Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

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Diskantklausel

Was klingt besser? Mit großem oder mit kleinem Ganzton?


Diskantklausel
fg eg f
Mit großem Ganzton
E-Schr Frequenzen  Verhältnis
 f g   352 396  9/8
,e g   330 396  6/5
 f f   352 352  1/1

Mit kleinem Ganzton
E-Schr Frequenzen Verhältnis
 f ,g  352 391,1  10/9
,e ,g  330 391,1  32/27
 f  f  352 352    1/1

Im Gegensatz zur gleichstufig temperierten Stimmung gibt es in der reinen Stimmung zwei Ganztöne. Hier hoert man deutlich, dass in der Diskantklausel der grosse Ganzton (Verhaeltnis 9:8) benoetigt wird. Der kleine Ganzton (Verhaeltnis 10:9) klingt fade. Ausserdem ist die anschliessende Aufloesung der Dissonanz zur kleinen Terz nicht rein. (Verhaeltnis sollte 6:5 sein, ist aber um ein Terzkomma 81:80 zu klein und wird zu 32:27).

Harmonisierung einer zweistimmige Klausel

Zweistimmige Klausel
Zweistimmige Klausel:

Domininat Quartvorbehalt
Die zweistimmige Klausel wird nun mit einem Bass versehen und harmonisiert

Mit Akkord der II Stufe Der Akkord auf der II. Stufe f ,d c Subdominantisch (Das ,d im 2. Takt zunächst ein syntonisches Komma als das d im nächsten Akkord höher)

Mit Akkord der II Stufe Der Akkord auf der II. Stufe f d c doppeldominatisch (Das d im 2. Takt wie in C-Dur).

Doppeltdominantisch Der Akkord auf der II. Stufe ,fis d c echt doppeldominatisch

Der Akkord der II. Stufe

Jetzt wird gezeigt, wie der Dreiklang auf der II. Stufe der Tonleiter zur Kommafalle werden kann. Wie soll man die Folge Subdominantenparallele - Dominante - Tonika im Chor singen?

Das Problem ist, dass die Quinte D-A bzw. die Quarte A-D in der C-Durtonleiter nicht rein ist. Der Ganzton von C nach D hat in C-Dur das Verhältnis 8:9 ("großer Ganzton" 203,9 Cent). Für einen reinen D-A-Klang müsste das Verhältnis vom Ton C zum Ton D C:D=9:10 ("kleiner Ganzton" 182,4 Cent) wie in F-Dur sein. Oder der Ganzton G-A müsste das Verhältnis G:A=8:9 wie in G-Dur statt das Verhältnis 9:10 haben. (Die Verhältnisse werden in TTMusik automatisch berechnet.)

Lassen Sie unten das erstes Beispiel erklingen und horchen Sie auf die unschönen Schwebungen im dritten Akkord!.

Im zweiten Beispiel intoniert der Sopran das D etwas tiefer. Dies ist eine (Fein-)Modulation nach dem D der F-Dur-Tonleiter. Beim neapolitanischen Sextakkord Des-F-As wird diese Modulation in den Subdominantenbereich betont.

Im dritten Beispiel intonieren Alt und Tenor das F und A ein Komma höher. Dies wiederum ist eine (Fein-)Modulation nach G-Dur. Der Akkord FAD wäre dann die Doppel(moll)dominante. Bei der Doppel-Dur-Dominante mit Fis wird diese Modulation in den Dominantenbereich betont.


Diese Version scheint mir angebracht. Vergleiche den vorhergenden Abschnitt "Harmonisierung einer zweistimmige Klausel".

Dann ist auch das Problem der "Kommafalle" umgangen.

Die Bezeichnung "Parallele der Subdominante" ist dann aber unzufreffend. Besser würde dieser Akkord als "Doppeldominante (in moll)" bezeichnet werden müssen.

