3 2 1 2 3 1 3 y +0·y +(-—a+b)y+——a -—ba+c also zur einer Form y +py+q=0 3 27 3Über die Lösungen für y bekommt man dann auch die Lösungen für x.
x1+x2+x3=-a
x1·x2+x1·x3+x2·x3=b
x1·x2·x3=-c
a - 1 n n-1 n-1 Die Gleichung x + a x + ... + a lässt sich mit y=x+ ——————— (falsch!!!!) n-1 0 n-1 a n n-1 n-1 Die Gleichung x + a x + ... + a lässt sich mit y=x+ ————— (so richtig. korr. 4.11.2023) n-1 0 nreduzieren zu einem Polynom, bei der der Faktor vor yn-1 den Wert 0 animmt.
— — 1 — 1 — 1 — — 1 — 1 — 1 — — — x =1+∛2+∛4, x = 1-—∛2-—∛4+—i√3(∛4-∛2) und x = 1-—∛2-—∛4-—i√3(∛4-∛2) 1 2 2 2 2 3 2 2 2
Siehe auch hier
mit vielen Beispielen
BAE 6
Vorübung: (1) (u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3=u3+v3+3uv(u+v).
(2) Ist w2+pw+q=(w-a)(w-b), so ist (w-a)(w-b)=w2-w(a+b)+ab.
Ist also von zwei Zahlen a und b die Summe a+b=-p und das Produkt ab=q bekannt, so sind sie Lösungen der Gleichung w2+pw+q.
————————— 3 3 q /q 2 p 3 u bzw. v=-—±\/(—) + (—) also 2 2 3 — — 3/3 3/3 3 3 x=u+v=√u + √v (u mit + und v mit -) p — — Nebenbedingung uv=-— für die komplexen ∛u bzw. ∛v 3
— — — — Also u=∛2 und v=∛4 (uv=2). Somit ist x =∛2+∛4 1 — — Die weiteren Löungen ergeben sich aus u=∛2·cis(120°) und v=∛4cis(240°) zu 1 — — 1 — — — — x = -—(∛2+∛4)+ —√3i(∛2-∛4) und aus u=∛2·cis(240°) und v=∛4cis(120°) zu 2 2 2 1 — — 1 — — — x = -—(∛2+∛4)+ —√3i(-∛2+∛4). Hier stets uv=2. 3 2 2
———————— ———————— ———— 3/3 19 3/3 19 / 5 x=√ — + ——s + √ — - ——s für s=√ - - 2 6 2 6 3(BAE 14) Mit Rechnung in komplexen Zahlen ergibt dies tatsächlich: x=3. Die Lösung dieser Gleichung erfolgt über komplexe Zahlen.
3 2 2 x + 3x + 2x + 6 = (x + 2)(x + 3) Beachte: 6 = 3·2 3 2 2 x + 4x - 3x - 12 = (x - 3)(x + 4) -12 = 4·(-3) 3 2 2 x - x - 5x + 5 = (x - 5)(x - 1) 5 = (-1)·(-5) implementierbar: x^3+3*x^2+2*x+6 = (x^2+2)*(x+3) x^3+4*x^2-3*x-12 = (x^2-3)*(x+4) x^3-x^2-5*x+5 = (x^2-5)*(x-1)
3 Ist 8c=4ab-a , dann ist 3 2 2 4c x + ax + bx + c = (x + p·x + q)(x + s) mit q = ——— a·a a 2c a und daraus ergibt sich: p = -, q = —— und s = - 2 a 2Beispiele:
3 2 2 x + 2x + 4x + 3 = (x + x + 3)(x + 1) 3 2 2 x + 2x + 3x + 2 = (x + x + 2)(x + 1) 3 2 2 x - 4x + 3x + 2 = (x - 2x - 1)(x - 2) 3 2 2 x - 4x - x + 10 = (x - 2x -5)(x - 2) 3 2 2 x + 14x - 11x - 420 = (x + 7x - 60)(x + 7) implementierbar: x^3+2*x^2+4*x+3 = (x^2+x+3)*(x+1) x^3+2*x^2+3*x+2 = (x^2+x+2)*(x+1) x^3-4*x^2+3*x+2 = (x^2-2*x-1)*(x-2) x^3-4*x^2-x+10 = (x^2-2*x-5)*(x-2) x^3+14*x^2-11*x-420=(x^2+7*x-60)*(x+7)