Joachim Mohr   Mathematik Musik
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Körper

(K,+,*) ist ein Körper, wenn gilt: Schreibweise: Statt a*b kann man auch ab schreiben.
Lemma: 0*a=0. Beweis: 0*a=(0+0)a=0*a+0*a. Auf beiden Seiten: -0*a ergibt: 0=0*a.✅
Lemma: Ein Schiefkörper ist Nullteilerfrei, d.h. ab=0 ⇒ a=0 oder b=0.
Beweis: Ist a≠0, dann folgt aus ab=0: a-1ab=1*b=0, also b=0✅

ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ⊂H

ℕ={1,2,3,4,5,...} Die Menge der natürlichen Zahlen. Weder bez. + und bez. * eine Gruppe.
ℕ0={0,1,2,3,4,5,...}

ℤ={0,±1,±2,±3,±4,±5,...} die Menge der ganzen Zahlen.
ℤ ist ein Ring, d.h. bez. + und * eine Gruppe und es gilt das Distributätsgesetz. Die Gruppen sind abelsch (kommutativ).
ℤ ist ein Ring mit 1. (Bei manchen Autoren muss jeder Ring eine 1 besitzen.)
ℤ ist ein Ring ohne Nullteiler, d.h. ist ab=0 für a,b∈ℤ, dann ist a=0 oder b=0. Solche Ringe mit 1 nennt man Integritätsbereich.
ℤ ist sogar ein Euklidischer Ring, d.h. man kann den ggT mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus ermitteln.
ℤ ist sogar ein faktorieller Ring, d.h. jedes a∈ℤ kann in ein Produkt irreduzibler Faktoren (hier Primzahlen) zerlegt werden.
Das Inverse bez. * existiert nicht. Deshalb ist ℤ kein Körper.
ℚ={z/n|z∈ℤ, n∈ℕ} die Menge der rationalen Zahlen.
(ℚ,+,*) ist - als mathematische Struktur betrachet- ein Körper.
ℚ ist der kleinste Körper, der die natürlichen Zahlen ℕ enthält.
Die Zahlen von ℚ sind als endliche oder unendlich periodische Dezimalzahlen darstellbar.
ℝ = Menge der reellen Zahlen. ℝ ist ein Körper. ℝ enthält alle endliche, alle unendlich periodische und alle unendlich nicht periodische Dezimalzahlen.

Beispiel für eine unendlich nicht periodischen Dezimalzahl: a=0,101001000100001000001...

Andere Charakterisierung: ℝ enthält alle rationalen Zahlen und zusätzlich auch die Zentren von Intervallschachtelungen rationaler Zahlen.

Beispiel einer Intervallschachtelung: {[a,b]|a,b∈ℚ, a≥0, b≥0 und a2 ≤ 2 ≤ b2}.
Das Zentrum dieser Intervallschachtelung ist √2.

Dritte Charakterisierung: In ℝ existieren die kleinsten oberen Schranken.

Beispiel: √2=sup{a∈ℚ,a2 ≤ 2}.

ℂ = {a+bi|a,b∈ℝ} ist der Körper der komplexen Zahlen mit der Eigenschaft i2=-1.
ℂ ist ein Vektorraum der Dimension 2 über ℝ.
Jedes Polynom kann in ℂ in Linearfaktoren zerlegt werden.
f(x)=xn+an-1xn-1+an-2xn-2+...+a2x2+a1x+a0= (x-xn)(x-xn-1)(x-xn-2)...(x-x3)(x-x2)(x-x1).
In der Funktionentheorie betrachtet man holomorphe (im komplexen differenzierbare) Funktionen. Ein wichtiges Ergebnis ist die Cauchysche Integralformel.
Man nennt eine Zahl algebraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus ℚ ist, andernfalls ist sie transzendent. Die algebraischen Zahlen sind abzählbar, alle komplexen Zahlen überabzählbar.
Transzendente Zahlen sind π (Lindemann 1882), e=exp(1) (Hermite 1873) 2 √2 (Gelford 1934).

Polarkoordinaten in ℂ


z=a+bi∈ℂ, a,b∈ℝ hat die Darstellung in Polarkoordinaten

z=rcis(φ)=r(cos(φ)+i·sin(φ))
                              —————
               iφ            /2   2              b
z=r·exp(iφ)=r·e  , wobei r=\/a + b   und cos(φ)= —
                                                 a

Nebenbei bemerkt. Es gibt noch ...

