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Lektionen zur Vektorrechnungin Aufgaben |
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Es handelt sich um "
Basisaufgaben " der (affinen) Geometrie, wie sie im Abitur
des Gymnasiums in Baden-Württemberg ab 2004 vorausgesetzt werden. |
| Grundlagen |
|---|
| 1. Lektion: Zwei Grundregeln, Parallelogramm, Koordinatensystem |
| 2. Lektion: Linearkombination, linear unabhängig, Standardbasis |
| 3. Lektion: Mitte, Schwerpunkt |
| 4. Lektion: Teilverhältnis |
| 5. Lektion: Punktspiegelung |
| Geraden |
| 11. Lektion: Gerade, Schnittpunkt, parallel, windschief |
| Ebenen |
| 21. Lektion: Ebene, Parameterform und Koordinatengleichung |
| 22. Lektion: Schnittpunkt Ebene-Gerade |
| 23. Lektion: Schnittgerade von zwei Ebenen |
| 24. Lektion: Spurpunkte und Spurgerade einer Ebene |
| Skalarprodukt für jeden |
| 31. Lektion: Die beiden Definitionen |
| 32. Lektion: Orthogonalität |
| 33. Lektion: Betrag, Winkel |
| 34. Lektion: Abstand Punkt-Ebene |
| Skalarprodukt für Anspruchsvolle |
| 35. Lektion: Abstand Punkt-Gerade |
| 36. Lektion: Abstand zweier windschiefer Geraden |
| 37. Lektion: Spiegelung an einer Ebene |
| 38. Lektion: Spiegelung an einer Geraden |
| Gut zu wissen |
| 41. Lektion: vorgegebene Abstände einhalten |
| 42. Lektion: Projektionen |
| 43. Lektion: Die Winkelhalbierenden zweier Geraden |
| 44. Lektion: Die winkelhalbierenden Ebenen zweier Ebenen |
| Baden-Württembergische Kugeln |
| 51. Lektion: Tangente an Kugel |
| 52. Lektion: Mittelpunkt und Radius des Schnittkreises von Kugel und Ebene |
| Ausgewählte Themen |
Achte stets auf das richtiges Vorzeichen!
——> ——> ->
a) Drücke AB und BA durch a aus.
——> -> ->
b) Drücke AC durch a und b aus!
——> -> ->
c) Drücke AB durch b und c aus!
——> -> ->
d) Drücke BC durch a und c aus!
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Beispiel:
a) Gegeben A(3|3|2) und B(6|2|5).
-> ——>
Bestimme a = AB !
|-4|
-> ——> | |
b) Gegeben P(4|7|2) und v = PQ = |-2|.
| |
| 2|
Bestimme Q!
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| a) |
Berechne D so, dass ABCD ein Parallelogramm ist und
zeichne das Parallelogramm in ein Koordinatensystem ein.
Beachte den Umlaufsinn des Parallelogramms: Verwechsle nicht das Parallelogramme ABCD mit dem Parallelogramm ABDC! |
| b) |
——> ——>
M sei die Mitte von AC. Berechne M und prüfe ob BM = MD ist.
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| c) |
-> ——> -> ——> ——> -> ->
Es sei u = AB und v = AC . Stelle BM als Linearkombination von u und v dar!
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| d) |
|-8|
——> | |
Bestimme S so, dass AS = | 0| ist.
| |
| 5|
Ergänze Deine Zeichnung zu einer Pyramide mit der
Grundfläche ABCD und der Spitze S!
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|5|
-> | |
Stelle zeichnerisch und rechnerisch den Vektor a = |7|
| |
|4|
|1| |0| |0|
-> | | -> | | -> | |
als Linearkombination von e = |0|, e = |1| und e = |0| dar.
1 | | 2 | | 3 | |
|0| |0| |1|
-> -> ->
(Man nennt {e , e , e } Standardbasis.)
