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Übersicht Umkehrfunktionen      

Umkehrfunktion verketteter Funktionen

Die Verkettung von von zwei Funktionen f und g ist folgendermaßen definiert:

Definition: Seien f und g Funktionen, wobei die Definitionsmenge Dg von g Teilmenge der Wertemenge Wf von f ist, dann wird h=fog definiert durch

h(x) = fog(x) = f(g(x)) für alle x ε Df

Statt "h = f Kringel g" sagt man "h = f verkettet mit g" oder "h= f nach g". Es wird hierbei nämlich zuerst g(x) und danach f(g(x)) berechnet.

Satz: Sind f und g umkehrbar, dann ist auch fog umkehrbar und es ist
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fog = gof, d.h. fog(x) = g(f(x)) für alle x ε D———
                                               fog
Beweis: Wir zeigen zuerst, dass fog eineindeutig ist und damit umkehrbar:
Sei fog(x ) = fog(x ) , d.h. sei f(g(x ) = f(g(x ). Dann ist
         1         2                  1         2

g(x ) = g(x ), da f ein-eindeutig (injektiv) ist;
   1       2

und damit ist auch x = x , da g ein-eindeutig ist.
                    1   2

                               - -
Die Umkehrfunktion von fog ist gof, denn es gilt:

- -           - -           -
gof(fog(x)) = g(f(f(g(x)) = g(g(x)) = x.

                                  -
Hier wurde für u=g(x) verwendet: f(f(u)) = u.