Joachim Mohr   Mathematik Musik
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Verallgemeinerung:
Das arithmetische Mittel im Vergleich zum geometrischen Mittel

Die Verallgemeinerung des Satzes lautet: 

                              x + x + x + ... x
          n ——————————————     1   2   3       n
A(n):     \/x ·x ·x ...·x   ≤ ——————————————————  (n ≥ 1)
             1  2  3     n          n

Beweis durch Vorwärts-Rückwärts-Induktion:
(Nach Cauchy Augustin Louis Cauchy. Quelle www.oemo.de) und www.wikipedia.de.

Induktionsanfang n=2:

                      x + x
             —————     1   2
A(2):      \/x ·x   ≤ ——————   (Beweis siehe Der Fall n=2)
              1  2       2

Vorwärtsschritt: n ⇒2n (n ≤ 2):

Aus A(2) (Induktionsanfang) und A(n) (Induktionsvoraussetzung) (n ≤ 2) wird hergeleitet:

                               x + x + x + ... x
           2n——————————————     1   2   3       2n
A(2n):     \/x ·x ·x ...·x   ≤ ———————————————————   (Induktionsbehauptung)
              1  2  3     2n          2n

Nachweis der Induktionsbehauptung: nach Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung ist für

   n ——————————————            n —————————————————————
a= \/x ·x ·x ...·x    und b =  \/x   ·x   ·x   ...·x
      1  2  3     n               n+1  n+2  n+3     2n


                      x + x + x + ... x           x   + x   + ... x
  ———    a + b         1   2   3       n           n+1   n+2       2n
\/a·b ≤  —————  , a ≤ ——————————————————  und b ≤ ——————————————————— also
           2                n                             n

                                        x + x + x + ... x     x   + x   + ... x
2n——————————————      ———    1        1  1   2   3       n     n+1   n+2       2n
\/x ·x ·x ...·x   = \/a·b ≤  -(a+b) ≤ -(——————————————————  + ———————————————————)
   1  2  3     2n            2        2       n                       n


  x + x + x + ...+ x + x   + x   + ... x
   1   2   3        n   n+1   n+2       2n
≤ ————————————————————————————————————————    ∎
         2n

Rückwärtsschritt: n⇒n-1 (n ≤ 2):

Aus A(n) (Induktionsvorraussetzung für beliebige Folgen mit n Gliedern) leiten wir A(n-1) (Induktionsbehauptung des Rückwärtsschrittes für die Folge x1,x2, ... , xn-1) her:

       n-1 ————————————————        n
Mit c= \  /x ·x ·x ...·x    folgt c  = x ·x ·x ...·x     und damit
        \/  1  2  3     n-1             1  2  3     n-1


       ——     —————                           x + x + x + ...+ x + c
    n /n    n/n-1     n ———————————————————    1   2   3        n
c = \/c  = \/c   ·c = \/x ·x · ... ·x   · c ≤ ——————————————————————  (Nach Induktionsvor.)
                         1  2        n-1               n

                                                         1
Ziehen wir von c (dem ersten Term) und vom letzten Term  -·c ab, so erhalten wir:
                                                         n

          x + x + x + ...+ x
    1      1   2   3       n
c - -c ≤  ——————————————————  und daraus folgt: (n-1)c ≤  x + x + x + ...+ x
    n             n                                        1   2   3        n

                               x + x + x + ...+ x
       n-1 ————————————————     1   2   3        n
und c= \  /x ·x ·x ...·x     ≤ ———————————————————   ∎
        \/  1  2  3     n-1        n - 1