1 2 3
|-1| | 2| | 6| |-9| |4| |8|
-> | | -> | | -> | | -> | | -> | | -> | |
a) a = | 2| b = |-4| b) u = |-4| v = | 6| c) p = |3| q = |6|
| | | | | | | | | | | |
|-1| | 2| | 2| |-3| |2| |3|
2. Aufgabe:Prüfe jeweils, ob die drei Vektoren linear abhängig sind!
| 0| |1| | 2| | 0| |1| |1|
-> | | -> | | -> | | -> | | -> | | -> | |
a) a = |-6| b = |1| c = |-4| b) u = |-1| v = |0| w = |1|
| | | | | | | | | | | |
| 0| |1| | 2| | 2| |2| |1|
3. Aufgabe:
 |
-> ->
Die Vektoren u und v
verbinden die Seitenmitten des Vierecks.
-> ->
a) Stelle u und v als Linearkombination
-> -> -> -> ->
von a , b und c dar und zeige: u = v .
b)Beweise damit:
Verbindet man in einem Viereck die
Mittelpunkte benachbarter Seiten,
so entsteht ein Parallelogramm.
|
|
1. Aufgabe:
M a, M bund M cseien die Seitenmitten des Dreiecks und S der Schwerpunkt.
-> ——> 1 -> ->
a) Beweise! m = OM = -(b + c )
a a 2
("Mitte = Mittelwert")
-> ——> 1 -> -> ->
b) Beweise! s = OS = -(a + b + c )
3
("Schwerpunkt = Mittelwert")
2. Aufgabe:Berechne die Seitenmitten und den Schwerpunkt des Dreiecks |
Es gibt verschiedene Definitionen des Teilverhältnisses, die sich leider unterscheiden.
Hier wird das Teilverhältnis so verwendet, dass gilt:
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| 1. Aufgabe: |
T teile die Strecke AM mit A(-12|3|-14) und B(9|-4|0) im Verhältnis 4:3.
Berechne die Koordinaten von B!? |
| 2. Aufgabe: |
Zeige T(-1|2|0) liegt auf der Strecke (AB) mit A(-6|7|-5) und B(2|-1|3).
In welchem Verhältnis teilt T die Strecke AB? |
|
3. Aufgabe:
a) im nebenstehen Dreieck ist A(-1|1|-1) und M a(2|-2|-4). Berechne daraus den Schwerpunkt S! b) Zusätzlich sei noch B(5|-3|-3) gegeben. Berechne M c! c) Berechne mit Hilfe von M cund S (siehe Teil a und b) den Punkt C! d) Berechne zur Kontrolle mit Hilfe von B (siehe Teil b) und M aden Punkt C! Nebenstehend nur Planfigur. (Diese können den Sachverhalt meistens wesentlich besser veranschaulichen als maßstabsgerechte Figuren.) |
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a) T teilt A(-5|3|-9)B(2|-4|5) im Verhältnis 4:3. Berechne T!
b) T(4|0|0) teilt A(10|-6|-3)B im Verhältnis 3:2. Berechne B. |
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| 1| | 1|
-> | | | |
Spiegle die Gerade g: x = |-2| + t·|-1| an Z(4|-3|2)
| | | |
| 3| | 0|
3. Aufgabe:
|-4| | 6| |-10| |-12|
-> | | | | -> | | | |
Gegeben ist g: x = | 1| + t·|-2| und h: x = | 3 | + t·| 4 |
| | | | | | | |
| 3| |-1| | 4 | | 2 |
a) Zeige: g und h sind parallel.
|1| | 2| |-2| | 1|
-> | | | | -> | | | |
a) für g: x = |1| + s | 1| und h: x = | 2| + s |-2|
| | | | | | | |
|0| |-2| | 0| | 2|
b) für g = (AB)und h=(CD) mit A(1|0|-1), B(2|2|1), C(1|2|3) und D(-1|-2|-3).
Lösungen
|
|a|
-> | |
Der Vektor n = |b| steht senkrecht auf E
| |
|c|
->
(n ist ein "Normalenvektor" von E).
