklus enthält - zum Beispiel den 5-Zyklus (1→2→3→4→5) und den Zweierzyklus (4→5). Daraus folgt, dass G=S5 ist.
Jetzt kommt der Haupsatz der Galoistheorie ins Spiel. Dieser besagt:

f ist durch Radikale darstellbar, wenn seine Galoisgruppe auflösbar ist.

Dabei heißt eine Gruppe G auflösbar, wenn die Folge G1={aba-1b-1|a,b∈G} , G2={aba-1b-1|a,b∈G1}, ..., bei Gn={e} für ein n∈ℕ endet, wobei e das neutale Element von G ist. (Siehe unten).
Man nennt {aba-1b-1|a,b∈G} die Kommutatorgruppe von G.
Man kann nachrechnen dass für G=S5 gilt: A5=G1=G2=.... Die Kette der Kommutatorengruppen endet nie bei {e}. S5 enhält 5!=120 Element und A5 enthält 60 Elemente.
Damit ist gezeigt, dass das oben genannte Plynom nicht durch Radikale lösbar ist.

Galoisgruppe der allgemeinen Gleichung n-ten Grades

Wir betrachten die allgemeine Polynomleichung n-ten Grades.
f(X)=anXn+an-1Xn-1+...+a2X2+a1X+a0 (an, an-1, ... , a2, a1, a0∈ℚ).
Aus algebraischer Sicht existiert dazu ein bis auf Isomorphie eindeutig bestimmter Zerfällungskörper L=ℚ(x1, x2, ... , xn), wobei x1, x2, ... , xn die formal ausgedrückte Nullstellen sind. Dessen Automrphismengruppe ist dann die Galoisgruppe Gal(f,ℚ). 
                                                                                            
                                  2                                                    
Zum Beipiel ist für n=2 für f(X)=X +pX+q der Zerfällungskörper L=ℚ(x ,x ) = ℚ(r)
                                                                    1  2
                                                                                  
           p   —            p 2 
für x    = - ±√r mit   r=  (—) -q .
     1,2   2                2
Die Automorhismen von L permutieren die Nullstellen von f, ist also isomorph zu einer Untergruppe von Sn.
Für n=2 sind die Automorphismen von L die Identität und der Atomorhismus a+b√r→a-b√r (a,b∈ℚ).
Ein Satz Gruppentheorie besagt, dass Sn nur für n≤4 auflösbar ist. Folgerung:
Satz: Die Nullstellen der allgemeine Gleichung f(X)=anXn+an-1Xn-1+...+a2X2+a1X+a0 sind nur für n≤4 durch Radikale darstellbar.

Auflösbare Gruppen

Ein zenrales Thema der Galoistheorie betrifft den Begriff der auflösbaren Gruppe.
Definition: Eine Gruppe G heißt auflösbar, wenn die Folge G1={aba-1b-1|a,b∈G} , G2={aba-1b-1|a,b∈G1}, ..., bei Gn={e} für ein n∈ℕ endet, wobei e das neutale Element von G ist.
Gleichwertig mit dieser Definition ist auch folgende Definition möglich:
Definition: Eine Gruppe G heißt auflösbar, wenn eine Subnormaleneihe mit abelschen Faktorgruppen existiert.
Eine Faktorgruppe ist nämlich genau dann abelsch, wenn der zugehörige Normlteiler die Kommutatorgruppe enhält.
Satz: Die Nullstellen eines irreduzieblen Polynoms f sind durch Radikale darstellbar, wenn seine Galoisgruppe auflösbar ist.