Subdominatenparallel

Das Problem der Subdominantparallele

Betrifft den Akkord:   F-A-D
unrein:
rein:
unrein:
Akkord Frequenzen     Fr.-Verh.
e  g  c   330 396 528    6/5 4/3
f ,a  c   352 440 528    5/4 6/5
f ,a  d   352 440 594    5/4 27/20
                      (unrein!)
g  h  d   396 495 594    5/4 6/5
g  c ,e   396 528 660    4/3 5/4

rein:
Akkord  Frequenzen    Fr.-Verh.
,e  g  c    330 396 528   6/5 4/3
 f ,a  c    352 440 528   5/4 6/5
 f ,a ,d    352 440 586,7 5/4 4/3
                 =====
             (,d tiefer)
 g  h  d    396 495 594   5/4 6/5
                ====
 d wieder höher)
 g  c ,e    396 528 660   4/3 5/4

F-A-D Als Doppeldominante (in Moll)
Akkord    Frequenzen      Fr.-Verh.
,e  g  c  330   396   528 6/5 4/3
 f  a  c  352   440   528 5/4 6/5
,f  a  d  356,4 445,5 594 5/4 4/3
                    ===
         (f und a höher)
 g ,h  d  396   495   594   5/4 6/5
                  ===
               (d bleibt)
 g  c ,e  396   528   660   4/3 5/4

Mit TTmusik können Sie die Intervalle statt mit den Frequenzverhältnissen auch mit dem Centmaß angeben lassen:
            gleichstufig temperiert (Zum Vergleich)
            Frequenzen in Cent    Intervalle in Cent
            (c = 0 Cent)          (Oktave = 1200 Cent)
e g c       400   700     0       300    500
f a c       500   900     0       400    300
f a d       500   900   200       400    500
g h d       700  1100   200       400    300
g c e       700     0   400       500    400
              1. Beispiel (unrein)
            Frequenzen in Cent    Intervalle in Cent
,e  g  c    386,3 702     0       315,6  498,0
 f ,a  c    498,0 884,4   0       386,3  315,6
 f ,a  d    498,0 884,4 203,9     386,3  519,6
 g ,h  d    702  1088,3 203,9     386,3  315,6
 c  c ,e    702     0   386,3     498,0  386,3
              2. Beispiel (rein, 3. Akkord subdominantisch)
            Frequenzen in Cent    Intervalle in Cent
,e  g  c    386,3 702     0       315,6  498,0
 f ,a  c    498,0 884,4   0       386,3  315,6
 f ,a ,d    498,0 884,4 182,4     386,3   498
 g ,h  d    702  1088,3 203,9     386,3  315,6
 c  c ,e    702     0   386,3     498,0  386,3
              3. Beispiel (rein, 3. Akkord dominantisch)
            Frequenzen in Cent    Intervalle in Cent
,e  g  c    386,3 702     0       315,6  498,0
 f ,a  c    498,0 884,4   0       386,3  315,6
'f  a  d    519,6 905,9 203,9     386,3 498,0
 g ,h  d    702  1088,3 203,9     386,3  315,6
 c  c ,e    702     0   386,3     498,0  386,3

Subdominatenparallel

Die Kommafalle


Wird im 2. Beispiel (siehe hier...) das Sopran-d im 4. Akkord mit 587 Hz statt mit 594 Hz gesungen, dann erklingt die Dominante und der Schlussakkord zu tief. Wegen der Feinmodulation muss das "d" im 4. Akkord ein Komma höher sein wie im 3. Akkord. (vergleiche Beispiel "erstes d tiefer").

Kommafalle
           Frequenzen     in Cent
,e   g   c 330 396 528    386  702   0
 f  ,a   c 352 440 528    498  884   0
 f  ,a  ,d 352 440 587    680  884 182
,g ,,h  ,d 391 488 587    680 1066 182
,g  ,c ,,e 391 521 652    680 1178 364

,,e   ,g   ,c 326 391 522    364  680 1179
 ,f  ,,a   ,c 348 435 522    477  863 1179
 ,f  ,,a  ,,d 348 435 579    477  863  161
,,g ,,,h  ,,d 386 482 579    659 1045  161
,,g  ,,c ,,,e 386 515 644    659 1157  343     (Zwei syntonische Komma zu tief)
  
 g   c  ,e        396 528 660    702 1200  386 (Sollfrequenz)
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