Joachim Mohr Mathematik Musik
Übersicht Umkehrfunktionen
Umkehrfunktion verketteter Funktionen
Die
Verkettung von von zwei Funktionen f und g
ist folgendermaßen definiert:
Definition: Seien f und g Funktionen, wobei die Definitionsmenge D
g von g
Teilmenge der Wertemenge W
f von f ist, dann wird h=f∘g definiert durch
h(x) = f∘g(x) = f(g(x)) für alle x ε D
f
Statt "h = f Kringel g" sagt man "h = f verkettet mit g" oder "h= f
nach g".
Es wird hierbei nämlich zuerst g(x) und da
nach f(g(x)) berechnet.
Satz: Sind f und g umkehrbar, dann ist auch f∘g umkehrbar und es ist
f∘g =
g∘f, d.h.
f∘g(x) =
g(f(x))
für alle xεDg.
Beweis: Wir zeigen zuerst, dass f∘g eineindeutig ist und damit umkehrbar:
Sei f∘g(x ) = f∘g(x ) , d.h. sei f(g(x ) = f(g(x ). Dann ist
1 2 1 2
g(x ) = g(x ), da f ein-eindeutig (injektiv) ist;
1 2
und damit ist auch x = x , da g ein-eindeutig ist.
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- -
Die Umkehrfunktion von f∘g ist g∘f, denn es gilt:
- - - - -
g∘f(f∘g(x)) = g(f(f(g(x)) = g(g(x)) = x.
-
Hier wurde für u=g(x) verwendet: f(f(u)) = u.