Joachim Mohr Mathematik Musik
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Das Programm TTBruchrechnen
Ein paar Worte zum ggT und kgV
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Beim Rechnen mit Brüchen benötigt man
den ggT, den größten gemeinsamen
Teiler
und
das kgV, das kleinste gemeinsame
Vielfache.
Beim
Kürzen braucht man immer
gemeinsame
Teiler, es muss nicht der ggT sein, man kann ja mehrmals
hintereinander kürzen. Beim
Addieren und
Subtrahieren ist es jedoch sehr von Vorteil, wenn man
nicht irgend ein gemeinsames
Vielfaches, sondern das kgV
nimmt. Um dieses schnell zu erhalten, ist es nützlich, den
ggT von zwei Zahlen zu kennen.
Nun der Reihe nach:
Die kleinsten Teiler einer Zahl außer der Zahl Eins sind
Primzahlen. Man kann die Zahl dann als Produkt mit dem
ersten Faktor als Primzahl schreiben. Zerlegt man den Rest
kommt man zur
Primfaktorenzerlegung.
- Bei geraden Zahlen ist der kleinste Primfaktor die Zahl
2.
Beispiel: 30=2·15
- Zahlen, deren Quersumme durch 3 teilbar ist, sind selbst
durch 3 teilbar.
Beispiel: 231 hat die Quersumme 2+3+1 = 6. Sie ist also
durch 3 teilbar: 213 = 3·77
- Zahlen mit der Endziffer 0 oder 5 sind durch 5
teilbar.
Beispiel: 245=5·49.
Diese
drei goldenen Teilbarkeitsregeln solltest Du
unbedingt beherrschen.
Wenn Du dann noch weißt, dass alle Zahlen unter 100 durch
2, 3 oder 5 teilbar sind oder selbst Primzahlen, bis auf 3
Ausnahmen, dann gehörst Du zu den Könnern.
Von den drei Ausnahmezahlen musst Du nur eine auswendig lernen.
Den beiden anderen sieht man Ihren Teiler 7 sofort an.
Die drei Ausnahmezahlen sind:
- 49 = 7·7
- 77 = 7·11
- 91 = 7·13 (Merke!)
Nachtrag: Die
Primfaktorenzerlegung der erwähnten
Beispiel oben ist schnell gemacht:
- 30 = 2·15 = 2·3·5
- 231 = 3·77 = 3·7·11
- 245 = 5·49 = 5·7·7
Beispiele zu den gemeinsamen Teilern findest Du
genügend im Programm TTBruchrechnen beim Kürzen.
Nun noch eine Erläuterung zum kgV: Das
kleinste gemeinsame Vielfache kgV(a,b) zweier Zahlen a
und b findest Du schnell über den größten gemeinsamen
Teiler ggT(a,b) dieser Zahen.
Beispiel : Gesucht kgV(12,18):
Im gemeinsamen Vielfachen muss jeder Faktor stecken, der in der
ersten oder in der zweiten Zahl vorkommt.
Nun ist:
Im gemeinsamen Vielfachen muss 2 und 6 stecken (wegen 12)
und 3 und 6 (wegen 18), aber die 6 = ggT(12,18) nicht
zweimal.
Folglich:
kgV(12,18) = 2·6·3 = 12·3 = 36 oder
auch
kgV(18,12) = 3·6·2 = 18·2 = 36.
Um das kgV zu ermitteln, musst Du also den ersten Faktor mit
allen Primfaktoren der zweiten Zahl multiplizieren, die nicht
schon im ersten Faktor drin sind. Allerdings musst Du beachten:
Enthält der erste Faktor die 4 (also zwei mal den Faktor
2), der zweite jedoch nur einmal, musst du den zweiten Faktor
noch einmal mit zwei multiplizieren, damit im kgV die 4 steckt
u.s.w.
Der Mathematiker schreibt dazu die Formel:
b
kgV(a,b) = a·————————
ggT(a,b)
Das klingt nach komplizierter Mathematik. An den Beispielen siehst Du:
Mit gesundem Menschenverstand bekommt man schnell ein sicheres Gefühl dafür.
Beispiele:
- kgV(2,3) = 2·3 = 6
- kgV(4,6) = 4·3 = 12. Genauer kgV(4,6) =
4·(6:2), da ggT(4,6) = 2
Probe: kgV(6,4) = 6·(4:2) = 6·2 = 12
- kgV(36,48) = 36·4 = 144, da ggT(36,48) =
36·(48:12), da ggT(36,48) = 12
-
Probe: kgV(48,36) = 48·(36:12) = 48·3 = 144
In der Probe haben wir das
Kommutativgesetz
für das kgV verwendet: kgV(b,a) = kgV(a,b).
Ein zweite Methode ist: Bilde (im Kopf oder auf Papier)
Vielfache der beiden Faktoren so lange, bis ein gleicher auftaucht.
Im letzten Beispiel kgV(36,48) bilden wir
48, 96, 144 und 36, 72, 108, 144.
Fertig! kgV(36,48) = 144
Weitere schon kompliziertere Beispiele:
kgV(70,90) = 70·9 = 630
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Die 10, die als Faktor in 90 vorkommt, entfällt, da
sie schon in 70 vorkommt.
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Probe: kgV(90,70) = 90·7 = 630
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kgV(42,66) = 42·11 = 462
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Die 6, die als Faktor in 66 vorkommt, entfällt, da
sie schon in 42 vorkommt.
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Probe: kgV(66,42) = 66·7 = 462
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kgV(28,72) = 28·2·9 = 504
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Beachte:
28 = 4·7 = 2·2·7
72 = 8·9 = 2·2·2·9
4 steckt schon in 28, aber noch nicht die 8.
Daher der Faktor 2 in "28·2·9"
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Probe: kgV(72,28) = 72·7 = 504
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Beispiele zum kgV findest Du genügend im Programm
TTBruchrechnen bei der Addition und Subtraktion. Die meisten sind recht einfach.