H = {a+bi+cj+dk|a,b,c,d∈ℝ} ist der (Schief-)Körper der Quaternionen. Es ist ein 4-dimensionaler Vektorraum über ℝ mit der Basis {1,i,j,k} und wird durch Definition der folgenden Multiplikation zum Schiefkörper. 
 ⋅ | 1  i  j  k
———————————————
1 | 1  i  j  k
i | i -1  k -j
j | j -k -1  i
k | k  j -i -1

Endliche Körper

Endliche Körper spielen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie, algebraischer Geometrie, Kryptographie und Codierungstheorie.

Tutorium S.131: "Damit niemandem der Genuß entgeht ..."

Satz: Die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers K ist eine Primzahlpotenz:
|K|=pn für eine Primzahl p und n∈ℕ.
Und solche Körper sind bis auf Isomorphie eindeutig. "Und so eine Klassifizierung ist doch was Schönes!"

Satz von Wedderburn: Alle endlichen Schiefkörper sind kommutativ.

In seinen Vorlesungen las er aus seinem Hauptwerk über Matrizen Kapitel für Kapitel vor (wie Paul Dirac aus seinem Hauptwerk über Quantenmechanik).

Allgemein gilt in ℤp (a+b)p=ap+bp alle a,b,c∈ℤp, da (p über k)=0 ist für k∈ℤp.
d.h. φ: x→xp ist ein Automorphismus, genannt Frobeniusautomorphismus. 
Beispiel:( ℤ5,+)    (ℤ5\{0},·)
+ | 0 1 2 3 4   · | 1 2 3 4     
—————————————   ———————————  
0 | 0 1 2 3 4   1 | 1 2 3 4  
1 | 1 2 3 4 0   2 | 2 4 1 3     
2 | 2 3 4 0 1   3 | 3 1 4 2     
3 | 3 4 0 1 2   4 | 4 3 2 1   
4 | 4 0 1 2 3
ℤ5 ist bezügliche der Addition eine kommutative Gruppe.
ℤ5\{0} ist bezüglich der Multiplikation eine kommutative Gruppe.
Und: Es gilt das Distributivgesetz. Also ist ℤ5 ein Körper. Seine Charakteristik ist 5 (1+1+1+1+1=0). 
                           
       a        | 1 2 3 4   a  | 1 2 3 4
—————————————————————————   ————————————
Inverses bez. · | 1 3 2 4   a·a| 1 4 4 1
In ℤ5 existiert kein w=√2 mit a·a=2.
Wir adjungieren in diesem Körper w=√2 so dass w·w=2 (mod 5).
ℤ5(w)={a+bw|a,b∈ℤ5} ist ein Körper mit 52=25 Elementen. 
ℤ5(w)={0  1    2    3    4
       w  1+w  2+w  3+w  4+w
       2w 1+2w 2+2w 3+2w 4+2w
       3w 1+3w 2+3w 3+3w 4+3w
       4w 1+4w 2+4w 3+4w 4+4w} mit w·w=2.

Hier hat es keinen Sinn w durch einen Näherungswert, etwa w≈1,4,4323562 anzugeben.
Die Rechnungen in diesem Körper erfolgen ganz formal.

Beispiele bezüglich der Addition und Multiplikation:
(2+3w)+(3+w)=5+4w=4w und (2+3w)(3+w)=6+2w+9w+6=2+w
(4+2w)+(3+4w)=7+6w=2+w und (4+2w)(3+4w)=2+w+w+16=3+2w.
Beispiel zur Ermittlung des Inversen von x=4+2w:
Setze x-1=a+bw. Dann muss gelten x·x-1=(4a+4b)+(4b+2a)w=1, also
4a+4b=1 und 2a+4b=0. Die Lösung dieses LGS ist a=1/2=3 und b=1
Probe: (4+2w)·(3+w)=12+4w+6w+4=1
Die Additons- und Mutiplikationstafeln sind hier....

Allgemeine Klassifizierung

Der Primkörper eines Körpers K ist der kleinste Teilkörper von K und wird von {0;1} erzeugt.
Er ist - bis auf Isomorphie- stets von der Form ℚ oder ℤp für eine Primzahl p.
Satz: Jeder Automprphismus von K läßt die Elemente des Primkörpers fest.
Sei p eine Primzahl und n∈ℕ, n≥2. Dann gilt: Siehe dazu auch Video: Teil I und Teil II (sehenswert).
Weiterführend ist die folgende Bachelorarbeit.