Joachim Mohr Mathematik Musik
Polynomdivision
Der Poylnomring ℚ[X] ist ein Euklidischer Ring, d.h.Satz: Zu Polymomen f(x)≠0 und g(x)≠0 existieren eindeutig bestimmte Polynome q(x) und r(x) so dass
f(x)=q(x)g(x)+r(x) mit deg(r) kleiner deg(g).
f(x):g(x)=q(x) Rest r(x)
1. Beispiel:
f(x)=q(x)g(x)+r(x) mit deg(r) kleiner deg(g).
f(x):g(x)=q(x) Rest r(x)
1. Beispiel:
7 3 2 2 1 2 5 2
(x +7x +8x +x+9):(2x +4x+6) = —x + —x - — Rest -4x+24
2 2 5
Rechnung dazu:
4 3 2 2 1 2 5 2
(x +7x +8x +x+9):(2x +4x+6) = —x + —x - — Rest -4x+24
2 2 5
4 3 2
-(x +2x +3x )
—————————————
3 2
5x +5x +x+9
3 2
-(5x +10x +15x)
———————————————
2
-5x -14x+9
2
-(-5x -10x-15)
——————————————
-4x+24
2. Beispiel:
3 2 2
(x +4x -51x -54):(x+1)=x +3x-54
3 2
-(x +x )
——————
2
3x
2
-(3x +3x)
————————
-54x
-(54x-54)
————————
"
Satz
Haben a und b einen gemeinsamen Teiler k, dann auch a-b und b und dann auch a-2b und a-3b usw.Beweis: a=k·a1 und b=k·b1, dann ist a-b=k·(a1-b1), also a-b hat auch den Teiler k.
Es gilt also für den größten gemeinsamen Teiler von a und b die Gleichung ggT(a,b)=ggT(a-q·b,k), falls a:b=q mit Rest r.
Euklidischer Algorithmus
Der Euklidischer Algorithmus ermöglicht die Berechnung des ggT, des größten gemeinsamen Teilers.Der ggT(a,b) wird folgendermaßen berechnet:
Berechnung des ggT(a,b)
Setzte r0=a und r1=b r0:r1=q1 Rest r2. Ist r2=0, dann ist ggT(a,b)=r1. r1:r2=q2 Rest r3. Ist r3=0, dann ist ggT(a,b)=r2. r2:r3=q3 Rest r4. Ist r4=0, dann ist ggT(a,b)=r3. usw.
Beispiel bei natürlichen Zahlen
Gesucht: ggT(1071,462)1071:462=2 Rest 147 462:147=3 Rest 21 147:21=7 Rest 0, also ggT(1071,462)=21
Gesucht: ggT(17017,3519)
17017:3519=4 Rest 2941
3519:2941=1 Rest 578
2941:578=5 Rest 51
578:51=11 Rest 17
51:17=3 Rest 0 also ggT(1717,3519)=17
Beispiel bei Polynomen
Satz: Hat das Polynom p eine doppelte Nullstelle x0, dann hat p' die einfache Nullstelle x0.
2
Beweis: p(x)=p1(x)·(x-x0) ⇒
2
p'(x)=p1'(x)·(x-x0) + 2p1(x)(x-x0)=(x-x0)·(p1'(x)(x-x0)+2p1(x)).
Also: ggT(p,p') enthält den Faktor (x-x0).
3 2
1. Beispiel: p(x)=(x -5x +8x-4);
2
p'(x)=(3x -10x+8)
Die 1. Polynomdivision: r0:r1=q1 Rest r2
(x^3-5x^2+8x-4):(3x^2-10x+8) = 1/3x-5/9 Rest -2/9x+4/9=-2/9(x-2)
-(x^3-10/3x^2+8/3x)
----------------------
-5/3x^2+16/3x-4
-(-5/3x^2+50/9x-40/9)
----------------------
-2/9x+4/9
Die 2. Polynomdivision: r1:r2=q2 Rest r3
(3x^2-10x+8):(x-2) = 3x-4 Rest 0
-(3x^2-6x)
----------------------
-4x+8
-(-4x+8)
----------------------
0
3 2 2
Also ggT(p,p')=ggT(x -5x +8x-4,3x -10x+8)=x-2.
d.h. x-2 ist doppelte Nullstelle von p.
4 2
2. Beispiel: p(x)=x +2x +1
3
P'(x)=4x +4x
Die 1. Polynomdivision: r0:r1=q1 Rest r2
(x^4+2x^2+1):(4x^3+4x) = 1/4x Rest x^2+1
-(x^4+x^2)
----------------------
x^2+1
Die 2. Polynomdivision: r1:r2=q2 Rest r3
(4x^3+4x):(x^2+1) = 4x Rest 0
-(4x^3+4x)
----------------------
0
4 2 3 2
Also ggT(p,p')=ggT(x +2x +1,4x + 4x)=x +1
2
d.h. x +1 = (x+i)(x-i) ⇒ x=-i und x=+i sind doppelte Nullstellen von p.
Es ist nämlich
4 2 2 2
p(x)=x +2x +1=(x +1)
und
3 2
P'(x)=4x +4x=4x(x +1)