-> ——> -> ——>
u = AB und v = AC sind
Richtungsvektoren von E.
|
|4| |-3| |-5|
-> | | | | | |
a) E: x = |2| + s|-1| + t|-4|
| | | | | |
|3| | 2| | 1|
b) E = Ebene durch A(-1|3|-4) B(2|-5|3) und C(1|-3|2)
Lösungen
| 3| | 3|
-> | | | |
a) E: 2x + 4x + 3x = 1 g: x = |-1| + t·|-1|
1 2 3 | | | |
|-1| |-1|
|0|
-> | |
b) E: x - 4x = 10 (parallel zur x -Achse) g: x = t·|1| (die x -Achse)
1 3 2 2 | | 2
|0|
|2| | 3| | 6| | 3| |2|
-> | | | | -> | | | | | |
c) g: x = |2| + s·| 1| E: x = | 2| + s·| 0| + t·|1|
| | | | | | | | | |
|1| |-1| |-2| |-2| |0|
Lösungen
a) E : 2x + 11x + 4x = 1. E : x + 6x + x = 4
1 1 2 3 2 1 2 3
b) E : 2x - 2x + x = 0 E : -2x + 2x - x = 1
1 1 2 3 2 1 2 3
|2| | 3| |-1| | 6| | 4| |2|
-> | | | | | | -> | | | | | |
c) E : x = |2| + s·| 1| +t·|-2| E : x = | 2| + s·| 5| + t·|1|
1 | | | | | | 2 | | | | | |
|1| |-1| | 4| |-2| |-2| |0|
Lösungen
a) E: 2x + 3x + 4x = 12 b) E: -2x + 3x + 4x = 12
1 2 3 1 2 3
und zeichne sie in ein Koordinatensystem ein.
| 5|
-> -> | |
a) Den Betrag a = |a | des Vektors a = |-4|
| |
| 3|
b) Den Abstand der Punkte P(4|-3|-6) Q(6|5|-10)
Aufgabe:Berechne jeweils das Skalarprodukt der beiden Vektoren!
a)
|
|-4| |-3|
-> | | -> | |
b) a = | 7| und b = |-2|
| | | |
|-2| |-5|
|
|-3| | 4|
-> | | -> | |
a) Die Vektoren a = | 4| und b = |-3|
| | | |
|-6| |-4|
| 5| | 3| |2| | 3|
-> | | | | -> | | | |
b) Die Geraden g: x = | 3| + s·| 1| h: x = |2| + s·|-1|
| | | | | | | |
|-3| |-4| |1| | 2|
c) Die Ebenen E : 2x - 4x = 7 E : 8x + 11x + 4x = 0
1 1 3 2 1 2 3
2. Aufgabe:
|1| |-3|
-> | | | |
Zeige: Die Gerade g: x = |5| + s·| 2| schneidet die Ebene
| | | |
|7| | 4|
E: 3x - 2x + 2x = 4 nicht rechtwinklig.
1 2 3
Mit anderen Worten: g ist weder parallel noch senkrecht zu E.
| 2|
Aufgabe3: Bestimme die Gleichung der Ebene durch P(3|-7|11) mit dem Normalenvektor n = |-5|!
| 0|
 |
Aufgabe 4: Gegeben Ebene E und Punkt P (beliebig).
Gesucht Gerade g senkrecht zu E durch P.
Beispiel E: 2x - 7x = 25, P(0|8|-11)
1 3
Aufgabe5: Umgekehrt: Gegeben Gerade g und Punkt P.
Gesucht Ebene E senkrecht zu g durch P.
