Joachim Mohr Mathematik Musik
Schrittstabile Funktionen
Definition: Eine Funktion heißt
schrittstabil, wenn es für alle h ε
R ein k ε
R
gibt,
so dass für alle x ε
R mit h ≠ 0, x ε D
f und x+h ε D
f gilt:
f(x+h) - f(x)
————————————— = k·f'(x)
h
Das heißt: Für festes h ist die
f(x+h) - f(x)
diskrete Änderungsrate ————————————— proportional zur Ableitung f'(x)
h
und zwar für alle x mit dem gleichen Proportionalitätsfaktor.
Siehe Michael Bürker: "Über die gute Modellierbarkeit bestimmter Wachstumsprozesse"
Math. Semesterber. (2007) 54: 39–52 DOI 10.1007/s00591-006-0009-4
Im folgenden betrachten wir nur differenzierbare Funktionen mit
demselben zusammenhängenden Definitionsbereich.
Dann gilt für die schrittstabilen Funktionen ST.
I) Ist f ε ST und a ε
R, dann ist auch g ε ST für g: x -> a·f(x).
Beweis:
g(x+h) - g(x) a·f(x+h) - a·f(x)
————————————— = —————————————————— = k·a·f'(x)= k·g'(x)
h h
Daraus ersehen wir, dass mit f ε ST auch g ε ST ist, da aus g(x)=a·f(x) folgt: g'(x) = a·f'(x).
II) Ist f ε ST und b ε
R, dann ist auch g ε ST für g: x ->f(x) + b.
Beweis:
g(x+h) - g(x) f(x+h) - f(x)
————————————— = ————————————— = k·f'(x)= k·g'(x)
h h
Daraus ersehen wir, dass mit f ε ST auch g ε ST ist, da aus g(x)=f(x) + b folgt: g'(x) = f'(x).
III) Ist f ε ST und c ε
R, dann ist auch g ε ST für g: x ->f(c·x).
Beweis:
g(x+h) - g(x) f(cx+ch) - f(cx) f(cx+ch) - f(cx)
————————————— = ———————————————— = c·———————————————— = c·kf'(cx) = k·g'(x)
h h ch
Daraus ersehen wir, dass mit f ε ST auch g ε ST ist, da aus g(x)=f(cx) folgt: g'(x) =c·f'(cx).
IV) Die identische Funktion f: x->x ist schrittstabil.
Beweis:
f(x+h) - f(x) x+h - x
————————————— = ——————— = 1 = k·f'(x) für k = 1.
h h
Daraus ersehen wir, dass mit f ε ST ist, da aus f(x) =x folgt: f'(x) = 1.
V) Die natürliche Exponentialfunktion f: x -> e
x ist schrittstabil.
Beweis:
x+h x h h
f(x+h) - f(x) e - e (e - 1) x e - 1
————————————— = ———————— = —————— e = k·f'(x) für k = —————
h h h h
Daraus ersehen wir, dass f ε ST ist.
Aus I) bis V) folgt:
- VI) Alle linearen Funktionen f mit f(x) = a·x + b sind schrittstabil.
- VII) Alle "mit einer Konstanten additiv erweiterten" Exponentialfunktionen f mit f(x) = a·ecx + b sind schrittstabil.