Umkehrfunktionen

1. einführendes Beispiel:

      2                               +                              +
f(x)=x  Definitionsbereich (hier) D =R  ={x∈R|x≥0}, Wertebereich W =R  .
                                   f  0                           f  0

Wenn der Funktionswert bekannt ist - z.B. f(x)=2 - so kann x berechnet werden.

      2          —                 
f(x)=x = 2 ⇒ x=√2 . 

              —
Der Wert  x=-√2 ist ausgeschlossen, da er nicht im Definitionsbereich ist.


(Das ist auch der Grund, dass der Definitionsbereich von f eingeschränkt wurde.)

                            —
Allgemein gilt y=f(x) ⇔ x=√y.

                                       —
Die Umkehrfunktion von f ist also y → √y oder (mit Vertauschen von x und y)

 -1      —        +
f  (x)= √x für x∈R . 
                  0
                                                  -1            -1 
Es gilt hier - wie für alle Umkehrfunktionen - f(f  (x))=x und f  (f(x))=x, nämlich

                                                    ——
   -1          —     — 2         -1        -1  2   / 2
f(f  (x)) = f(√x))=(√x) = x und f  (f(x))=f  (x )=√ x  = x.

                                            -1
Grundsätzlich gilt: Definitionsbereich von f  = Wertebereich von f

                                      -1
                    Wertebereich von f  = Definitionsbereich von f.

2. einführendes Beispiel:

Kleine Vorübung: lg(x) ist die Zahl mit der ich 10 potenzieren muss, damit ich x erhalte.
Also lg(1000)=3, lg(10⁵)=lg(100 000)=5. Allgemein: lg(10^x)=x.
Umgekeht: 10^lg(1000) = 10³=1000. Allgemein: 10^lg(x) = x.

       x
       —
       3                                            +
f(x)=10  Definitionsbereich D =R,  Wertebereich W =R  .
                             f                    f

Was muss ich für x einsetzen, dass z.B. f(x)=5 ist?

  x            x 
  —            —
  3            3           x                 x  
10  =5 ⇒ lg(10  )=lg(5) ⇒ —·lg(10)=lg(5) ⇒ —·1=lg(5)  ⇒x=3·lg(5)≈2,1  
                           3                 3

Berechnung der Umkehrfunktion erfolgt über die Gleichung f(x)=y ⇔ x=f^-1(y).

  x            x 
  —            —
  3            3           x                 x  
10  =y ⇒ lg(10  )=lg(y) ⇒ —·lg(10)=lg(y) ⇒ —=lg(y) ⇒x=3·lg(y)  
                           3                 3

          -1                  -1
Also ist f  (y)=3·lg(y) oder f  (x)=3·lg(x)

                              x 
                              —
                              3                      + 
Die Umkehrfunktion von f(x)=10   mit D = R  und W = R  ist
                                      f          f

 -1                          +
f  (x) = 3·lg(x) mit D   = R  und W   = R.
                       -1           -1 
                      f            f

                                                         -1            -1 
Es gilt hier wieder - wie für alle Umkehrfunktionen - f(f  (x))=x und f  (f(x))=x, nämlich

                                                          x            x    
                                                          —            —                       
   -1                      lg(x)         -1          -1   3            3    x
f(f  (x)) = f(3·lg(x)) = 10     = x und f  (f(x)) = f  (10  ) = 3·lg(10 )=3·—=x. 
                                                                            3

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