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Der Zehnerlogarithmus

Der Zehnerlogarithmus ist die Umkehrfunktion zu f(x)=10^x.
Die Definition ist:

y=lg(x) ist die Zahl, mit der ich 10 potenzieren muss, um x zu erhalten

Beispiel: y=lg(10 000)=4, da 10⁴=10 000.

Die Potenzgesetze

10^m·10ⁿ=10^m+n. Beispiel: 10³·10²=10⁵, denn 1000·100=100 000.
10^m:10ⁿ=10^m-n. Beispiel: 10⁶:10⁴=10², denn 1000 000:10 000=100.
(10^m)ⁿ=10^mn. Beispiel:(10³)²=10⁶,denn 1000²=1000 000.

Die Auswirkungen der Potenzgesetze auf den Logarithmus:

• lg(uv)=lg(u)+lg(v). Beispiel: lg(1000·100)=lg(10⁵)=5 oder lg(1000·100)=lg(1000)+lg(100)=3+2=5.
• lg(u:v)=lg(u)-lg(v). Beispiel: lg(1000:100)=lg(10)=1 oder lg(1000:100)=lg(1000)-lg(100)=3-2.
• lg(uⁿ)=n·lg(u). Beispiel: lg(1000²)=2·lg(1000)=2·3=6 oder lg(1000²)=lg(1000·1000) =lg(1000)+lg(1000)=3+3=6.

Der Logarithmus zur Basis b

y=log x (b›0, x∈ℝ) ist die Zahl, mit der ich b potenzieren musss, um x zu erhalten.
     b

             y
y=log x  ⇔ b =x
     b

Regeln:

                                 n
log (u·v)=log u + log v und log u = n·log u 
   b         b       b         b         b

Zehnerlogarithmus

log₁₀1000 = 3, da 10³=1000. Der Zehnerlogarithmus wird auch mit lg bezeichnet. lg1000=3.

Zweierlogarithmus

log₂8 = 3, da 2³=8. Der Zweierlogarithmus wird auch mit lb (b="binär") bezeichnet. lb8=3.

Beispiel für eine Berechnung

             y           y                         lg17
y=log 17 ⇔ 5 =17 ⇔ lg(5 )=lg(17) ⇔ ylg5=lg17 ⇔y=————≈1,760374428
     5                                             lg5

Aufgaben zum Verständnis

               2                  4                   2                    10                       3
log 25 =2, da 5 =25; lb 16=4, da 2 =16; lg100=2, da 10 =100 lb1024=10, da 2 = 1024; log 343 =3, da 7 =343
   5                                                                                   7  

Diese Werte lassen sich natürlich auch immer mit dem Taschenrechner rechnen. Beispiel:

                  y
Beachte dabei lg(x ) = ylgx

              y           y                           lg343   2,5353
y=log 343 ⇒ 7 = 343 ⇒ lg7 = lg343 ⇒ y·lg7=lg343 ⇒ y=————— = —————— = 3
     7                                                lg7     0,8451

Weitere Aufgaben zum Verständnis

                 3               1             -2   1                    -2
log 216 = 3 da, 6 = 216; log  = ——— = -2, da 11  = ———, lg 0,01=-2, da 10  = 0,01
   6                        11  121                121

                    1 -3   3                                  1 y
log   8 = -3   da  (—)  = 2 =8. Immer erlaubt: y=log   8  ⇔ (—) =8 ⇒ y·lg0,5=lg8 ⇒y=-3 
   1/2      ,       2                               1/2       2

Der natürliche Logarithmus

e=2,718281828...

y=ln(x) ist die Zahl, mit der ich e potenzieren muss, um x zu erhalten.

Beispiel: y=ln(e⁴)=4.

Die Logarithmusgesetze für den natürlichen Logarithmus

• ln(uv)=ln(u)+ln(v).
• ln(u:v)=ln(u)-ln(v).
• ln(uⁿ)=n·lg(u).