Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

Die Taylorreihe


             f'(0)    f''(0) 2  f'''(0) 3 
f(x)= f(0) + —————x + ——————x + ———————x  + ... 
              1!       2!         3!   

Beweis:
Wir setzten voraus, dass die Funktion f unendlich oft differenzierbar ist und sich in eine Potenzreihe entwickeln läßt:

               2    3    4    5
f(x)=a +a x+a x +a x +a x +a x +...     f(0)=a
      0  1   2    3    4    5                 0

                  2     3     4
f'(x)=a +2a x+3a x +4a x +5a x +...     f'(0)=a
       1   2    3     4     5                  1

                        2       3
f''(x)=2a +2·3a x+3·4a x +4·5a x + ...  f''(0)=2a
         2     3      4       5                  2   

                               2  
f'''(x)=2·3a +2·3·4a x+3·4·5a x + ...   f'''(0)=2·3a
            3       4        5                      3

 (4)                                     (4)
f   (x)=2·3·4a +2·3·4·5a x+...          f   (0)=2·3·4a
              4         5                             4

Mit 0!=1 1!=1, 2!=2, 3!=2·3, 4!=2·3·4, ... folgt

                                              (4)
   f(0)     f'(0)     f''(0)     f'''(0)     f   (0)
a =————, a =—————, a =——————, a = ——————, a =———————, ... ∎
 0  0!    1   1!    2    2!    3    3!     4    4!



Die Moivresche Formel

z_gleich_aplbi Die komplexe Zahl z=a+bi (a,b∈ℝ) kann dargestellt werden als

z=r·(cos(φ)+isin(φ)) "Polarkoordinaten"

         ————            
        /2  2           
mit r:=√a +b     und

         b             b     
tan(φ) = —    φ=arctan(—)
         a             a 

a=rcos(φ) b=rsin(φ)

                       iφ
Die Moivresche Formel e  =cos(φ)+isin(φ) folgt aus der Taylorreihe

             f'(0)    f''(0) 2  f'''(0) 3 
f(x)= f(0) + —————x + ——————x + ———————x  + ... 
              1!       2!         3!   

Diese konvergiert für die Exponential-, die Kosinus- und die Sinusfunktion für alle x∈ℂ

 x       1     1  2  1  3
e =  1 + ——x + ——x + ——x + ...
         1!    2!    3!

   iφ      1      1  2   1  3  1  4
⇒ e  = 1 + ——iφ - ——φ - ——iφ + ——φ  - ...
           1!     2!    3!     4!

           1  2   1 4
cos(φ)=1 - ——φ + ——φ- ...
           2!    4!

         1     1 3  1  5
sin(φ)= ——φ - ——φ + ——φ + ... 
        1!    3!    5!

                      1  2  1  4          1     1 3  1  5
⇒ cos(φ)+isin(φ)=(1 - ——φ + ——φ - ...)+i(——φ - ——φ + ——φ + ...) 
                      2!    4!           1!    3!    5!

      1      1  2   1  3  1  4   1  5
= 1 + ——iφ - ——φ - ——iφ + ——φ  + ——φ - ...
      1!     2!    3!     4!     5!

  iφ
=e     ∎
Folgerungen
                                               iφ
Mit der Schreibweise: cis(φ) =(cos(φ)+isin(φ)=e

             q               qiφ
folgt: cis(φ)  = cis(qφ) =  e     (q∈ℚ)

                2               2iφ 
Beispiel: cis(φ)  = cis(2φ) =  e  

                -2              -2iφ
          cis(φ)  = cis(-2φ) = e  
                               
                              1
                              —iφ
          ——————      1       2
         √cis(φ) =cis(—φ) = e 
                      2