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Aus der Vektorrechnung


Der Schwerpunktsatz

Elementaren Beweis des Schwerpunktsatztes siehe Schwerpunktsatz

Schwerpunktsatz

Kleinbuchstaben mit Pfeil bezeichnen Ortsvektoren:

->  ——> ->  ——> ->  ——> ->  ——>
a = OA, b = OB, c = OC ,s = OS  u.s.w.

Jetzt wird gerechnet:

->  ->  1——>  ->  1 ->  ->   1->  1->
m = b + -BC = b + -(c - b) = -b + -c
 a      2         2          2    2

       ->  1->  1->    ->  1->  1->
Analog m = -a + -c und m = -a + -b.
        b  2    2       c  2    2

("Mitte von zwei Punkten = Mittelwert").

S sei der Punkt auf AM , der von A den
                      a
        2——
Abstand -AM  hat:
        3  a

->  ->  2 ——>      2 ->  ->
s = a + - AM = a + -(m - a)
        3   a      3  a

                        ->  ->  ->
  ->  2  1->  1->  ->   a + b + c
 =a + - (-b + -c - a) = —————————
      3  2    2            3

Genau denselben Punkt erhält man, wenn man

auf BM  bzw. CM den Punkt sucht, der von
      b        c
                     2——       2——
B bzw. C den Abstand -BM  bzw. -CM  hat.
                     3  b      3  c

S liegt also auf allen drei Seitenhalbierenden und heißt Schwerpunkt. Somit ist bewiesen:
Der Schwerpunkt S teilt die Seitenhalbierenden (Schwerelinien) im Verhältnis 2:1. Und: Für den Schwerpunkt S gilt:


-> -> -> -> a + b + c s = ————————— (Mittelwert) 3

 
——> ——> Nachtrag: Ist AS = 2·SM , so "teilt S die Strecke AM im Verhältnis 2:1". a a ——> 2 ——> Dann gilt AS = -·AM ! AS sind 2 Teile, SM ist 1 Teil, zusammen also 3 Teile. 3 a a
Beispiel zur Anwendnung des Schwerpunktsatzes:

Der Schwerpunkt des Dreiecks A(1|3|7)B(6|2|5)C(2|1|0) ist

     1 + 6 + 2 3 + 2 + 1 7 + 5 + 0
   S(—————————|—————————|—————————), also S(3|2|4)
         3        3          3


Ein anderer Beweis, der die Kenntnis vom Teilverhältnis 2:1 nicht verwendet, findet sich als Beispiel zum Koeffizientenvergleich.

Hier der Beweis etwas abgewandelt:
 
-> -> ——> -> 1-> 1-> -> Bringe die Geraden (AM ): x = a + sAM = a + s(-b + -c - a ) a a 2 2 -> -> ——> -> 1-> 1-> -> (BM ): x = b + tBM = b + t(-a + -c - b ) b b 2 2 -> zum Schnitt. Der Ortsvektor x des Schnittpunktes kann auf zwei Arten dargestellt werden. Also gilt: -> 1-> 1-> -> -> 1-> 1-> -> a + s(-b + -c - a ) = b + t(-a + -c - b ) 2 2 2 2 -> 1 -> 1 -> 1 -> -> 1 -> (1-s)·a + -s·b + -s·c = -t·a + (1 - t)·b + -t·c 2 2 2 2 Jetzt muss ich für s, und t Zahlen finden, so dass die Koeffizienten gleich sind. ("Koeffizientenvergleich"). Ich löse also das lineare Gleichungssystem: 1 1 1 1 1-s = -t -s = 1 - t -s = -t 2 2 2 2 2 2 Lösung s = - und t = - 3 3
Damit ist gezeigt, dass der Schnittpunkt von zwei Seitenhalbierenden diese im Verhältnis 2:1 teilt.
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