Stochastik Axiomatisch

Zufallsexperimente

Definition: Sie Ω eine Menge (gennant Ergebnismenge).
Jede Teilmenge A von Ω heißt Ereignis (A⊆Ω).
Jedes Element ω von Ω heißt Elementarereignis (ω∈Ω).
Eine Abbildung P von der Potenzmenge Π(Ω) von Ω in das Intervall [0,1] heißt Wahrscheinlichkeitsmaß (oder Wahrscheinlichkeitsverteilung),
wenn folgende Axiomde gelten:

P(Ω)=1 ("P ist normiert")
P(A)≥0 für alle A⊆Ω (P(A) heißt: die "Wahrscheinlichkeit von A")
P(A∪B)=P(A)+P(B) für alle A,B⊆Ω mit A∩B=Ø ("P ist additiv")

Das Paar (Ω,P) heißt Wahrscheinlichkeitsraum und
X: ω→P(ω) (ω∈Ω,P(ω)∈[0;1]) heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Folgerungen:

P(Ø)=0
A⊆B ⇒ P(A)≤P(B)
P(A\B)=P(A)-P(A∩B)

  n        n 
P(∪  A ) ≤ Σ P(A ) 
 i=1  i   i=1   i

  n       n 
P(∪ A ) = Σ P(A ), falls alle A , A , ... , A  paarweise disjunkt
 i=1 i   i=1   i               1   2         n

```
P(A) =  Σ  P(ω)
       ω∈A
```

Definition: |A| bezeichnet die Anzahl der Elemente von A.
Gilt nun für alle ω∈Ω die gleiche Wahrscheinlichkeit P(ω)=¹/_|Ω|, so heißt (Ω,P) Lapacescher Wahrscheinlichkeitsraum.
Es ist dann P(A)=^|A|/_|Ω|

Beispiel 1: Zwei Würfel werden geworfen.
Ω={11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66}
Jedes Elementarereignis ω habe die gleiche Wahrscheinlichket: P(ω)=¹/₃₆. Also: Laplace-Experiment
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 5 ist?
Lösung: A={14 23 32 41} ⇒P(A)=⁴/₃₆=¹/₉∎

Beispiel 2: Zwei Würfel werden solange geworfen, bis eine Doppelsechs erscheint. Im folgenden "1" für Doppelsechs und "0" sonst.
Die Ergebnismenge ist Ω={1 01 001 0001 00001 ...}. Zum Beispiel bedeutet 0001: Erst im 4 Wurf eine Doppelsechs.
P(1)=¹/₃₆, P(01)=³⁵/₃₆·¹/₃₆, P(001)=³⁵/₃₆³⁵/₃₆·¹/₃₆, ... Also: Nicht Laplace-Experiment
Chevalier de Mére stellte 1654 Blaise Pascal folgende Frage: Ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Doppelsechs beim 24-maligen Werfen zweier Würfel größer oder kleiner als 50%?
Lösung: P(1)+P(01)+P(001)+...+P(000...000(23 Nullen)1)=¹/₃₆+³⁵/₃₆·¹/₃₆+ ³⁵/₃₆³⁵/₃₆·¹/₃₆+... +³⁵/₃₆³⁵/₃₆·...·¹/₃₆=49,14%.
Wirft man die zwei Würfel 25 mal, ist die Wahrscheinlichkeit für eine Doppelsechs 50,55% ∎

Die Vierfeldertafel

	A	A	Gesamt
B	P(A∩B)	P(A∩B)	P(B)
B	P(A∩B)	P(A∩B)	P(B)
Gesamt	P(A)	P(A)	1

Seinen A und B Ereignisse (A,B⊆Ω) und A und B die Gegenereignisse, so gilt:
P(A)=P(A∩B)+P(A∩B) und P(A)=P(A∩B) +P(A∩B)
P(B)=P(A∩B)+P(A∩B) und P(B)=P(A∩B) +P(A∩B) sowie