-> |-3| | 0|
Beispiel: g: x = | 1| + t·|-1|, P(1|2|-3)
|-5| | 2|
|
| 1| | 2|
-> | | | |
E: (x - |-2|)·|-6| = 0
| | | |
| 3| | 3|
Lösungen
|4| |6 | |4,8| |1| |-2|
a) | | , | |, | |, | |, | |
|3| |2,5| |1,4| |2| |6 |
|-1| | 2| |-2| |-3| | 1|
| | | | | | | | | |
b) | 2|, |-3|, |-6|, |-4| , |-2|
| | | | | | | | | |
|-2| | 6| | 9| |12| | 3|
Aufgabe 2:Berechne den Winkel, den die Vektoren einschließen:
| 2| |3|
-> |4| -> |12| -> | | -> | |
a) a = | | b = | | b) a = |-4| b = |2|
|3| |-5| | | | |
| 1| |5|
Aufgabe 3:Berechne die Innenwinkel des Dreiecks
A(1|-2|1)B(-3|1|4)C(5|-2|1)
Berechne jeweils den eingeschlossenen Winkel
|-2| |-2| | 9|
-> | | _> | | | |
a) der Geraden g: x = s·| 6| und h: x =| 6|+ t·|-6|
| | | | | |
| 3| | 3| | 2|
Schnittpunkt ist offensichtlich S(-2|6|3) [s=1, t=0]
b) der Ebenen E : 3x + 4x - 12x = 0 und E : 2x + 14x - 5x = 9
1 1 2 3 2 1 2 3
c) der Geraden g und der Ebene E (von Teil a und b)
1
Lösungen
E: 2x -x - 5x = 3 und P(-1|2|1)
1 2 3
Berechne den Abstand auch ohne die Hessesche Normalenform von E!
Lösungen
-> |4| |1|
g: x = |2| + t·|1| P(4|6|2)
|1| |0|
Lösungshinweis (ein Trick) und Lösung
Berechne den Abstand der windschiefen Geraden:
|8| |3| | 7| |3|
-> | | | | -> | | | |
g: x = |8| + s·|2| und h: x = | 2| + t·|3|
| | | | | | | |
|5| |2| |10| |4|
Lösung
a) den Punkt P(5|-5|4)
| 5| | 1|
-> | | | |
b) die Gerade g: x = |-5| + t| 1|
| | | |
| 4| |-5|
c) die Ebene E*: x + x - 5x = 1
1 2 3
Lösungen
|1| |1|
-> | | | |
Spiegle den Punkt P(1|8|4) an der Geraden x = |0| + t·|1|
| | | |
|0| |1|
| 2| |-2|
-> | | | |
a) Bestimme die Punkte auf g: x = |-1| + t| 1|,
| | | |
| 3| | 2|
die vom Punkt P(2|-1|3) den Abstand 5 haben.
b) Bestimme die zu E: x - 2x + 2x = 5 parallelen Ebenen, die
1 2 3
von E den Abstand 5 haben.
Lösungen
|4| |2|
-> | | | |
Projiziere die Gerade g: x = |3| + s|1|
| | | |
|4| |6|
(senkrecht) in die x x - Ebene. Zeichne g und die Projektionsgerade g'.
1 2
2. Aufgabe:
|5| |1|
-> | | | |
Projiziere die Gerade g: x = |5| + s|1|
| | | |
|4| |4|
(senkrecht) in die Ebene x + x + x = 5
1 2 3
Lösungen
Berechne die beiden winkelhalbierenden Geraden der Geraden
|5| |2| |5| |3|
-> | | | | -> | | | |
g: x = |5| + s|1| und h: x = |5| + s|4|
| | | | | | | |
|5| |2| |5| |0|
Lösungen
Berechne die beiden Winkelhalbierenden der Ebenen:
E : 2x + x + 2x = 0 und E : 3x + 4x = 6
1 1 2 3 2 1 2
Lösungen
 |
Aufgabe:Die Ebene
Bestimme an Hand der nebenstehenden Figur den Mittelpunkt M' und den Radius r' des Schnittkreises. Lösung |
|
Wenn Du dann bei den Abituraufgaben die Rechnung auf
diese Grundaufgaben zurückführen kannst und
deren Lösung für Dich reine Routine sind, dann
ist Dir in der Geometrie nach all meinen Erfahrungen eine
gute Note, sogar eine sehr gute, ziemlich sicher.
Und: Durch die Verbesserung Deines Anschauungsvermögens kannst Du je nach Anforderung besser einparken, besser Geräte wieder zusammensetzen, besser operieren und so weiter. Und: Wenn Du gelernt hast, Probleme zu analysieren und durch Zurückführen auf gelöste Standardfragen leichter zu bewältigen,wirst Du komplizierten Situationen - privat oder beruflich - besser gewachsen sein und ein geschätzterer Partner, Chef oder Mitarbeiter werden. |