P(A)+P(A)=1=100% und P(B)+P(B)=1=100%

Beispiel: 16 Schüler und 14 Schülerinnen einer Schulklasse nehmen an einem Mathematik-Test teil. Insgesamt bestehen 21 den Test, davon 10 Schüler.
Folgerung: Die Klasse besteht aus 30 Schüler und Schülerinnen, 11 Schülerinnen bestehen den Test.

             | Schüler|Schülerinnen|     |                  |Schüler|Schülerinnen|     |
——————————————————————————————————————————     ——————————————————————————————————————————    
bestanden    | 10/30  |  11/30     |21/30|     bestanden    | 33%   |  37%       | 70% |
——————————————————————————————————————————     ——————————————————————————————————————————  
durchgefallen|  6/30  |   3/30     | 9/30|     durchgefallen| 20%   |  10%       | 30% |
——————————————————————————————————————————     ——————————————————————————————————————————
Gesamt       | 16/30  |  14/30     |30/30|     Gesamt       | 53%   |  47%       | 100%|

Urnenmodelle

In einer Urne befinden sich N Kugeln, die mit 1,2,3,... nummeriert werden. Sukzessiv oder mit einem Griff werden insgesamt n Kugeln gezogen (z.B. N=40 und n=5). Im folgenden sei G={1,2,...,40}.

Stichprobe in Reihenfolge mit Zurücklegen

Ω={(ω₁,ω₂,ω₃,ω₄,ω₅)|ω₁,...,ω₅∈G} = G⁵, |Ω|=40⁵.

Aufgabe: 10 Kugeln sind rot, 30 Kugeln sind blau. 5 Kugeln werden mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zwei gezogenen Kugeln rot, die übrigen blau sind.
Lösung: A={(ω₁,ω₂,ω₃,ω₄,ω₅) |ω₁ rot,ω₂ rot, ω₃ blau, ω₄ blau, ω₅ blau}, |A|=10²·30³, P(A)=10²·30³/40⁵=2,64%

Stichprobe in Reihenfolge ohne Zurücklegen

Ω={(ω₁,ω₂,ω₃,ω₄,ω₅)| ω₁,...,ω₅∈G, ω₂≠ω₁,ω₃≠ω₁,ω₃≠ω₂,...,ω₅≠ω₄}, |Ω|=40·39·38·37·36.

Aufgabe: 10 Kugeln sind rot, 30 Kugeln sind blau. 5 Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zwei gezogenen Kugeln rot, die übrigen blau sind.
Lösung: A={(ω₁,ω₂,ω₃,ω₄,ω₅) |ω₁ rot,ω₂ rot, ω₃ blau, ω₄ blau, ω₅ blau, ω₂≠ω₁,ω₃≠ω₁,ω₃≠ω₂,...,ω₅≠ω₄},

                          10·9·30·29·28
|A|=10·9·30·29·28, P(A) = —————————————— = 2,78%
                          40·39·38·37·36

Stichprobe ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen / mit einem Griff

Jede Stichprobe ist dadurch beschrieben, dass man angibt, welche Kugeln darin vorkommen.
Ω={ {ω₁,ω₂,ω₃,ω₄,ω₅}|ω₁,...,ω₅∈G| ω_i≠ω_j für i≠j}. Die Elemente von Ω sind alle Teilmengen mit 5 Elementen.

    40·39·38·37·36    40                 N·(N-1)·(N-2)·...·(N-n+1)  N
|Ω|=—————————————— = (  ), allgemein |Ω|=—————————————————————————=( )
      1·2·3·4·5       5                         n!                  n

Beispiel: Im Lotto werden 6 numerierte Kugeln aus 49 gezogen. Die Reihenfolge ist egal.
Die Elemente von Ω sind alle Teilmengen mit 6 Elementen.

     49    49·48·47·46·45·44
|Ω|=(  ) = ————————————————— = 13 983 816 (rund 14 Millionen)
     6        1·2·3·4·5·6
                             49
                            (  )
                             6
Für "4 Richtige" gibt es  ——————— = 1032,4 Möglichkeiten. p(4 Richtige)=0,097%
                           6  43
                          ( )(  ) 
                           4   2

Die hypergeometrische Verteilung

In einer Urne befinden sich S (z.B. S=4) schwarze und W (z.B. W=28) weiße Kugeln. Es werden n (z.B. n=10) Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, das genau s (z.B. s=3) schwarze und w=n-s (z.B. w=7) weiße Kugeln gezogen werden ist:

      4  28                                        S  W
     ( )(  )                                      ( )( )
      3   7     66                                 s  w   
   h=——————— = ——— = 7,34%, allgemein h(s;n,N,S)=——————   (n=s+w)
       32      899                                 S+W     
      (  )                                        (   )
       10                                          s+w

Beispiel: Beim Skat (32 Karten, 4 Asse) erhält jeder der 3 Spieler n=10 Karten. Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler Ulrich s=3 Asse bekommt ist 7,34% (s.o.).
Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der drei Spieler 3 Asse bekommt ist 3·7,34%=22,02%.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

                                                                  P(A∩B)
Die bedingte Wahrschinlichkeit von A, wenn B eintritt, ist P(A|B)=—————— (*)
                                                                   P(B)

Beispiel: In einer Urne sind Kugel 1 und Kugel 2 weiß, die Kugeln 3, 4 und 5 schwarz.
Es werden ohne Rücklegen zwei Kugeln gezogen.
B: Die erste gezogene Kugel ist weiß.
A: Die zweite gezogene Kugel ist schwarz.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(A|B), dass die zweite Kugel schwarz ist (A) unter der Vorraussezung, dass die erste Kugel weiß ist (A)?
Lösung: B={12 13 14 15 21 23 24 25}
A∩B={13 14 15 23 24 25}
⇒P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=6/8=3/4
Ist eigentlich klar. Wenn die erste Kugel weiß gezogen ist, bleiben übrig: 4 Kugeln (1 weiß und 3 schwarz). Die Wahrscheinlichkeit dass dann die zweite Kugel schwarz ist, ist dann 3/4.

Aus (*) folgt P(A∩B)=P(B)·P(A|B). Das kann man veralgemeinern:
P(A∩B∩C)=P(A)·P(B|A)·P(C|A∩B)
P(A∩B∩C∩D)=P(A)·P(B|A)·P(C|A∩B)·P(D|A∩B∩C)
...

Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Skat jeder Spieler genau ein Ass hat.
Lösung: Beim Skat bekommt jeder Spieler von den 32 Karten 10 Karten. Es gibt 4 Asse.
Sei A: Spieler 1 hat ein Ass, B: Spieler 2 hat ein Ass und C: Spieler 3 hat ein Ass.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist P(A∩B∩C)=P(A)·P(B|A)·P(C|A∩B)=50/899=5,56%

                4   28   32           3   19   22                2   10   12
Rechnung: P(A)=( )·(  )/(  ), P(B|A)=( )·(  )/(  ) und P(C|A∩B)=( )·(  )/(  )
                1   9    10           1   9    10                1    9   10

also P(A)=4·6906900/64512240=385/899

P(B|A)=3·92378/646646=3/7

P(C|A∩B)=2·10/66=10/33

Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

{B1,B2} heißt Zerlegung von Ω, wenn B1∪B2=Ω und B1∩B2=Ø.
{B1,B2,B3} heißt Zerlegung von Ω, wenn B1∪B2∪B3=Ω, B1∩B2=Ø, B1∩B3=Ø und B2∩B3=Ø.
usw.
Für jedes Ereignis A gilt:
{B1,B2} eine Zerlegung von Ω ⇒ P(A)=P(B1)·P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)
{B1,B2,B3} eine Zerlegung von Ω ⇒ P(A)=P(B1)·P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3)
usw.

Beispiel: In einer Urne befinden sich 2 weiße und 3 schwarze Kugeln. Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. A sei das Ereignis, dass die zwei gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben.
Lösung: P(A)=P(erste Kugel weiß)·P(A|erste Kugel weiß)+P(erste Kugel schwarz)·P(A|erste Kugel schwarz)=2/5·1/4+3/5·2/4=2/5=40%.